IX.-Статистическая-физика-часть-2 (1109682), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Для его изучения целесообразно отвлечься от усложнений, связанных с анизотропией решетки и ее микроскопической неоднородностью. Другими словами, рассматриваем среду как микроскопически однородную, изотропную жидкосп, соответственно чему в ней возможны лишь продольные звуковые колебания. )Предполагается, что поверхностная знергня границы раздела между фазами положительна. 341 злкктгон-ооноыное Взаимодействик В первом приближении по деформации потенциал, отвечающий такой упрощенной модели, представим в виде алеф(г) = — / И'(г — г') р'(г') г1~х', (64.1) Рl где р' --.
переменная часть плотности среды (а р — ее постоянное равновесное значение). Функция Иг(г — г') убывает на длинах порядка межатомных расстояний а. Мы упростим выражение (64,1) еще далыпе, заметив, что для взаимодействия с фононами с волновыми векторами )с «1/а эти расстояния можно считать равными нулю, т. е. положить Иг = гпб(г — г'), где и — гюстоянная. Тогда Уд,ф = сор' (г)/р. В квантовой теории, в представлении вторичного квантования, этот потенциал записывается как гамильтониан электрон-фононного взаимодействия Й,р — — — 1 гк~(1, г)р (1, г) 4г (~, г) д~х, (64.2) Рl' где операторы 1Р, Фт относятся к электронам, а р гейзенберговский оператор плотности, описывающий фононное поле; для свободных (не взаимодействующих с электронами) фононов он дастся формулой (24.10).
В математическом аппарате гриновских функций в применении к электрон-фононному взаимодействию появляется наряду с гриновской функцией электронов С еще и фононная гриновская функция, определяемая как Р(Хм Х2) = П(Х1 — Х2) = — 4(Тр (Х1) р (Х2)), (64.3) причем хронологическое произведение раскрывается по правилу (31.2), отвечающему случаю бозонов. Для свободных фононов гриновская функция в импульсном представлении 2и 1ы — их+го ы+ий — гО) ыэ — иткэ+го (см. задачу к 3 31; в промежуточных формулах полагаем гг = 1).
Рассматривая электрон-фононное взаимодействие как малое возмущение, можно построить основанную на операторе (64.2) диаграммную технику подобно тому, как это было сделано в 213 для парного взаимодействия фермионов. Не повторяя заново всех рассуждений, сформулируем получающиеся правила составления диаграмм (в импульсном представлении) '). ') Структура выражения (64.2) для оператора электрон-фононного взаимодействия аналогична структуре оператора электрон-фотонного взаимодействия в квантовой электродинамике, В связи с этим аналогичны и правила диаграммной техники в обоих случаях.
342 ЭЛЕКТРОНЫ В КРНСТАЛЛИ гЕСКОЙ РЕШЕТКЕ ГГ!. Р! Основными элементами диаграмм являются электронные (сплошные) и фононныс (штриховые) линии, каждой из которых приписывается определенный «4-импульс». Электронной линии с 4-импульсом Р ставится в соответствие множитель 4С р — — гб рС (Р) гриновская функция свободных элек- . (О) (0) тронов.
гРононной линии с 4-импульсом К сопоставляется множитель ТР(0)(К) . — гриновская функция свободных фононов. В каждой вершинной точке диаграммы сходятся две сплошные и одна штриховая линии; такой точке дополнительно сопоставляется множитель — го!,г р. Так, первая поправка к электронной гриновской функции изображается диаграммой ') К (64.5) Р— К которой отвечает аналитическое выражение гбД(Р) ~ [фО)(Р)[2 /фО)(Р К) Г)(0)(К) (64 6) Р! У (2гг) 4 Первая поправка к фононной гриновской функции изображается диаграммой Р к---~ «----К (64.7) Р— Х или в аналитическом виде тхг)(К) 2" [(«(0)(К)12 / гз(о)(Р) гз(а)(Р К) и Р (64 3) Рз ,/ (24г) 4 (коэффициент 2 возникает от свертывания спиновых множителей: б рбр = 2; учтен также множитель — 1, связанный с наличием одной замкнутой фермионной петли ср.
