V.-Статистическая-физика-часть-1 (1109683), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Энергия 11 отрыва первого электрона обычно заметно меньше следующих энергий 1В; поэтому существует такая область температур, в которой можно считать, что наряду с нейтральными атомами в газе имеются лишь однократно заряженные ионы. Вводя степень иоиизации газа гт как отношение числа ионизованных атомов к полному числу атомов, будем иметь О 1 — О С=С1= —, С0= —, 1-е О 1-Е О и уравнение (104.2) даст; (1 — а2)/гт2 = РКр~ ~, откуда Ж (104.5) 1+ РК~'~ чем полностью определяется:зависимость степени ионизации от давления и температуры (в рассматриваемой области температур).
й 105. Равновесие по отнотпению к образованию пар При чрезвычайно высоких температурах, сравнимых с энергией покоя электрона ьче. '), столкновения частиц в веществе ') Энергия шгг = 0,51 10 ВВ, так что температура те~/е = 6 10 К. 360 химичнокив гклкпии гл. х могут сопровождаться образованием электронных пар (элекронов и позитронов):, в результате само число частиц становится величиной не заданной, а определяющейся условиями теплового равновесия. Образование пар (и их аннигиляция) может рассматриваться с термодинамической точки зрения как «химическая реакция» е+ + е = у, где символы е+ и е обозначают позитрон и электрон, а символ у — один или несколько фотонов. Хигиический потенциал газа фотонов равен нулю Я 63). Поэтому условие равновесия по отношению к образованию пар будет иметь )г + )г~ = О, (105.1) где р и р ~ -- химические потенциалы электронного и позитронного газов.
Подчеркнем, что под )г подразумевается здесь релятивистское выражение для химического потенциала, включающее энергию покоя частиц (ср, з 27), которая существенным образом участвует в процессе образования пар. Уже при температурах Т пасв число образовавшихся (в единице объема) электронных пар очень велико по сравнению с атомной электронной плотностью') .
Поэтому можно с достаточной точностью считать, что число электронов равно числу позитронов. Тогда р = )г ', и условие (105.1) дает: )г = )г+ = О, в равновесии химические потенциалы электронов и позитронов должны быть равны нулю. Электроны и позитроны подчиняются статистике Ферми; поэтому их число получится интегрированием распределения (56.3) с р = 0: )У = ухг тг )' ренар г з/,ут ял' е' +1 о (105.2) г б Е.*:«» г 'и =«гг« При Т « тс это число пропорционально ехр( — тпсе)Т), т, е. зкспопепциальпо мало. В обратном же слу гае, Т )) тпсг, можно положить е = ср, и формула (105.2) даст ') Как видно из формулы (105.3), при Т тс объем, приходящийся на одну образовавшуюся пару, (б/ьчс) . Этот объем очень мал по сравнению з с атомным объемом кубом боровского радиуса (й !тле ) .
г з 1 1ао РАВНОВЕОИБ ПО ОТНОП!ЕНИЮ К ОБРАЗОВАНИ1О ПАР 361 Стоящий здесь интеграл выражается через 1,'-функцию 1см. сноску на стр. 202), и получается Х" = Х =, — 1' = 0,183 — Р' 1105.3) Тем же путем найдем энергию позитронного и электронного газов; 1, 11с) е' -Ь 1 120(бе)з о Эта величина состав.ляет 7/8 от энергии черного излучения в том же объеме. Задача Определить равновесную плотность электронов и позитронов при Т « <(шс. Р е ш е н и е. С помощью выражения 146.1а) для химического потенпиала 1к которол1у следует добавить пгс~) получим -'- ='(..:) - (- ° ) где и = Х /1Г, и = Х"/à †.плотности электронов и позитронов. Если пе — начальная плотность электронов 1в отсутствие образования пар), то п = Н1 + пе, и мы получаем и+ = п — ие = — — -Ь [ —" -~- —, ( — ) ( —.) ехр ( — — )~ ГЛАВА Х1 СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВА ПРИ ОЧЕНЬ БОЛЬШИХ ПЛОТНОСТЯХ й 106.
Уравнение состояния вещества при больших плотностях Принципиальный интерес представляет исследование свойств вещества при чрезвычайно больших плотностях. Проследим качественно за изменением этих свойств по мере постепенного увеличения плотности. Когда объем, приходящийся на один атом, становится мсныпе обычных атомных размеров, атомы теряют свою индивидуальность, так что вещество превращается в сильно сжатую электронно-ядерную плазму. Если температура вещества не слишком высока, то электронная коьшонента этой плазмы представляет собой вырожденный ферми-газ.
