V.-Статистическая-физика-часть-1 (1109683), страница 111
Текст из файла (страница 111)
В этом случае условие существования точки непрерывного фазового перехода требует обращения в нуль наряду с коэффициентом А(Р.,Т) также и коэффициентов СО1Р, Т) при инвариантах третьего порядка в разложении (145.6). Очевидно, что это возможно, только еслги имеется всего один инвариант третьего порядка; в противном случае мы получили бы более двух уравнений для двух неизвестных Р и Т. При наличии всего одного инварианта третьего порядка два уравнения А(Р, Т) = О и С(1э, Т) = 0 определяют соответствующие пары значений Р, Т, т.е. точки непрерывного фазового перехода являются изолированными.
Будучи изолированными, эти точки должны лежать определенным образом на пересечении кривых (в плоскости РТ) фазовых ггереходов первого рода. Мы не станем производить здесь подробное исследование, ограничившись лишь указанием результатов'). 566 ФАЗОВЫЕ ПРЕРЕХОДЫ ВТОРОГО РОДА ГЛ. ХГ~' Наиболее простой тип изображен на рис. 69 а. Фаза 1 обладает более высокой симметрией, а фазы П и 1П более низкой; 1 !! Рис. 89 при этом симметрии фаз П и П1 одинаковы, и эти фазы отличаются лишь знаком г).
В точке непрерывного перехода (О на рисунке) все три фазы становятся тождественными. В более сложных случаях в точке непрерывного перехода касаются две (как на рис. 69 б) или более кривых фазовых переходов первого рода. Фаза 1 -" наиболее симе|етричная, остальпые-- менее симметричны, причем симметрии фаз П и П1 (и фаз 1л» и 17) одинаковы, и эти фазы отличаются лип|ь знаком г). Задача Исследовать фазовую диаграмму вблизи точки Лифшица, считая, что параметр порядка одиокомнонеитный и зависит только от координаты х (А.
Мгсле!вон, 1977). Р е ш е п и е. Точка Лифшица, в которой соизмеримая фаза теряет устойчивость нв линии перехода, соответствует обращению в нуль ковффициента при (г(г!ггг(х) в термодинамическом потенциале, поэголгу нужно учесть член порядка (гг г!|гг)х ): Ф = ( (Фо+ АО 4- ВО 4-8( — ) -|- — ( —,) )г)14 (1) В области 8 > О устойчиво состояние с постоянным О, т.
е, соизмеримая фаза. Соответственно 8>О .4 > О, О = О (фаза 1), 8 > О, .4 < О, О = ( —.4|2В)'го (фаза П). Уравнение А(Р, Т) = О при 8' > О определяет линию перехода второго рода межлу симметричной фазой ! и соизмеримой фазой 1В Точка же Лифшица определяется одновременным обращением в пуль А и 8| А(РЕ,ТГ,) = О, 8(РЕ,ТЕ) = О.
Вблизи втой точки А и 8 являются линейными функпиями Р— Рл и Т вЂ” Тл. В области 8 < О переход происходит в несоизмеримую фазу с г|, зависящим от х. Вблизи точки Лифшица вту зависимость можно считать чисто синусоидальной: О(х) = Оо совг|х. Подставляя в (1) и учитывая, что сове ох = 1/2, совг дх = 3/8, находим для термодииамического потенциала, отнесенного к единице обьема: Ф = Фо -|- — А(д)чо -~- — Впо, 1-, 3 (2) 2 8 557 ФАЭОВыЙ пеРехОд В дВумеРнОЙ Репгетке где А(д) = А+ Ейа + (7/2)9~. Если я ( О, функция А(9) имеет минимум при 9 = че = ( — 011)'1 . Величина чо и есть волновой вектор «модуляциию Ее длина волны 2я/оо обращается в бесконечность обратно пропорционально квадратному корню из расстояния до точки Лифшица.
Минимальное 1 значение А(до) = А — Кз/27. Уравнение й -419е) = 4 — — = 0 н ь ш 27 определяет линию перехода второго рода из симметричной фазы 1 в несоизмеримую П1. Минимизируя (2) по чо, находим амплитуду модуля- Р ции Осе = (2/3)( — А/В) и значение потенциала Рис. 70 Ф1п = Фо — (1/3)(АР/В).
