V.-Статистическая-физика-часть-1 (1109683), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Последнее обстоятельство подтверждает сделанное выше предположение о том, что плотность гравитирующего тела растет с увеличением его массы. Тот факт, что гравитирующая сфера из нерелятивистского вырожденного ферми-газа может находиться в равновесии при любом значении полной массы М, можно было усмотреть заранее из следующих качественных соображений. Полная кинетическая энергия частиц такого газа пропорциональна Х(Х/Ъ ) 7а 369 РАВнОВесие тел с БОлыпОЙ мАссОЙ 1 107 (см.
(57.6)), или, что то же, М'~з/Лз, а гравитапиониая энергия газа в целом отрицательна и пропорциональна М~7'Л. Сумма двух выражений такого типа может иметь минимум (как функция от Л) при любом М, причем в точке минимума Л Оо М Подставляя (107.7) в (107.5) и вводя безразмерную переменную ( = г1Л, найдем, гто функция ~(~) удовлетворяет уравс2 1с — — (с~ — ) = — 101~ (107.9) с граничными условиями ~'(0) = 0: 1(1) = О. Это уравнение нс может быть решено в аналитическом вндс и должно интегрироваться численно. Укажем, что 1(0) = 178,2, 1'(1) = — 132,4. С помощью этих числовых значений легко определить значение постоянной МЛз.
Умножив уравнение (107.1) на 2~71г и интегрируя от 0 до Л,получим д2 2 СМ Л2Ф ф т' Йг „гп'Л й откуда где С = 2 10звг --масса Солнца. Наконец, для отношения центральной плотности р(0) к средней плотности р = ЗМ/(4хЛз) легко найти — = 5,99. (107.11) Р з1'(Ц На рис. 50 (кривая 1) изображен график отношения р(г)/р(0) как функции г7'Л') . Перейдем к исследованию равновесия сферы, состоящей из вырожденного ультрарелятивистского электронного газа.
Полная кинетическая энергия частиц такого газа пропорциональна 2У(2Л7/Ъ')'Д (см. (61.3)), или иначе М 1,7Л; гравитационная же энергия пропорциональна — Мз/Л. Таким образом, обе эти ) В предыдущем параграфе мы видели, что вещество можно рассматривать как нерЕлятивистский вырожденный элвктронный газ при плотностях р » 20Я2 г/сьгв.
Е2ши потребовать выполнения этого неравенства для средней плотности рассматриваемой сферы, то для ее массы получится условие М»б 10 ЕО; этим массам соответствуют радиусы, меньшие б 10ае П2 км. 371 РАВнОВесие тел с БОлыпОЙ мАОООЙ з 107 Для точного вычисления «критической массы» Мо необходимо произвести численное интегрирование уравнения с»,~б (~~ ) Хз Х~(0) 0 Х(1) 0 (107 16) которому удовлетворяет функция Х(() в (107.14). Теперь получается Х(0) = 6,897, Х'(1) = — 2,018. Для полной массы находим СМ вЂ” Л2 р — Х (Ц л)г 1 гп'ГЛ откуда ЛХо = „( — ) = 518( —,) О .
(107.17) Положив т' = 2т„, получим Мо = 1,45О. Наконец, отношение центральной плотности к средней оказывается равным р(0) Ха(0) ЗХ (Ц На рис. 50 (кривая 2) дан график р(г)/р(0) в ультрарелятивистском случае как функции г/Лг) . Полученные результаты о зависимости между массой и радиусом равновесного «холодного» сферического тела можно представить во всей области измерения Л в виде единой кривой, определяющей зависимость М = М(Л).
При больших Л (и соответственно малых плотностях тела) электронный газ можно рассматривать как нерелятивистский, и функция М(Л) спадает по закону М сю Л '3. При достаточно же малых Л плотность настолько велика, что ил«ест место ультрарелятивистгкий случай, и функция М(Л) имеет почти постоянное (равное Мо) значение (строго говоря, М(Л) — » ЛХ0 при Л вЂ” + 0). На рис. 51 изображена кривая М = М(Л), вычисленная с ш' = 2тп') . Следует обратить внимание на то, что предельное значение 1,45 О достигается лишь весьма постепенно; это связано с тем, что плотность ) Форллальная задача о равновесии гравитирующей газовой сферы со степенной зависимостью Р от р была исследована Э»«деном (11. йт3ен, 1907).
ч излгческое заключение о существовании и величине (107.17) предельной массы было сделано С, Чандрасеккаром (Я. С)лага)галек)лаг, 1931) и Л. Д. Ландау (1932). ) Построение промежуточной части кривой производится путем численного интегрирования уравнения (107.3) с точным релятивистским уравнением состояния вырожденного газа (слг. задачу 3 к 3 б1). 372 аеойствь вкщкотах пги очкиь полынях плотностях гл, х~ быстро падает по мере удаления от центра тела; поэтому газ может быть уже ультрарслятивистским вблизи центра и в то же время нерелятивистским в значительной части обьема тела.
Отметим также, что начальная часть кривой (слишком малые Л) не имеет реального физического смысла. Действительно, при достаточно малых радиусах плотность станет настолько большой, что в веществе пашут происходить ядерные реакции. При этом давление будет возрастать с увеличением плотности медленнее чем р 1", а при таком уравнении состояния никакое равновесие вообще невозможно ') . Наконец, эта кривая теряет склысл также и при слишком больших:значениях Л (и малых М); как уже было указано (см.
