V.-Статистическая-физика-часть-1 (1109683), страница 109
Текст из файла (страница 109)
Аргумент же 1 вблизи точки перехода всегда мал, и для получения главного члена в функции 0(1.,6) надо положить его равным нулю. Таким образом, приходим к выраженик| 0(~,6) = 1| ~ ~(, е„), 6 > О, (148.18) ,,„Ед |де Г функция уже только одного аргумента х = 1,16 |Р . Выражение (148.18) написано для 6 > 0: ввиду симметрии системы по отношению к одновременному изменению знака 6 и и, формула для 6 < 0 получается из (148.18) просто заменой 6э — 6, и — ь — и. В сильных полях (т « 1) должен получаться предельный закон (148.10); это значит,что ~(х) = сонэк при т -+ О. (148.19) Более того, при 6 ~ 0 параметр порядка отличен от нуля как при ~ > О, так и при 1 < О,.
и точка 1 = 0 физически ничем не замечательна; это значит, что функция 1(я) разлагается по целым степеням ак В слабых полях при 1. < 0 пара..р порядка следует; 0- ну (148.5), а при 1 > 0 должно быть 0 = т6 с т из (148.8):, из этих требований находим, что 1(я) оэ ( — т) при я — | — оо; )(я) сю х ~ при х — | со. (148.20) Понятие слабого поля предполагает 1 ~ О. При заданном отличном от нуля значении ~ нулевое значение поля не является особой точкой термодинамических функций. Поэтому функция 0(~,6) при 8 ~ 0 разложима по целым степеням переменной 6 (причем это разложение различно для 1 > 0 и 8 < 0). Кстественная формулировка этого свойства, однако, требовала бы записи п(1, 6) не в виде (148.18)., а в терминах функции переменной 6||ХИ~.
Аналогичные соображения можно применить и к корреляционной функции флуктуаций параметра порядка. Так, в отсутствие поля она зависит, помимо расстояния г., еще от 556 ФАЗОВЫЕ ПРЕРЕХОДЫ ВТОРОГО РОДА ГЛ. ХГ~' параметра й Вблизи точки перехода, однако, .корреляционная функция С(г;6) может быть представлена в виде В(',6) =, в„Д 6), (148.21) т.е. с помощью функции всего одной переменной Ге = ГЬ . При х — ~ 0 эта функция стремится к постоянному пределу (в соответствии с определением (148.7)), а при т — ~ ОО экспоненциально затухает, причем корреляционный радиус в зависимости от температуры следует закону (148.6).
Задача Найти закон изменения с температурой при 1 -~ О для производной дС, !дТ, если Ср стремится к бесконечности согласно (148,4) с а > О. Р е ш е н и е. С большей точностью, чем в (148.1), (148.2), напишем при 6 — ~О где а, Ь -. постоянные. Подставив зти выражения в (18.9), найдем 6 Сг а — 6 — —, С„ Если Ср Возрастает как (1 ), то дС, )ОТ со /6! ' .
При 1 = О функция С (1) имеет максимум в угловой точке с вертикальной касательной. 8 149. Масштабная инвариантность Соотношения (148.13)- (148.17) не связаны с какими-либо предположениями о характере флу.ктуационной картины вблизи точки перехода') . Дальнейшие заключения о критических индексах требуют уже определенных предположений на этот счет.
Заметим, что в теорию входят, вообще говоря, два характерных размера, определяющих пространственное распределение фЛУКтУаЦИИ, - КОРРЕЛЯЦИОНПЫй РаДИУС Гс И РаЗМЕР ГО УЧаСтКа тела, в котором средняя квадратичная флуктуация параметра порядка сравнивается с его характерным равновесным значенисмз) . Неравенство (146.14)., обеспечивающее применимость теории Ландау, можно записать как гс » ГО (действительно, ') Естественно позтому, что все ати соотношения удовлетворяются и в теории Ландау.
