V.-Статистическая-физика-часть-1 (1109683), страница 104
Текст из файла (страница 104)
Аналогичные рассуждения доказывают возможность составления вектора из величин ть„ья и в случаях, когда группа вектора 1с содержит одну. ось и проходящие через нее плоскости симметрии. Эти рассуждения становятся, однако, неприменимыми, если группа вектора 1с содержит оси, пересекающиеся друг с другом или с плоскостями симметрии, или содержит инверсию (о таких группах будем говорить, что опи обладают центральной 532 РАЗОВЫЕ ПРЕРЕХОДЫ ВТОРОГО РОДА ГЛ. ХГ~' точкой). В этих случаях вопрос о возможности составления вектора из величин (145.11) нуждается в специальном рассмотрении в каждом конкретном шГучае.
В частности, такой вектор заведомо не может быть составлен, если группа 1с содержит инверсию (так что к и — 1с эквивалентны), а каждому 1с в звезде отвечает всего по одной функции ~рь: в этом случае не существует таких;Гем, которые были бы инвариантны по отношению к трансеяциям, как это во всяком случае должно было бы быть для компонент вектора. Таким образом, сформулированное требование очень сильно ограничивает возможные изменения симметрии при фазовом переходе второго рода.
Из всего бесконечного числа различных пеприводимых представлений группы Со надо рассматривать лишь сравнительно небольшое чис;ю тех, для которых группа вектора 1Е обладает центральной точкой. Такую собственную симметрию могут иметь, разумеется, лишь векторы К, занимающие определенные исключительные положения в обратной решетке; их составляющие равны при этом определенным долям (112, 1,13, 1/4), основных периодов обратной решетки.
Это значит, что изменение трансляционной симметрии кристалла (т. е. его решетки Брава) при фазовом переходе второго рода может состоять лишь в увеличении тех или иных из основных периодов в небольшое число раз. Исследование показывает, что в болыпинстве случаев возможное изменение решетки Брава заключается в удвоении периодов. Кроме того, в обьсмноцентрированных (ромбической, тетрагональной, кубической) и в кубической гранецентрированной решетках возможны изменения с учетверением некоторых периодов, а в гексагональной решетке — с утроением периода.
Обьем элементарной ячейки при этом может увеличиться в 2, 4, 8 раз; в гранецептрированной кубической решетке есть также случаи увеличения в 16 и 32 раза, а в гексагональной -. в 3 раза и 6 раз. Разумеется, возможны переходы и без изменения решетки Брава (им соответствуют неприводимые представления с 1с = 0). При этом изменение симметрии состоит в уменыпении числа поворотных элементов, т.е. меняется кристаллический класс. Отметим следующую общую теорему: фазовый переход второго рода может существовать для всякого изменения структуры, связанного с уеленьшением вдвое числа преобразований симметрии (такое изменение может произойти либо путем увеличения вдвое элементарной ячейки при неизменном кристаллическом классе, либо путем уменыпения вдвое числа вращений и отражений при неизменной элементарной ячейке).
Доказательство основано на том, что если группа Со имеет подгруппу С вдвое меньшего порядка, то среди неприводимых представлений Се во 533 ИЗМЕНЕНИЕ СИММЕТРИИ ПРИ ФАЗОВОМ ПЕРЕХОДЕ (а) (О, О, 0) — Оь (Ь) (1/2, 1/2, 1/2) — Ою (с) (1/4, 1/4, 1/4), ( — 1/4, — 1/4, — 1/4) — Гю (д) (О, 1/4, 1/4), (1/4, О, 1/4), (1/4, 1/4, 0), (О, 1/4, — 1/4), ( — 1/4 О, 1/4), (1/4, — 1/4, 0) — 2:1ЕА (145 13) Здесь указаны компоненты векторов 1с вдоль ребер кубической ячейки обратной решетки (оси ш, у. В), измеренные в долях этих ребер; для того чтобы получить векторы 1с в выбранных выше единицах, надо умножить эти числа на 2 2я = 4я. В (145.13) перечислены лишь неэквивалентные векторы, т.е. векторы каждой звезды 1с. Дальнейшее исследование очень упрощается благодаря тому, что для решения поставленного вопроса оказывается необходимым рассматривать не все малые представления.
Дело в том, что ') Такая решетка относитСя к симмврфной пространствснпой группЕ О~~. всяком случае имеется одномерное представление, осуществляемое функцией, инвариантной относительно всех преобразований подгруппы г ' и меняющей знак при всех остальных преобразованиях группы Со. Ясно, что в таком случае инварианты нечетных порядков отсутствуют, а величин типа (145.11) из одной функции вообще нельзя составить. Справедлива, по-видимому, также и следующая теорема: фазовыс переходы второго рода не могут существовать для изменений структуры, связанных с уменьшением числа преобразований симметрии в три раза (благодаря наличию членов третьего порядка в разложении Ф). Наконец, в качестве иллюстрации конкретных применений изложенной общей теории рассмотрим возникновение упорядочения в сплавах, которые в неупорядоченном состоянии имеют объемноцентрированную кубическую решетку с атомах~и в вершинах и центрах кубических ячеек (как на рис.
