IX.-Статистическая-физика-часть-2 (1109682), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Поэтому представление о заполненных энергетических зонах (возникающее при описании спектра идеального ферми-газа) в реальной электронной жидкости теряет свой буквальный смысл. Квазичастицы вблизи ферми-поверхности называют электронами проводилеости. Их энергия является, в общем случае, линейной функцией квазиимпульса; аналогично (1.12), имеем 3 61 323 ЭЛЕКТРОННЪ|й СПЕКТР НОРМАЛЬНЫХ МЕТАЛЛОВ Замкнутые листы ферми-поверхности можно разделить на две категории в зависимости от того, ограничивают ли они области заполненных (при Т = О) или свободных состояний квазичастиц (в первом случае внутри полости е < ей, а во втором е > ер).
Оба случая можно, однако, описывать аналогичным образом, если считать во втором случае, что «пустая» полость заполнена «квазидырками»; переход системы в возбужденное состояние описывается тогда как переход квазидырок изнутри ферми-поверхности наружу. Самую ферми-поверхность называют тогда дырочной, в отличие от электронной в первом случае '). Физическое различие между двумя типами квазичастиц электронами и дырками — ясно проявляется при их движении во внешних полях. Так, все сечения дырочной (или электронной) ферми-поверхности, определяющие квазиклассические траектории при движении в магнитном поле, относятся к дырочному (нлв электронному) типу в указанном в З 57 смысле. В изотропной «свободной» ферми-жидкости, о которой шла речь в я 1, ферми-поверхность представляла собой сферу, радиус которой определялся плотностью жидкости согласно теореме Ландау (1.1).
Аналогичная связь имеется и для электронной жидкости в металле, но специфика свойств, связанных с периодичностью решетки, приводит к некоторому изменению в формулировке этой связи. Число электронов в металле удобно относить к одной элементарной ячейке его решетки; пусть и —. полное число электронов в атомах одной ячейки. Обозначим через тр суммарный объем в одной ячейке обратной решетки, лежащий с заполненной стороны ферми-поверхности (т. е. со стороны, где е < ер).
Слово суммарный означает здсс|ч что если заполненные области, соответствующие различным листам ферми-поверхности, частично перекрываются, то они все равно должны складываться независимо. Объем тр условимся измерять в единицах объема самой ячейки обратной решетки; сделанное замечание о перекрытии областей означает, что определенная таким образом величина тр может превышать единицу. Интересующее нас утверждение (теорема Латтинэ|сера), заменяющее для металла теорему Ландау, выражается равенством п,=2тр=п — 21 (61.4) где 1 -" некоторое целое число (1 > О).
В модели идеального газа ) Подчеркнем, однако, во избежание недоразумений, что смысл термина «дырка» не совпадает здесь со смыслом, в котором он применялся в описанном в конце З 1 альтернативном способе описания спектра ферми-жидкости (там назывались дырками лишь пустые места, образовавшиеся в заполненной области при возбуждении системы). 11* 324 ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛИ !ЕСКОЙ РЕШЕТКЕ !"т!. Р! в решетке это число имеет простой смысл: полному заполнению каждой зоны соответствует два электрона в ячейке обратной решетки (удвоение связано с двумя спиновыми состояниями), так что 21 есть число электронов, заполняющих 1 нижних зон, а разность п — 21 число электронов в частично заполненных зонах.
Формула(61.4) выражает тот — отнюдь нетривиальный - факт, что аналогичная ситуация продолжает иметь место и при учете взаимодействия между электронами'). По определению металла, целое число п, отлично от нуля. Пусть в металле имеются только замкнутые листы ферми- поверхности электронные и дырочные. Обозначим посредством т и т+ вклады в тг от отдельных электронных и дырочных !б) (б) полостей: тг=~ т~)+~ т~~) б б (суммирования соответственно по всем электронным и всем дырочным листам).
Величина т ' совпадает с объемом электронной полости, а объем дырочной полости есть 1 — т+ . Введем (б) числа электронных и дырочных квазичастиц и = 2~ ~т~'), пб = 2~~! (1 — т~')). При четном п (а потому и четном и,) возможны случаи, когда и, совпадает с удвоенным числом дырочных полостей. Тогда равенство (61.4) сведется,как легко убедиться,к равенству (61.5) И =ПА. Такие металлы с равными числами квазичастиц и квазидырок называют компенсированными. Обратим внимание на то обстоятельство, что при точно выполняющемся равенстве (61.5) сами величины п и пА могут быть произвольными, в том числе сколь угодно малыми.