в) Разумеется, речь идет о распределении лишь на расстояниях, больших по сравнению с атомными размерами. 557 хслс!птлвнля инваеиантность согласно (146.13) и (146.11) имеем в обьеме 1' г!з!! Я.лм))2) Т,)8то и, приравняв это вели гине >)2 ст)с(/Ь, найдем то 'ГД8свф; сравнение с гс (146.12) приводит к условию (146.15)). При 1 = 0 го растет быстрее, чем гс, и на границе области Ландау они сравниваются. Основное предположение о флуктуационной области (определяехзой неравенством, обратным (146.15)) состоит в том, что в ней вообще отсутствует какой-либо малый параметр в теории. В частности, должно оставаться везде го г„так что гс оказывается единственным размером, характеризующим флуктуация.
Это предположение называют гипотезой масппабной инвариантности (ь. Канапе)7", 1966; А. 3. Паташпнский, В. Л. Покровский 1966). Для оценки флуктуаций в объеме т' гз можно пользоваться формулой (146.2) ') . Подставив в условие (149.1) обьем 1' г,'! и выразив затем все величины ~, г„й через степени 1 согласно определениям критических индексов, получим равенство М вЂ” т = 2)> или, с учетом (148.13), и!1 = 2 — а. (149.
2) Присоединив это соотношение к полученным в 8 148, мы можем выразить все критические индексы уже всего через два независимых>) . Требование масштабной инвариаптности позволяет получить единообразным образом все вообще соотношения между критическими индексами. Для этого прежде всего дадим более формальное определение этого требования. Пусть масштаб всех пространственных расстояний меняется в одинаковое число раш г — > г/и с некоторым постоянным и.
Тогда масштабная инвариантность состоит в утверждении, что можно так изменить масштабы измерения величин 1, 6, т)! чтобы все соотношения теории остались неизменными. Другими словами, можно таким образом выбрать показатели ха!, !'.!а !.'!л (так называемые масштабные размерности) в преобразованиях 1 — > 1!з~', И, -+ )и!~", т) -+ г)и~' при г -+ г(и, (149.3) чтобы из всех соотношений мне>кители и выпали. ) Напомним, что в таком виде (т.
е выраженная через восприимчивость Х) зта формула имеет общий характер и не связана с предположениями теории Ландау (ск!. второе примеч. на с. 838). ) В теории Ландау масштабной инвариантности нет (а потому несправедливо и равенство П49.2)). 558 ФАЗОВЫХ ПРЕРЕХОДЫ ВТОРОГО РОДА ГЛ. ХГ~' Изменение пространственного масштаба должно, в частности, приводить к такому же изменению корреляционного радиуса флуктуаций (Г — > Г,/и); тем самым будет обеспечена инвариантность асимптотического выражения корреляционной функции ( ехр( — Г/Г«)). Согласно определениям (148.6) и (148.11) нри 6 = О корреляционный радиус Г, = сопе1 1 Р, а при 1 = О Г, = сопес 6 ".
Произведя преобразование (149.3) и потребовав, чтобы коэффициенты в этих выражениях остались неизменными, получим А=-, Ал= —. (149.4) Р' ' ~/, Далее рассмотрим изменение термодинамического потенциала при бесконечно малом изменении поля 6. Согласно (144.2) имеем Г1Ф = — 1~9 д6 (при 1 = сопеФ и, как всегда, Р = сопв1). При масштабном преобразовании объем 1à — > $'/ие, потребовав, чтобы выражение Г1Ф осталось прежним, т.