В конце 257 было отмечено своеобразное свойство такого газа: его идеальность возрастает по мере увеличения плотности. Поэтому при достаточном сжатии вещества роль взаимодействия электронов с ядрами (и друг с другом) становится несущественной., так что можно пользоваться формулами идеального ферми-газа. Согласно условию (57.9) это наступает при выполнении неравенства где пе плотность числа электронов, т, масса электрона, ю некоторый средний атомный номер вещества. Отсюда получаем для полной плотности массы вещества неравенство ,щ еэхз р » 1 ', ) гп'х,~ 20х,~ г/скг~, (106.1) где т масса, приходящаяся на один электрон'), так что р = петп!.
Что касается «ядерного газа», то благодаря большой массе ядра он еще может быть далек от вырождеяия, но его ') Во всех численных оценках в этом параграфе принимается, что средний атомный вес вещества вдвое болыне его среднего атомного номера, так что гп' равно удвоенной массе нуклона. Укажем, что температура вырождения электронов, соответствующая плотности вещества р 2йле г/схгэ порядка величины 10елиэ К. 106 РРАВненик ООстОяния ВещестВА пРи БОлыпих плОтнОстях 363 вклад, например, в давление вещества во всяком случае совершенно несуществен по сравнению с давлением электронного газа. Таким образом, термодинамические величины вещества в рассматриваемых условиях определяются полученными в 857 формулами, примененными к электронной компоненте.
В частности, для давления имеем ') (зхе)згз йе у 16Уг 1 (106.2) Условие для плотности (106.1) дает для давления численное неравенство Р» 5 108г 1огз бар. В написанных формулах электронный газ предполагается перелятивистским. Это требует малости граничного импульса Ферми рр по сравнению с гпс (см. 861), что приводит к чисченным неравенствам р «2 10 г11сы, Р «1011 бар. Когда плотность и давление газа становятся сравнимыми с указаннылзи значениями, электронный газ делается релятивистским, а при выполнении обратных неравенств ультрарелятивистским. В последнем случае уравнение состояния вещества определяется формулой (61.4), согласно которой-') (106.3) 4 т' Дальнейшее повышение плотности приводит к состояниям, в которых термодинамически выгодными оказываются ядерные реакции, заключающиеся в захвате электронов ядрами (с одновременным испусканием нейтрино).
В результате такой реакции уменьшается заряд ядра (при неизменном его весе), что, вообще говоря, приводит к уменьшению энергии связи ядра, т. е. к уменьшению его масс-дефекта. Энергетическая невьподность 1) численно эта форл1ула дает Р = 1,0 10'~(ргА')Мэдин/сые = 1,0 10"(рг14')еы бар, (106.2а) где А = гп г'гв„- атомный вес вещества, приходящийся на один электрон (т„— масса нуклона); р изап.ряетея в г,гсм . з О поправках к формуле (106.2), связанных с кулоновским взаимодействием частиц, щла речь в з 80.
г) С теми же обозначениями, что и в (106.2а), Р = 1,2 10 (рг1А') Д бар. (106.3а) 364 СВОЙСТВА ВЕП!ЕОТВА ПРИ ОЧЕНЬ ВОЛЬВ!ИХ ПЛОТНОСТЯХ ГЛ. Х! такого процесса при достаточно больших плотностях вещества с избытком компенсируется уменьшением энергии вырожденного электронного газа вследствие ул!еньшения числа электронов. Не представляет труда написать термодинамические условия, определяющие В!химическое равновесиея описанной ядерной реакции, которую можно записать в виде символического равенства Ая+е =Ах 1+1! где Ая обозначает ядро с весом А и зарядом х; е " электрон, 22 -- нейтрино.
Нейтрино пе задерживаются ве1пеством и покидают тело; такой процесс должен вести к непрерывному охлаждению тела. Поэтому тепловое равновесие в этих условиях имеет смысл рассматривать, только принимая температуру вещества равной нулю. Химический потенциал нейтрино при этом в уравнение равновесия не должен входить. Химический потенциал ядер определяется в основном их внутренней энергией, которую мы обозначим через — е 4 я (энергией связи обычно называют положительную величину еА 2). Наконец, обозначим через 12,(21„) химический потенциал электронного газа как функцию плотности ПВ числа частиц в нем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