примеч. на стр. 369), в этой области становится неприменимым использованное нами уравнение состояния вещества. л бв) В этой связи следует указать, что 1,4 существует верхний предел размеров, которыми вообще может обладать «холодное» тело. Действительно, большим 1,0 размерам тела соответствуют на кривой рис. 51 малые массы и малая плота,о ность вещества. Но при достаточно О,4 малых плотностях вещество будет па- 0,2 ходиться в обычном «атомном» состоянии, и при интересующих нас низо 2 4 6 8 10 12 ких температурах оно будет твердым. Размеры тела, построенного из такоРис.
51 го вещества, будут, очевидно, умень- шаться при дальнейшем уменьшении его массы, а не увеличиваться, как на рис. 51. Истинная кривая Л = Л1М) должна, следовательно, иметь при некотором значении М максимум. Порядок величины максимального значения радиуса легко определить, заметив, что он должен соответствовать плотности, при которой становится существенным взаимодействие электронов с ядрами, т. с.
при ') Если химический потенциал пропорционален некоторой степеии плотности и сс р" 1и соответственно Р ео р"+ ), то внутренняя энергия тела пропорциональна Гр"4 ', или иначе Лу"+'/й~"; гравитационная же энергия по-прежиему пропорциоиальпа — ЛХ~1'й. Легко видеть, что при и < 1/3 сумма двух таких выражений, как функция от й, хотя и имеет экстремум, ио этот экстремум является ее максимумом, а не минимумом. 373 ЭНЕРГИЯ ГРАИИТИРЪЮЩЕГО ТЕЛА (см. (106.1)). Комбинируя это соотношение с равенством (107.10), получим 6' -а ХИ 2«2пах 222, 2 па 10 2 2 23 ка2 С «,,222г ыг (107.18) й 108.
Энергия гравитирующего тела Гравитационная потенциальная энергия тела Е,р определяется, как известно, интегралом 2,( (108.1) взятым по всему объему тела. Нам, однако, будет удобнее исходить из другого представления этой величины, которое можно получить следуютцим образом. Представим себе, что тело постепенно «составляется» из вещества, «приносимого» из бесконечности.
Пусть М(Г) есть масса вещества, заключенного внутри сферы радиуса Г. Предположим, что масса М(Г) с некоторым определенным Г уже принесена из бесконечности; тогда работа, необходимая для доставления дополнительной массы ЬМЯ, равна потенциальной энергии этой массы (распределенной в виде шарового слоя радиуса г и толщины Й) в поле массы М2,Г), т. е. СЛХ(Г) Поэтому полная гравитационная энергия сферы радиуса 22' есть Е2 р: С ( 22М(г) М1Г) (108.2) Продифференцировав условие равновесия (107.2), получим ЯР 2 аа2 и — +па — = 0 2Ь. Й. 1 Ж» СМ1Г) Р 1Г (108.3) (дифференцирование должно производиться при постоянной температуре, (др(дР)т = и объем, отнесенный к одной частице).
Производная — Г1р~Ж есть сила тяготения, действующая па единицу массы на расстоянии Г от центра; она равна — бМ(г))г~. Вводя также плотность р = т'/и, получаем 374 авойствл ввщв77тнх пги очвнь полынях плотностях гл. х2 Выразив отсюда 7'М(т)(т через йР(йт и написав йМ(т) = р(т) . 4я72Йт, представим выражение (108.2) в виде Е,р —— 4Я / 7" — йт. зйр Йт о Егр = — 12Я Ртвй7 = — 3 Р йК (108.4) о Таким образом, гравитационная энергия равновесного тела может быть выражена в виде интеграла от его давления по объему. Применим эту формулу к рассмотренным в предыдущем параграфе телам из вырожденного ферыи-газа.
При этом произведем вычисления в общом виде, положив, что химический потенциал вещества пропорционален некоторой степени его плотности: !7'и (108.5) Имея в виду, что йр = пйР = — йР, находим давление Р 1-;1!и (108.6) (и -~- 1) т В условии равновесия (р17772') + 2р = сопв1 постоянная в правой части равенства есть не что иное, как потенциал на границе тела, где р обращается в нуль; этот потенциал равен — СМ17Л (М = М(Л) -.-полная масса тела), так что можно написать: см 'р = 772 й Подставляем это выражение в интеграл (108.1), определяющий гравитационную энергию, и, воспользовавшись формулами (108.5), (108.6), находим СЛХ 72+ 1 СМ7 Е, = — —,/ ррЛ' — — / рйИ= — — ' / Рй1" —— 2т' / 2й / 2 / 2й Наконец, выразив интеграл в правой части равенства через .Е7р, согласно (108.4) 7 получим 3 СЛХ~ Е гр 5 — 72 П (108.7) Интегрируя теперь по частям (и учитывая, что на гра77ице тела Р(11) = 0 и что тзР— 7 0 при т — 7 0), получим 375 Равноаес7ие нейтРОннОЙ ОФНРы 1 100 Таким образом, гравитационная энергия тела выражается простой формулой через его полную массу н радиус.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