е. 1ГВ ~ . Ои~е . И6п~'~ = 1ГО«16, получим Ь„= Г1 — Ьа = Г~ — —. (149.5) Д Таким образом, размерности Ьм Ьь, Ье выражены через два критических индекса и и и. Требование масштабной инвариантности дальнейших соотношений приводит уже к выражению остальных критических индексов через эти два. Потребуем инвариантности «уравнения состояния» системы., т.е. выражения параметра порядка через температуру и поле: й = >1(1, 6). Это значит, что должно быть 9(1 а',6паА) = па 9(1,6). Решение этого функционального уравнения имеет вид 9(1,6) =6' ~"У(„,'„)6нн '(( — „„', ). (149.б) Аналогичные соображения можно применить и к термодинамическому потенциалу Ф(1,6)) (точнее — к его сингулярной части, которая и подразумевается ниже под Ф). Будучи аддитивной величиной, полный термодинамический потенциал тела пропорционален его обьему. Поэтому требование его инвариант- ности при масштабном преобразовании записывается как — Ф(авиа', 6П~А) = — Ф(си' ~, 6и>>") = Ф(1, 6).
и Е 589 НАсгптАБВАя инВАРНАнтность Отсюда (149.7) Функции / и у в (149.8), (149.7), конечно, связаны друг с другом, поскольку — дФ/д/г = г)Г. Выражения (149.б), (149.7) написаны здесь для 6 ) О; ввиду симметрии эффективного гамилг.тониана, по отнопгению к замене 6 э — 6, г) — э — г), формулы для 6 < О получаются из написанных этой же заменой') .
Произведем дальнейшие рассуждения на основании формулы (149.7). Как уже отмечалось в связи с (148.18), при заданном отличном от нуля 6 термодинамические функции не имеют особенности по К и потому должны быть разложиллы по целым степеням этой переменной. Это значит, что при 6 у= О, .Х вЂ” э О функция сз(х) в (149.7) разлагается в ряд по целым степеням малой переменной х = г/6"/'. Первые члены этого разложения дают Ф(/з 6) сю 6ия'(1+ с1 + сэ, +...~г (149.8) 1 гег где сд, сз — постоянные коэффициенты. Потребовав теперь, что- бы параметр порядка и теплоемкостьч вычисленные как йгФ С = — 7с 'сн' ' 1 дФ Р дй' вели себЯ пРи 1 — э О по законам 9 оо 6~/е и Ср сю 6 ' (отвечаю- щим случаю сильного поля), получим два соотношения между критическими индексами; (/гд — 1)д = 1, /г(- — д) = е; легко проверить, что они действительно следуют из уже известных нам соотношений, полученных ранее другим способом.
Пусть теперь 1 имеет отличное от нуля значение; тогда термодинамические величины не имеют особенности прн прохождении нулевого значения переменной 6, и потому функция Ф(г,6) разложима по целым степеням 6. Это значит, что при 6 э О, ) Напомним, однако, лишний раз, что в эффективном гамильтониане и фигурирует как переменная, по которой производится континуальное интегрирование в статистическом интеграле. В термодипамических же формулах под И подразумевается равновесное значение параметра порядка, которое дается производной дФ/дй (или дгг/дй) от термодинамического потенциала, определенного по статистическому интегралу.
Симметрия эффективного гамильтониана приводит, конечно,к аналогичной симметрии в термодинэмических соотношениях. 560 ФАЗОВЫЕ ПРЕРЕХОДЫ ВТОРОГО РОДА ГЛ. ХГ~' 1 ф 0 разложение функции ез(х) по малой переменной 122х = = 6Е2Р221 должно иметь вид р(х) сю хг (1+ сгх "2Р+ стх ~2" +...); множитель х~4 компенсирует нецелую степень 6~", а переменная разложения х '2'" оо 6. Разложение, однако, разли.шо при 1 > 0 и при 1 < О. При 8 > 0 потенциал Ф(1, 6) содержит только четные степени 6, поскольку производная — дФ12д6 = УГ) должна быть (в симметричной фазе) нечетной функцией 6: 62 Ф 1Р4~1+св,~ +...1, 1>0, 6-+О. (149.9) При 6 — Р 0 теплоемкость должна вести себя по закону 1 о, а параметр порядка по закону Г) = )Г6 оо 61 т (отвечающим случаю слабого ноля); легко убедиться, что получающиеся отсюда соотношения тоже эквивалентны уже известным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