В таких с!!учаях, когда объемы всех полостей ферми-поверхности очень малы (по сравнению с объемом одной ячейки обратной решетки), говорят о иолумепбвллах'). Существует, однако, нижняя граница для числа электронов проводимости, за которой электронный спектр металлического типа становится неустойчивым и существовать не может (см. об этом ниже, в конце 966).
) Строгий вывод етого утверждения см. Х М. 1 иптдег,',! Рйуе, Реет, 1960. Ъ'. 119. Р. Поз. ) Так, у висмута и = ит 10 325 ЭЛЕКТРОННЫЙ СПЕКТР НОРМАЛЬНЫХ МЕТАЛЛОВ 2 14г мр = —. (2л)е,/ йРР (61.6) где интегрирование производится по всем листам ферми-поверхности, расположенным внутри одной ячейки обратной решетки (при открытой ферми-поверхности грани самой ячейки в область интегрирования, разумеется, не входят). Величина (61.6) заменяет собой в термодинамических величинах выражение, которое для газа свободных частиц (поверхность Ферми сфера) имело вид 2 4лр~л трл (2лй)е рл(т лтйе Так, для электронной части термодинамического потенциала й металла имеем (ср. Ъ', 2 58) еее — еое РР е Т 6 (61.7) где йо, значение потенциала при Т = О.
Рассматривая второй член в (61.7) как малую добавку к йо„согласно теореме о малых добавках, можно написать такую же формулу и для термодинамического потенциала Ф; Ф = Фо — — ирУТ', (61.8) где теперь ир и Р предполагаются выраженными через Р (по «нулевому» приближению, т. е. При Т = 0). Термодинамические величины металла складываются из решеточных и электронных частей. Температурная зависимость последних определяется квазичастицами в окрестности ферми- поверхности (закон дисперсии (61.2)). Характер этой зависимости, естественно, тот же, что и у идеального ферми-газа или у изотропной ферми-поверхности (ср. 21); отличие в формулах возникает лишь от другого числа состояний квазичастиц вблизи ферми-поверхности, не являющейся теперь сферой.
Обозначим число состояний (отнесенное к единице обьема металла), приходящееся на интервал энергий не, через и Ж. Элемент объема )с-пространства между бесконечно близкими изознергетическими поверхностями, отвечающими энергиям ер и ер + ое, равен ф с~э,1йнр, где ф "- элемент площади ферми-поверхности, а нр величина нормального к ней вектора тер = де/Ьд)с. Поэтому 326 ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛИ !ЕСКОЙ РЕШЕТКЕ !"т!. Р! Определяя из (61.8) энтропию, а затем теплоемкость, найдем С, = — иРЪ'Т. (61.9) 3 Решеточная же часть теплосмкости пропорциональна Тз (при температурах, малых по сравнению с дебаевской 0); поэтому при достаточно низких температурах электронный вклад в теплоемкость становится преобладающим ').
По этой же причине становится преобладающим в этой области температур также и электронный вклад в тепловое расширение металла. Определяя из 161.8) объем $' = дФ/дР, а затем коэффициент теплового растпирения а, найдем (61.10) Р ' дТ1р ЗЪ' дР Отметим, что здесь (как и в области Т» О см. 'Ч, з 67) отношение оо'Р' д 1и 1'Р'РР) С дР оказывается не зависящим от температуры.
8 62. Гриневская функция электронов в металле Проведенное в З 56 — 58 рассмотрение относилось к движению одного электрона в решетке, на которую наложено еще внешнее магнитное поле. Покажем теперь, что полученные при этом результаты остаются по существу справедливыми и для квазичастиц (электронов проводимости) в электронной жидкости реального металла, меняется лишь несколько определение входящих в соотношения величин 1Ю. А. Бычков, Л.
