V.-Статистическая-физика-часть-1 (1109683), страница 98
Текст из файла (страница 98)
Если т > О, то равновесное направление и совпадает с направлением поля, а если )г ( О, то оно лежит в плоскости, перпендикулярной к поляк Будем считать для определенности, что г, > О, так что по~2Н. Тогда (пН)2 — Н2(1 — гы2); опустив не зависящий от гы член, имеем ФлуктуАции В ж»гдких кРистАллАх 505 мы тем самым ограничиваемся рассмотрением флуктуаций с болыпими (по сравнению с молекулярными размерами) длинами волн.
Далее поступаеу| подобно тому, как это уже делалось в 5 11б. Представляем флуктуирующую величину г»(г) в виде ряда 1Рурье в обьеме Г: Г» = ~1 икс'~', и к = Гтк. (141.5) После подстановки этого ряда выражение (141.4) разобьется на сумму членов (ЬРп)к, каждый из которых зависит только от компоненты ий с определенным значением )с. Выбрав плоскость ху так, чтобы она проходила через направление 1с (и Н), получим (лт'п)к — 1(П1)С +Пза +Хаю )~М К) +(П2А +Н31С +Хат« )~р»й~ ) ° 2 Отсюда (ср.
5 116) находим для средних квадратов флуктуаций (!ияй! ) = М(а1й»а+ пай.', + Х.Н») ' (~;.~') = ., 1»(азй„-> аз1, -Р Х Н ) (МЛКГ»»1«) = О. 54ы видим, что в отсутствие тюля флуктуации фурье-ком- понент г»ь неограниченно возрастают при 1с — у О (интегралы же по с1 Й, определяющие средний квадрат самого вектора гт, остаются конечными).
Наложение магнитного поля подавляет флуктуации с волновыми векторами Й < О(ХА/а)1)2 (где и— порядок величины коэффициентов а1, п2, аз) ') . 1 ) Такой характер флуктуаций аналогичен поведению флуктуаций плотности обычной жидкости вблизи ее критической точки, или флуктуаций параметра порядка вблизи точки фазового перехода второго рода (см. киже 114б, 152). В то время, как в последних случаях роль подавляющего флуктуации фактора играет «расстояние» до указанных точек, здесь эту роль играет ие зависящий от температуры фактор — внешнее магиитвое поле. Отметим, что именно возрастание флуктуаций и при малых К позволяет рассматривать эти флуктуации иезависимо от флуктуаций других величии.
В этой связи существенно, что мы ие рассматриваем окрестность точек фазового перехода второго рода. Вблизи этих точек возрастают также флуктуации других величин, характеризу|ощих переход, и флуктуации и, вообще говоря, уже нельзя рассматривать иезависямо от других. Подчеркнем также, что возрастание флуктуаций ие приводит к каким-либо ограиичеииям области примеиимости формулы (141.б), в то время как применимость, например, формулы (14б.б) ограничена перавеиство»1 (146.15).
506 СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ Гл. хп! Корреляционная функция (141.Ц может быть вычислена из (141.6) по формуле м ~зь (и (г!)Мд(гз)) = е!""(Мойи~дй) (141.7) (2к) (ср. (116.13)), г4ы не станем приводить довольно громоздкий результат интегрирования') . Укажем лишь, что в отсутствие поля корреляционная функция убывает с расстоянием т = ~г2 — г1~ как ) ~г. При наличии же поля убывание становится экспоненциальным, с корреляционным радиусом Г, (а/)~ )1!2Н Аналогичным образом могут быть рассмотрены флукту.ации направления директора в холестерическом жидком кристалле, мы ограничимся лишь краткими замечаниями по этому поводу. В холестерической среде можно различать флуктуации местного направления оси геликоидальной структуры и флуктуации фазы угла поворота вектора п вокруг этой оси.
Флуктуации первого из этих типов конечны. Средний же квадрат флуктуации фазы оказывается (в отсутствие магнитного поля) логарифмически расходящимся при )с — ! О. В этом отношении флуктуации в среде с одномерной периодичностью ориентационной структуры оказываются аналогичными флуктуациям в среде с одномерной периодичностью расположения частиц (6137). Строго говоря, такая периодичность оказывается тем самым невозможной в среде сколь утодно болыпого протяжения.
Однако ввиду болыпой величины периода геликоилальной структуры в холестерических жидких кристаллах расходилюсть флуктуаций наступила бы лишь нри столь огромных размерах, что весь вопрос становится чисто абстрактным. Скажем несколько слов о флуктуациях в смектических жидких кристаллах, состоящих из правильно расположенных плоских слоев. Как уже было отмечено в 2139, такая структура размывается тепловыми флуктуациями и потому может осуществляться лишь в ограниченных обьемах. Интересно, однако, что эти флуктуации подавляются магнитным полем.