Приравнивая Фш потенциалу соизмеримой фазы Фп = Фо — (1/4) (А~/В), находим уравнение линии перехода первого рода между фазами П и 1П: е" У1б — 2 7 Полученная фазовая диаграмма схематически показана на рис. 70. 9 151. Фазовый переход второго рода в двумерной решетке Невозможность теоретического определения критических индексов в общем виде придает особый интерес рассмотрению простой модели, допускающей точное аналитическое решение задачи о фазовом переходе второго рода. Это определенная модель двумерной решетки, для которой1 задача о фазовом переходе была впервые решена Онсагером (1.
Опзауег, 1944) ') . Рассматриваемая модель представляет собой плоскую квадратную решетку, систоящую из 111 узлов, в каждом из которых находится В1диполь» с осью, перпендикулярной к плоскости решетки. Диполь может имст1, две противоположные ориентации, так что общее число возможных конфигураций диполей М1 в решетке равно 2 '). Для описания различных конфигураций поступим следующим образом. С каждым узлом решетки (с целочисленными координатами кц 1) свяжем переменную оы, 1 ) Первоначальный метод, примененный Онсагером, был чрезвычайно сложен.
В дш1ьнейшем рядом авторов репгение задачи было упрощено. Излагаемый ниже метод (частично использующий некоторые идеи метода Каца и Уорда (М. Кос, У. С. %ага, 1952)) принадлежит Н. В. Вдовиченко (1964). ) Эта модель известна в литературе как модель Изинга; фактически она была впервые введена Ленцем ( Иг. Ьепд 1920), а для одномерного ш1учая 1В котором фазовый переход отсутствует) исследована изингом (е.
1мвд, 1925). 568 ФАЗОВЫЕ ПРЕРЕХОДЫ ВТОРОГО РОДА ГЛ. Хгг принимающую два значения ш1, соответствующие двум возмож- ным ориентациям диполя. Если ограничиться только учетом взаимодействия между соседними диполями, то энергия конфи- гурации может быть записана в виде Е(а) = — 1,',!, (аиаы«! + аиаиьп) (151.1) ис=! (1. число узлов в ребре решетки '), которую представляем себе в виде болыпого квадрата; 1гг" = Ой). Параметр 1 определяет энергию взаимодействия пары соседних диполсй, равную †.1 и +,г' соответственно для одинаковых и противоположных ориентаций диполей. Будем полагать, что,1 ) О. Тогда наименьи!ей энергией обладает «полностью поляризованнаяа (упоряу!оченная) конфигурация, в которой все диполи ориентированы в одну сторону..
Эта конфигурация осуществляться при абсолютном нуле, а с увеличением температуры степень упорядоченности убывает, обращаясь в нуль в точке перехода, когда обе ориентации каждого диполя становятся равновероятными. Определение тсрмодинамических величин требует вычисления статистической суммы Я = ~е и!~!Д = ~~~ ехр~0Я(аыаы,! + аыаьтп)~)г (151 2) (а! Й,! ехр(Оаыаь ! ) = сЬ 0+ аыав р ВЬ 0 = сЬ 0(1 + аиаь и 1Ь О), в чем легко убедиться, разложив обе части равенства по степеням О и учитывая, что все а~~! — — 1. Поэтому выражение (151.2) можно переписать в виде г = (1 — д)-'О, (151.3) где ь П (1+* иаи! И1+ иаь+г!) (а) Iг,1=! и введено обозначение х = АДЬО.