П. Горькое, 1961; Х М. 7ийзпдег, 1961). Подходящим математическим аппаратом для общего рассмотрения электронной жидкости является аппарат гриновских функций. В гл. П этот аппарат был развит для «свободной» ферми- жидкости. Выясним, в каких пунктах он должен быть изменен для жидкости в решетке. Гриновская функция электронной жидкости (при температуре Т = О) определяется через гейзенберговские !р-операторы электронов той же формулой (7.9), где усреднение происходит ') Малым параметром разложения в (61.9) является отношение Т!ЕР, а в решеточной теплоемкости — отношение Т76ОЬ Поэтому обе части теплоемкости сравниваются при Т О~/ЕР.
327 ГРИИОВСКАЯ А5УНКЦИ51 ЭЛЕКТРОИОВ В МЕТАЛЛЕ по основному состоянию металла. В силу однородности времени эта функция зависит от аргументов 1! и 1з только через их разность е = 1! — сз. Пространственная же однородность нарушена теперь наличием внешнего по отношению к жидкости поля решетки.
Поэтому гриновская функция зависит не только от разности г! — гз. Можно лишь утверждать, что она инвариантна относительно одновременного сдвига г! и гз на один и тот же (любой) период решетки. Ниже мы будем рассматривать гриновскую функцию в В5, г-представлении, т. е. введем ее фурье-компоненту по 1: С З(ай г5, гз). Именно эта функция позволяет, в принципе, определить энергетический спектр электронной жидкости в металле.
Повторим (не производя вновь всех вычислений) применительно к данному случаю изложенные в з 8 рассуждения. В з8 было показано, что однородность системы позволяет полностью определить координатную зависимость матричных элементов 5)5-операторов и тем самым позволяет записать общее выражение гриновской функции в пространственно-временном представлении в виде (8.5), (8.6); отсюда можно было затем перейти и к ее импульсному представлению в виде разложения (8.7). Для электронной жидкости в решетке инвариантность матричных элементов, выражаемая равенством (8.3), имеет место только для трансляций на периоды решетки, т. е. при г = а. Это приводит, естественно, к меньшей определенности в координатной зависимости: вместо (8.4) можно утверждать лишь, что (0~5р (1, г) ~ т1с) = ~~~~ „(г) ехр( — !В5„,о(1с) 1), (62.1) (т1с ~5Р'„(1, г)~0) = Х~ 5 „(г) ехр(ги5 о(1с) 1) где ~~+~„(г) = е* "и 5, (г), У~ ~„(г) = ес~" и„ь (г), (62.2) квазиимпульс состояния; т -- совокупность остальных характеризующих его квантовых чисел, а и и и некоторые периодические в решетке функции координат (мы выписали матричные элементы только для переходов из основного состояния ..
состояния О). По своим свойствам функции с'+' и аналогичны блоховским волновым функциям электрона в периодическом поле. Выразив гриновскую функцию через эти матричные элементы и переходя затем к компонентам Фурье по времени (подобно тому, как это было сделано в з8), получим 328 ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛИ !ЕСКОЙ РЕШЕТКЕ ГТ!. Р! теперь вместо формулы (8.7) разложение С- ( Х".'„(г!)Х,'"",(г.) Х' ',(г!)Х,' '„(г.) РЕК ( ы+и — г +!О ы+и — е — зо ! ! (62.3) с прежним смыш!Ом обозначений е~ю и е~ ~: во втором члене произведено переобозначение к -+ — 1с. Наличие незатухающих одночастичных элементарных возбуждений вблизи ферми-поверхности металла проявляется в том, что при е вблизи )! Энергия состояния зависит только от )с.
Для таких состояний функция С д(ед г! ! г2) имеет полюс при ш = е()г) — )А. Вблизи полюса она имеет вид Х ! (г!)ХЕ (г!) !!+и — г(Ь)+!о е!КЕА! При наличии вырождения по спинам должно еще производится суммирование по двум спиновым состояниям. Определение энергетического спектра по гриновской функции сводится, в принципе, к задаче о собственных значениях некоторого интегро-дифференциального линейного оператора. Основные принципы диаграммной техники в координатном пространстве для рассматриваемого случая остаются теми же, что и в обычной ферми-жидкости. В частности, введя собственнознсргетическую функцию ЕО~((, гы г2) (как сумму определенной в 3 14 совокупности диаграмм), можно записать гриновскую функцию С,„д((, г!, г2) в виде ряда (14.3)! который суммируется к диаграммному уравнению (14.4).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