313). Покажем, что электрон-фононное взаимодействие в металле приводит к появлению «эффективного притяжения» между ') Диаграмма с замкнутой на себя Электронной линией (подобная диаграмме (13.13а)) отсутствует ввиду того, что РОО(0) = О. При атом подразумевается, что переход к пределу )4 -4 0 совершается прежде, чем ьг — » О, Это отражает то обстоятельство, что в координатном пространстве интегрирование по г(~е (как раз и означающее в данном случае переход к )г -4 0) содержится уже в определении гамильтониана (64.2) и потому совершается до интегрирования по времени, возникающего при применении теории возмущений к этому гамильтониану.
З4З элвктгон-ьононнов взлимодвйствив (64.9) К ~2 Р2 К 12 изображающую рассеяние двух электронов, осуществляющееся через обмен виртуальными фононами; 4-импульсы Р = (е — д, р), Л = (м, 1г), д --- химический потенциал электронов при Т = О, совпадающий с граничной энергией е г. Этой диаграмме отвечает вершинная функция 2 Гтд д = Гб„.,бр~, ГГ = — — ) 4П~~~ (К), Р или (64.10) р(м' — и'й' + 10) ' причем йю = е~~ — ем Яс = рт~ — рь По порядку величины импульсы электронов вблизи ферми- поверхности р рг 6/а.
Рассеянию электронов на угол 1 отвечает импульс фонона йй 6/и и его энергия Ьик йи/а йа0э, где юн -- дебаевская частота (для металлов йын « ер). С другой стороны, электрон не может отдать энергию большую, чем е — ер. Поэтому, если для обоих электронов ~е — ен~ << ын, то заведомо Г = ш~/ри~ ) О.
(64.11) Учитывая смысл Г как амплитуды рассеяния Я 16), мы видим, что ее знак соответствует притяжению между частицами. Подчеркнем, что этот результат относится лишь к электронам в сравнительно узком слое (ширины Ьшн по энергии) импульсного электронами вблизи ферми-поверхности. Оно может быть описано наглядно как результат испускания виртуального фонона одним электроном и его поглощения другим (Х Вагг1ееп, 1950; Н. РгоИхсБ, 1950).
Рассмотрим диаграмму 344 ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛИ гЕСКОЙ РЕШЕТКЕ !Ч!. Р! пространства вблизи ферми-поверхности. Это обстоятельство было уже использовано в 843 для установления величины параметра обрезания в теории сверхпроводимости металлов '). 8 65. Влияние электрон-фононного взаимодействия на электронный спектр в металле Рассмотрим вопрос о влиянии, оказываемом электрон-фононным взаимодействием на энергетический спектр электронов в металле'). В 814 было показано, что для спектра фермиевского типа поправка к закону дисперсии е(р) (по сравнению со спектром сиетемь! Свободных фермионов) определяется разностью бе(р) = Е(е — )г, р) — Е(0, р), (65.1) где Е = С(Е) 1 — С ! — собственно-энергетическая функция.
В данном же случае речь идет о поправке, вызванной взаимодействием с фононами, а роль еневозмущенногоэ играет спектр, учитывающий «прямоеэ взаимодействие частиц (электронов). Согласно (64.6), имеем в) Е(Р) 5С ! /С(о)(Р К)Д(ю)(К) но под С(е) надо понимать теперь гриновскую функцию взаимодействующих друг с другом электронов. Вблизи своего полюса такая функция имеет вид С(е)(е — гг, р) = я [с — )А — и (р — рр)+ 10 з(яп(е — )А)) ! (65.3) (см. (10.2)); индекс (О) у ир означает, что в этой величине сщс не учтено влияние электрон-фононного взаимодействия. ) Что касается постоянной ю, то для грубой оценки ее для металлов можно заметить, что изменение энергии электрона должно достигать порядка величины ее самой ( ее), когда изменение плотности р' р.