Поясним происхождение этого эффекта. В каждом слое молекулы ориентированы упорядоченным образом с преимущественным направлением, задаваемым директорок! и; пусть это направление нормально к поверхности слоя. При флуктуации происходит деформирование поверхности слоев и поворот директора; пусть и — вектор смещения точек шюя, а и снова изменение директора (и = по + и). При длинноволновых деформациях слой можно рассматривать как ') Для его проведения выражения (141.6) должны быть, конечно, переписаны в видо, не связанном с конкретным выбором координатных осей. ФлуктуАции В жидких кРистАллАх 507 геометрическую поверхность, и тогда малые величины и и и связаны друг с друтом соотношением и = — огай(ппо) (изменение направления нормали к поверхности); для их фурье-компонент имеем: иь = — гАР(папе), где Ас- — составляющая ы в плоскости слоя.
При наличии магнитного поля изменение направления директора вносит в ЬР„дополнительный вклад (141.3), пропорциональный и~. В свою очередь это приведет к тому, что в интеграле (137.9)., определяюгцем средний квадрат флуктуационного смещения, в знаменателе подынтегрального выражения появится (наряду с членом Ас') еще и член х, в результате расходимость интеграла исчезнет. Наконец, остановимся на вопросе о принципиальной возможности существования нематических двумерных систем (пленок). В такой системе ориентация молекул задается директором и, лежащим в плоскости пленки.
Если рассмотреть его флуктуации (с волновыми векторами 1с, лежащими в плоскости пленки)., то для них получится выражение, аналогичное (141.6): при отсутствии поля (и~~) ж 1/у(Й,, Й„), где ~р(Ц, Й, ) -- квадратичная функция компонент вектора 1С. Но для нахождения полной флуктуации (из) это выражение должно быть теперь проинтегрировано по ~РЙ оо Й пгб и интеграл логарифмически расходится. Таким образом, тепловые флуктуации размывают двумерную нематическую структуру.
Как и в случае твердокристаллической двумерной структуры (3 137), однако, логарифмический характер расходимости пе исключает возможности существования такой структуры в участках конечного размера. ГЛАВА Х1Ъ' ФАЗОВЫЕ ПРЕРЕХОДЫ ВТОРОГО РОДА И КРИТИт1ЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ й 142. Фазовые переходы второго рода В ~ 83 было уже указано, что переход между фазагии различной симметрии (кристалл и жидкость, различные кристаллические модификации) не может совершаться непрерывным образоъц подобно тому,.
как зто возможно для жидкости и газа. В каждом состоянии тело обладает либо одной, либо другой симметрией, и потому всегда можно указать, к которой из обеих фаз оно относится. Переход между различными кристаллическими модификациями совершается обьгшо путем фазового перехода, при котором происходит скачкообразная перестройка кристаллической решетки и состояние тела испытывает скачок.
Однако наряду с такими скачкообразными переходами возможен и другой тнп переходов, связанных с изменением симметрии. Для выяснения природы этих переходов обратимся к конкретному примеру. При высоких температурах ВаТ1Оз имеет кубическу|о решетку с ячейкой, изображенной на рис.
60 (атомы Ва в вершинах, атомы О в центрах граней и атомы Т1 в центрах ячеек). При понижении температуры, при некотором определенном ее знаРис. бо чении, атомы Т1 и О начинают смещаться относительно атомов Ва в направлении одного из ребер куба. Ясно, что как только начинается зто смещение, симметрия решетки сразу меняется, превращаясь из кубической в тетрагональную. Этот пример характерен тем, что никакого скачка в изменении состояния тела не происходит.
Расположение атомов в кристалле') меняется непрерывным образом. Однако уже ° па Оэ О 9уч ) Для унрогдения рассуждений мы говорим условно о расположении атомов и о симметрии этого расположении, как если бы атомы были неподвижны. В действительности следовако бы говорить о распределении вероятностей различных положений атомов в пространстве и о симметрии этого распределении. 509 ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ ВТОРОГО РОДА сколь угодно малое смещение атомов от их первоначального симметричного расположения достаточно для того, чтобы симметрия решетки сразу изменилась. Осуществляемый таким способом переход одной кристаллической модификации в другую называется д)пзовым переходом второго рода в противоположность обьгшым фазовым переходам, называемым в этой связи переходагии первого рода').
Таким образом, фазовый переход второго рода является непрерывным в том смысле, что состояние тела меняется непрерывным образом. Подчеркнем, однако, что симметрия в точке перехода меняется, разумеется, скачком, и в каждый момент можно указать, к которой из двух фаз относится тело. Но в то время, как в точке фазового перехода первого рода находятся в равновесии тела в двух разли шых состояниях, в точке перехода второго рода состояния обеих фаз совпадают. Наряду со случаями, в которых изменение симметрии тела осуществляется посредством смещения атомов (как в приведенном выше примере), изменение симметрии при фазовом переходе второго рода может быть связано и с изменением упорядоченности кристалла. 1хак уже было указано в ~ б4, понятие об упорядоченности появляется, ешти число узлов решетки, в которых могут находиться атомы данного рода, превышает число этих атомов. Будем называть места, на которых находятся атомы данного рода во вполне упорядоченном кристалле., «своими» в противоположность «чужим», на которые атомы частично переходят при «разупорядочивании» кристалла.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