(151.4) ') Число Л предполагается, разумеется, макроскопически болыпнм, и везде в дальнейшем краевыми эффектами (связанныхги с особыми свойствами узлов вблизи краев решетки) пренебрегается. взятой по всем 2м возможным конфигурациям (мы обозначи- ли О = 1ггТ). Заметим, что 569 ФА3ОВыЙ пеРехОЛ В двуусВРКОЙ Реитвтке ° ° ° ° .Р! !с с1,1 ы 0-1,! ° ° Ь вЂ” 1,1 — 1 !с,! — 1 ЬП1, 1-1 ° ° Ь! Ь!1.1 ° ° ° ~ ° ° 0-2,! — 1 Ь вЂ” 1,! — '~~ ,1 ~ Ь,1-1 ач1,1-1 1 Ь вЂ” 1,! — 2 А — 2,1 — 3 ° ° Ф ° ° ° ° Ь-1, 1-3 Ь 1,1-1 ° ° — — К1-2 ° ° ° ° ° ° ° в Рис.
71 Каждому члену полинома можно однозначно поставить в со- ОтВЕтСтВИЕ СОВОКУПНОСТЬ Лнннй (СсСВЯЗЕйа), СОЕДИНЯЮЩИХ НЕКО- торые пары соседних узлов решетки. Так, изображенным на рис. 71 графикам соответствуют члены полинома: ,.2 2 а) х сть!сс„+ ств Р1 ! 8 2 2 2 4 2 2 2 б) х пыпРФ1 !Всс с1,! — 1сть,! — 1пьз — 2сть — 1,! — 1гсь — 1,! — 2 ,10 2 2 2 2 2 2 2 в) х оь!ПВ1, !сть,1! 1ств! 1ов 2! 1ств 1! 1Оь 1! 2ссь 1! Зх Х ст2 ст2 Ь вЂ” 2,! — 3 Ь вЂ” 2,1 — 2' Каждой линии графика сопоставляется множитель х, а каждому ее концу - множитель ств!. Тот факт, что отличпьсй от пуля вклад в статистическую сумму дают лишь члены полинома, содержащие все ссь! в четных степенях, 1сометрически означает, что в каждом узле графика должны оканчиваться либо две, либо четыре связи. Другими словами, суммирование ведется только по замкнутым графикам, причем допускается самопересечение в узлах (как в узле 1тс, 1 — 1) па рис. 716).
Таким образом, сумма Я может быть представлена в следуто- Я = 2~ ,'с х'я„, (151.5) т Под знаком суммы в (151.4) стоит полином по переменным х и ств!. Поскольку каждый узел (В,1) связан с четырьмя соседями, то каждое оь! может встретиться в полиноме в степенях от нулевой до четвертой. После суммирования по всем сты = х1 члены, содержащие нечетные степени сты, обратятся в нуль, так что ненулевой вклад дадут только члены, содержащие ОЫ в степенях О, 2 и 4. Поскольку ст = оь, — — оы = 1, то каждый член полинома, содеРжащий Все йеРемейтсые оь! в четных степенЯх, даст вклад в сумму, пропорциональный полному числу конфигураций 2'~.
570 ФАЗОВЫЕ ПРЕРЕХОДЫ ВТОРОГО РОДА ГЛ. ХГ~' где 3Г число замкнутых графиков, составленных из (четного) числа Г связей; при этом всякий многосвязный график (например, график рис. 71 в) считается за один. Дальнейший расчет состоит из двух этапов: 1) сумма по графикам указанного вида преобразуется в сумму по всем возможным замкнутым не«елям, 2) получающаяся сумма вычисляется путем сведения к задаче о «случайных блужданияхв точки по решетке. Будем рассматривать каждый график как совокупность одной или нескольких замкнутых петель.
Для графиков без самопересечений такое представление самоочевидно; так, график рис. 71 в есть совокупность двух петель. Для графиков же с самопересечениями такое разбиение неоднозначно; одна и та же фигура может состоять из различного числа петель в зависимости от способа ее построения. Это иллсострируется рис. 72, показывающим три способа представления графика рис. 71 б в виде одной или двух петель без самопересечений или в виде одной петли с самопересечением. Аналогичным образом может быть пройдено тремя способами каждое пересечение и на более сложных графиках. Легко видеть, что сумму (151.5) можно распространить по всем возлюжным совокупностям петель, если при подсчете чисел графиков ЕГ каждый из пих брать со знаком ( — 1)", где и-- полное число самопересечений в петлях данной совокупности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