Отсюда ы ее. ) Излагаемые в этом параграфе результаты принадлежат А. Б. Мигдалу (1958) . ) В промежуточных формулах полагаем й = 1. 345 ВЛИЯНИЕ НА ЭЛЕКТРСННЪ|й СПЕКТР В МЕ'ГАЛЛЕ Наша цель состоит теперь в оценке величины (65.1), т. е. интеграла СЕ = и 2 /(~(о)( 1 ) с2(о)( 1 )21),)(о)( 1 )) д4К >2 / (2Е)2 (65.4) Как видно из последующих вычислений, основной вклад в этот интеграл дает область, в которой импульс р — )с и энергия е — ы [как и свми р и е) лежат вблизи ферми-поверхности, т.
е. е « р Р, ы « и. По этой причине для функций С(~) можно использовать (65.3). В сферических координатах в )г-пространстве с осью вдоль р имеем |14К = 22|Е2 |1)2|(ь| д сов 0, где д — угол между 1» и р. Вместо сов д введем переменную р| = [р — )с [; заметив, что р1 — — р +Й— — 2рй сов 0, имеем |Х~К = 22гй2 <й Ы р| г(р1 (р)2 = 2Я)ЕЮ |4Н| г(р1 (мы положили р| = р = рк) В подынтегральном выражении в (65.4) от р| зависит только множитель в фигурных скобках, равный (...) = — [е — )2)я[с — р — ш — ЕР (р| — рг)+20.
В(ип[е — 12 — ы)] 1х (о) х[ — ы — ер (р — рг) — 20 э|ивы) (о) -1 Ввиду быстрой сходимости интеграла по |((р1 — рр), можно распространить интегрирование до асс; введя поременную и (0) = нг (Р| — Рр), полУчим интегРал ( -л)г /' |(П ,/ (21 — (е — и — и) — |О 2|ил(е — и — 22)) (в+и+20 . 21еп 22) Если оба полюса подынтегрвльного выражения находятся по одну сторону от вещественной оси, то интеграл обращается в нуль [в чем убеждаемся, замкнув путь интегрирования в другой полуплоскости).
Поэтому интеграл отличен от нуля, лишь если е — )2 > ы > О или е — )2 < ы < О; в первом случае он равен — 22|гЯ||нг, а во втором 2кге/нг . Учтя также четность (о) (о) 846 ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛИ 4ЕСКОЙ РЕШЕТКЕ !"г!. Р! функции 1)10)(ы, 1с) по переменной нг, находим, таким образом, ~ — Р~ 8ссгреР4Ю У У гсгг — и)с+40 44+Ее — 40/ Вещественная и мнимая части этого выражения определяют соответственно поправку к спектру квазичастиц (электронов проводимости) и их затухание.
Рассмотрим сначала затухание. Отделяя в (65.5) мнимую часть по правилу (8.11), находим г 8ЕРЕРР (65.6) Для грубой оценки этой величины замечаем, что параметры и и Эг имеют электронное происхождение и выражаются, (О) по порядку величины, литпь через мсжатомные расстояния а и массу электрона т: ир рр(т Цат, ы ер с! (та (см. (0) 2 2 примечание на с. 344). Плотность жс р и скорость звука и зависят еще и от массы ионов М, причем р сс М, и сс М ', так что ри4 СС 144М. ПОЭтОМу ОцЕНКу ЗатуХаНИя МОЖНО ЗаПИСатЬ В ВИДŠ— 1тпбе ~е — )4~~(йслр) (65.8) ГдЕ дЕбаЕВСКая ЧаСтОта 04р и,с!а СС М Строго говоря, оценка (65.8) относится к значениям ~е — )4~ << « 64лр, при которых интегрирование в (65.6) производится по области )с < ~е — )4~/и6 << сэтг/и, где действительно применим используемый нами закон дисперсии фононов сл = )си. Но для грубой оценки по порядку величины можно применить (65.8) и на краю области при е — р аз, где она дает (65.9) — 1т бе Бы!2 е — р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
