V.-Статистическая-физика-часть-1 (1109683), страница 107
Текст из файла (страница 107)
Ландау (1958). ) Нормировочный множитель 1' введен под знак произведения для того, чтобы потенциал й оказался, как и должно быть, пропорционален объему. 18 Л.Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, тои АР 546 ФАЗОВЫЕ ПРЕРЕХОДЫ ВТОРОГО РОДА ГЛ. ХГЕ термодинамических функций. В то же время такие количественные характеристики вещества, как сама температура перехода Тс, определяются в основном атомными взаимодействиями в веществе на близких расстояниях, чеесу отвечают коротковолновые компоненты гйо Это физически очевидное обстоятельство проявляется в статистическом интеграле тем, что большим значениям 14 отвечает большой фазовый объем. Пусть йо (параметр обрезания) -- некоторое значение й, малое по сравнению с характерным обратныл1 атомным размером.
Длинноволновая часть распределения 41(г) дается суммой т~(г) = ~~~ ц~,ее (147.4) ь(ае а термодинамический потенциал йЯ, отвечающий этому распределению, дается формулой (147.2), в которой произведение по 14 должно быть распространено только по значениям й < йо. Соответственно и связь ПЦ с й дается формулой (147.3) с интегрированием лишь по йй с й < йо ') . Вблизи точки перехода функционал ПЯ может быть разложен по степеням функции фг), а поскольку эта функция медленно меняющаяся, то в разложении можно ограничиться членами наиболее низкого порядка по производным этой функции.
В то же время это разложение должно уже учитывать самый факт существования фазового перехода, поскольку значение Тс определяется уже исключенными из й коротковолновыми компонентами. Это значит, что разложение ПЦ должно прямо иметь вид (146.5) ПИ = По+ ~ ~4~ц+бц~+6(479~ — 'пг71Л Окончательно, опустив теперь значок, приходим к следующе- му выражению для термодинамического потенциала Й: е — Й вЂ” — т1 1 о( — ') П(1 ь' ай, (147.е т, е(ео где [ 2 2+5 4+ (~е )2 1 1Д; (147.6) ) Для простоты рассуждений мы считаем физическую величину и классической. 1акое предположение несущественно, поскольку длинноволновая переменная 6 во всяком случае классична. Для квантовых систем необходимо, однако, выполнение условия вида ййои (( Т, где и -- характерная скорость распространения колебаний параметра порядка.
!ЭФФВКТИВНЫР! ГАМИЛЬТОНИАН 547 играет роль эффективного гамильтониана системы, испытывающей фазовый переход. В области применимости теории Ландау флуктуации малы. Это значит, что в статистическом интеграле (147.5) существенны значения ц, лежащие в узком интервале вокруг значения ц = Г!, минимизирующего эффективный гамильтониан. Взяв интеграл методом перевала (т.е. заменив показатель экспоненты его разложением вблизи минимума)., мы должны вернуться к тсрмодинамическому потенциалу теории Ландау; поэтом!у коэффициенты в эффективном гамильтониане и в термодинамическом потенциале теории Ландау должны совпадать буквально.
При этом, однако, флуктуационные поправки приведут к некоторому сдвигу значения температуры перехода те по сран<о> нению со з!Тачением Т, ~! фигурирующим в (147.6) в разности 1=т т~о~ Интеграл (147.5) берется по бесконечному множеству переменных пк (после того, как эффективный гамнльтониан подстановкой 81(г) из (147.4) выражен через эти переменные).
Если бы этот (как говорят, квнп8инуалъный) интеграл мог быть вычислен, тем самым был бы выяснен характер особенности функции П(р, Т) вблизи точки перехода. Это, однако, оказывается невозможным. В формировании особенности играют роль флуктуации с волновыми векторами й 1/ГВ. При 1 -э О радиус корреляции ге -э оо, так что существенны сколь угодно малые значения Г;.
Поэтому представляется весьма вероятным, что характер особенности не зависит от выбора величины параметра обрезания йо. Если считать, что эта особенность состоит в появлении в термодипамическом потенциале членов с нецелыми степенями температуры 1 и поля !8, то сделанное утверждение означает независимость от Йо показателей .этих степеней (так называемых критических индексов). Отсюда в свою очередь должна следовать независимость этих показателей от конкретных значений коэффициентов ь и и в эффективном гамильтониане (а тем самым — от р или Р, функциями которого они являются).
Действительно, изменение йо -+ йо/Л эквивалентно изменению масштаба, измерения координат (г -э Лг), и потому последнее не должно менять критических индексов. С другой стороны, преобразование г э Лг меняет коэффициент л в эффективном гамильтониане! не меняя коэффициента Ь; поэтому критические индексы не должны зависеть от а! Аналогичным образом, заменив одноврекленно с преобразованием г э Лг также и пе- !8* 548 ФАЗОВЫЕ ПРВРВХОДЫ ВТОРОГО РОДА ГЛ.
ХГ~' Н[В) ~, ~ ( + ~в)]„„[в (147. 7) ь<ьо оп распадается на сумму членов, каждый из которых зависит только от одного из >1»; статистический интеграл при этом легко вычисляется (см. задачу). Далы|ейшие члены разложения (отвечающие уже учету «взаимодействия» между флуктуациями с рвали шыми 1с) представляют собой произведения ра:|личных пю усредненные по гауссовом|у распределению [сю ехр( — Н Т,.