616) ') . Задача заключается в определении возможных типов упорядочения (т.е., как говорят в кристаллографии., сверхструкгпур), которые могут возникнуть в такой решетке при фазовом переходе второго рода. Для объемноцентрированной кубической решетки обратная решетка является гранецентрированной кубической.
Выберем ребро кубической ячейки прямой решетки в качестве единицы длины. Тогда ребро кубической ячейки обратной решетки равно 2 2тг. В этой обратной решетке следующие векторы 1с обладают группами собственной симметрии с центральной точкой: 534 РАЗОВЫЕ ПРЕРЕХОЛЫ ВТОРОГО РОДА ГЛ. ХГС мы интересуемся лишь теми возможными изменениями симметрии, которые могут быль реализованы возникновением сверх- структуры, т.е. упорядоченным расположением атомов по существующим в решетке узлам без их относительного смещения. В данном случае элементарная ячейка неупорядоченной решетки содержит всего один атом. Поэтому появление сверхструктуры может означать лишь возникновение неэквивалентности узлов различных ячеек.
Это значит, что возникающее и:зменение функции распределения плотности др должно быть инвариантно относительно всех поворотных преобразований группы 1с (без одновременной трансляции). Другими словами, допустимо только единичное малое представление. Соответственно этому в базисных функциях (134.3) можно заменить и единицей. Рассмотрим теперь поочередно перечисленные в (145.13) звезды 1с. а) Функция с 1с = 0 обладает полной трансляционной инвариантностью.
Другими словами., в этом случае элементарная ячейка не меняется, а поско.льку каждая ячейка содержит всего по одному атому, то не может быть вообще никакого изменения симметрии. Ь) Этому 14 соответствует функция ехр~2яг1х + у + е)). Линейная комбинация (этой функции и функций, получающихся из пес при всех вращениях и отражениях), обладающая симметрией Оа, гру.ппы 14, есть ~р = сов 2лх сов 2лу сов 2яе. (145.14) Симметрия возникающей фазы есть симметрия фу.нкции плотности р = ро + др, др = Г1р') . Функция уз инвариантна относительно всех преобразований класса Оь и относительно трансляций вдоль любого ребра кубической ячейки, но не относительно трансляции на половину ее пространственной диагонали (1/2 1/2 1/2). Поэтому упорядоченная фжэа имеет простую кубическую решетку Брава с двумя неэквивалентными узлами в элементарной ячейке (О 0 О) и (1/2 1/2 1/2), которые будут заняты различными атомами.
Сплавы, которые могут быть вполне упорядочены по этому типу, относятся к составу ЛВ (как., например, упомянутый в 3 142 сплав Сп Хзз). с) Соответствующие этим векторам Ы функции, обладающие симметрией Тд., таковы: сз1 = сов лх сов зсу сов зсе, дз = вш згх в|п згу вйз зсе. (145.15) ) Это не означает, разумеется, что изменение др в реальном кристалле дается именно функцией (145.14). В выражении (145.14) существенна только его симметрия. г3г излгенение симметРии пРи Фазоеолг пеРехОде Из них можно составить два инварианта четвертого порядка; (Эг1~ + р~~)в и (Эг~~ + р~~). Поэтому разложение Ф (145.7) имеет вид Ф = Фа+ АУ + Влд + Ввг)'(у," + узк). (145.16) Здесь надо различать два случая. Пусть Вз < 0; тогда Ф как функции от )ы ов пйи дополнительном Условии Ул + чз — — 1 2 2 имеет минимум при 71 = 1, .уг = О.
сругнкция бр=г)ог1 имеет симметрикз класса Оа с гранецентрированной решеткой Бравэ, кубическая ячейка которой в восемь раз превьппает по обьему кубическую ячейку первоначальной решетки. Элементарная ячейка содержит четыре атома (а кубическая ячейка -16 атомов). Поместив в эквивалентные узлы одинаковые атомы, найдем, что эта сверх- структура соответствует тройному сплаву состава АВСР с атомами в следующих положениях: 4А(0 0 0), (О 1/2 1/2; б), 4Б(1/2 1/2 1/2), (О 0 1/2; су), 8С(1/4 1/4 1/4), (3/4 3/4 3/4), (1/4 3/4 3/4; С), (1/4 1/4 3/4; О) (координаты атомов даны здесь в о л к в Ое с единицах длин ребер новой кубичеРис.
65 ской ячейки, вдвое болыпих длин ребер первоначальной ячейки; см. рис. 65; знак су озна гает ци- клическую перестановку). Если атомы В и С идентичны, мы получим упорядоченную решетку с составом АВЕ, Пусть теперь Вв > О. Тогда Ф имеет минимум при ул~ = 'уз~ = = 1/2, так что бр = г)(~рг + ~рв)/ХГ2 (или бр = г)(~ггг — ага)/л/2, что приводит к тол|у же результату) ') . Эта функция имеет симме- трию класса Оь с той же гранецентрированной решеткой Бравэ, что и в предыдущем случае, но лишь с двумя наборами экви- валентных узлов, которые могут быть заняты двумя родами ') Тот факт, что в обоих случаях Ш и Чг оказались просто числами — результат наличия лишь одного (зависящего от гл, Чг) члена в Ф. При большем числе различных инвариантов четвертого порядка среди мингглгизирующих Ф наборов т, могли бы быть и зависящие от Р, Т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