)]. <о) Для таких интегралов справедлива теорема, согласно которой среднее значение от произведения нескольких ПВ равно суь|ме произведений попарных средних значений от множителей, выбранных из числа имеющихся всеми возможными способами. каждое такое среднее есть корреляционная функция флуктуаций (в 1с-представлении), и, таким образом, вычисление последовательных членов разложения по 5 сводится к вычислению некоторых интегралов от произведений корреляционных ременную континуального интегрирования >1 — > Л>1, мы изменим В, не изменив 8, а потому критические индексы нс зависят и от Ь (изменение же коэффициента ГГ вообще несущественно, так как оно устраняется соответствующим изменением масштаба 1, заведомо не отражающимся на показателе сте- ПРНИ) . Таким образом, следует ожидать, что критические индексы будут одинаковы для всех систем с эффективным гамильтонианом вида (147.6).
Они, однако, могут быть другими, если симметрия системы такова, что (по-прежнему при одном параметре порядка) квадратичный по производным член в эффективном гамильтониане имеет более общий вид (146.4). Продолжая эту линию рассуждений, можно ожидать, что и в более общих случаях, когда изменение симметрии при переходе описывается многокомпонентным параметром порядка, критические индексы зависят только от структуры эффективного гамильтониана, но не от конкретных значений коэффициентов в нем. При этом в понятие структуры гамильтониана входит число и вид инвариантов четвертого порядка (а также знаки и соотношения типа неравенств между коэффициентами при них), и вид членов, квадратичных по производным от параметров порядка.
Наконец, скажем несколько слов о вычислении последовательных членов разложения статистической суммы (147.5), (147.6) по степеням 5. Пусть 6 = 0,1 ) О, так что й = 0; при 5 = 0 эффективный гамильтониан 549 эс ввктивный галгильтониан функций'). По мере приближения к точке перехода .эти интегралы расходятся, но оказывается невозможным выделить среди них какую-либо совокупность «наиболее сильноэ расходящихся, которуго можно было бы просумгяироватьг) . В описанной ггостановке задачи подразумевается, что характер особенности пе зависит от наличия членов более высокглх порядков в разложении эффективного гамильтониана по степеням П.
Есть веские основания полагать., что это действительно так, поскольку такие члены приводят к интегралам, расходящимся слабее, чем интегралы, возникая>щие от члена П . Задача Найти первую флуктуационную поправку к теплоемкости в области применимости теории Ландау (А. П. Леванюк, 19бЗ). Р е гп е н и е. Произведем вычисления для симметричной фазы в отсутствие поля. В первом приближении эффективный гамильтониан дается выражением (147.7). Вычисление статистического интеграла по формуле (147.5) дает 7',г»г о)1~ » г г' 64х~йэ (2) ) Указагпгая теорема играет здесь роль, аналогичную ралн теоремы Вика в квантовой электродинамнке, а отдельные члены ряда могут быть изображены графиками, аналогичными диаграммам Фейнмана.
Изложение построенной таким образом «диаграммной техники> вычисления статистической суммы лгожно найти в книге: Патааигинский А. 3., Покровский В. Л. Флуктуационная теория фазовых переходов. — Мз Наука, 1982. ) 7лакое выделение оказывается возможным в формальной задаче о фазовом переходе в пространстве четырех измерений (интегралы в этом случае расходятся при 1 -э 0 логарифмически). На этом обстоятельстве основан предложенный Вильсоном (К. С.
И'г)гоп, 197Ц способ оценки критических индексов: они вычисляются для случая пространства о4 — е измерений» (с малым е), после чего результат экстраполируется к е = 1. л'о х7', /' (пс Э-хкг) 2хкго1)с , =тот ~~)гг и П вЂ” то г ) г — тотуг) л<ло о (интегрирование производится гю половине )с-пространсгва, поскольку г», и О ь не независимы). Представляя собой малую поправку в потенциало П, это выражение дает поправку также и к потенциалу Ф. Двукратное дифференцирование этого выражения по 1 дает поправку к теплоемкости 7 г), г»г4» тгтг г»г го 4 г 7 („14 йг)г 18. ~/г Потребовав малости этой поправки по сравнению со скачком геплосмкости (143.8), мы снова придем к условию применимости теории Ландау (14б.15) в виде 550 ФАЗОВЫХ ПРЕРЕХОДЫ ВТОРОГО РОДА ГЛ.
ХГР 3 148. Критические индексы Существующая теория фазовых переходов второго рода основана на некоторых хотя и не доказанных строго, но вполне правдоподобных предположениях. Она опирается, конечно, и на подтверждение этих предположений эмпирическими данными, а также результатами численных расчетов на определенных простых моделях. Эти данные дают основание считать, что при Т вЂ” Р Т, всегда обращается в бесконечность производная ВСР(дТ, а во многих случаях и сама теплоемкость Ср. Уже отсюда можно сделать ряд заключений о поведении некоторых других термодинамических величин. Сделаем это в предположении обращения в бесконе шость самой теплоемкости 1А. В. Рьрригй, 1956).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
