IX.-Статистическая-физика-часть-2 (1109682), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Это значит, что т.Ф =.!"Ф, где 1с постоянный вектор; этот вектор (квазиимпульс электрона) оказывается параметром, классифицирующим неприводимые представления. Полная классификация неприводимых проективных представлений группы трансляции может быть произведена (Е. Вгошп, 1964; Х Лай, 1964) в случае, когда магнитное поле удовлетворяет условию Ь=4згР— ', (60.5) я в где р и !1 любые два взаимно простых целых числа; аз — один из трех произвольно выбранных основных периодов решетки аг, ач, ав, и = ~а!аз]аз объем элементарной ячейки решетки. Другими словами, магнитное поле должно быть направлено вдоль какого-либо периода реп!етки, а величина ЬЕД4згаз) должна быть рациональным числом. Умножив равенство (60.5) на [агат], можно представить это условие также и в виде Ь~агаз] = 4згр,1д, (60.6) Для классификации неприводимых проективных представлений группы трансляций существенно, что из этой группы можно выделить подгруппу (будем называть ее Агагнипзной), по отношению к которой представление является не проективным, а обычным.
При соблюдении условия (60.6) такой подгруппой является С понятием о проективных представлениях групп мы встречались уже в, 1134. Напомним, что проективными представлениями группы С называются вообще представления, осуществляемые операторами С, соотношения между которыми совпадают с соотношениями между соответствующими элементами группы С лишь с точностью до фазовых множителей: есз!и СгСг = Сз, то для операторов имеем СгСг = ыггСз, где ыш должно быть равно единице только по модулю.
гз 60 симмвтгия состояний злвктгонь в магнитном полк 319 совокупность трансляций вида а„= пга1 + пзда2 + пзаз (60.7) с целочисленными коэффициентами а1, вз, пз. Действительно, когда вектор Ь направлен вдоль аз и удовлетворяет условию (60.6), для всех трансляций такого вида показатель экспоненты в (60.3) обращается в нуль или в кратное от 2я, так что все множители ю(а, а') = 1 ').
Совокупность трансляций (60.7) образует решетку с основными периодами а1, да2, аз (назовем ее магнитной). Магнитная же обратная решетка соответственно имеет периоды Ь1, Ь2/д, Ьз, где Ь1, Ь2, Ьз периоды основной обратной решетки. Обычные неприводимые представления магнитной подгруппы, как и группы трансляций в целом, одномерны; они характеризуются волновыми векторами (квазиимпульсами) К, все неэквивалентные значения которого заключены в одной ячейке магнитной обратной решетки. Пусть гр11) — функция базиса одного из таких представлений с квазиимпульсом к1Ц = К.
Для нее Т „„ф) ) (г) = е' г)г ) (г). (60.8) При трансляции же на период а2 (не входящий в магнитную подгруппу) получим из г)и ) функцию г)и ) с другим квазиимпульсом. Для его определения, используя (60.4) и (60.8), имеем Т „,ф~~~ = Т Та,ф~~~(г) = ехр( — гЬ[а а2[)Т тТ фи(г) = = ехр[ — га [а2Ь[+ га„1ср~) Тазздц~(г) или окончательно Т ф2)[ ) йси~а Л)(2)( где 1с)~) = к~1) — [азЬ[ = К вЂ” 2" — Ь1 Ч (в последнем равенстве подставлено (60.5) и введен период обратной решетки 2п[азаз[/е = Ь1). Далее надо различать случаи нечетных и четных значений с) '). ') Выбор магнитной подгруппы, вообще говоря, неоднозначен: вместо (60.7) можно выбрать любую совокупность трансляций вида а = п~лга~+ +пзезаз + пзаз, где дм оз — целые числа такие, что огсз = е.
) При о = 1 магнитная подгруппа совпадает с полной группой трансляций. Таким образом, если 1з — целое кратное от 4каз/е, то проективные неприводимые представления группы трансляций совпадают с обычными неприводимыми представлениями и состояния электрона классифицируются так же, как и в отсутствие поля.
320 ЭЛЕКТРОНЫ В КРИС'!АЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКЕ !"Х!. ! ! Пусть !! нечетное число. Повторив трансляцию на аз еще д — 2 раз, получим всего !! различных функций с квазиимпульсами 1г!!1=К, 1с!~!=К вЂ” 2 Р Ь!, ..., 1с1'!=К вЂ” 2 "1~ ) Ьп (60.9) Я Я Вычитанием надлежащего целого кратного вектора Ь| эти значения приводятся (в той или иной последовательности) к значениям 11=К, К+ — Ь|, К+ — Ь|, ..., К+~ Ь!.
(60.10) Я Ч Я Эти !! функций и осуществляют и-мерное неприводимое проективное представление группы трансляций. Мы получим все неэквивалентные представления, когда К пробегает значения в ячейке со сторонами Ь!/!1, Ъз/9, Ьз (квазиимпульсы же 1с01, 111~1, ... пробегают при этом значения в ячейке со сторонами Ьм Ьз/д, Ьз). Пусть теперь д четное число.
Тогда в последовательности 60.9) уже (д/2+ 1)-е значение, равное К вЂ” рЬ|, отличается от лишь целым кратным периодов обратной решетки Ь!. Другими словами, имеется всего 9/2 неэквивалентных значений 1г; они даются выражением (60.10) с !!/2 вместо !!. Таким обрезом, в этом случае неприводимые представления !1/2-мерны, причем К пробегает значения в ячейке со сторонами 2Ь!/9, Ьз/!!, Ьз. Эти результаты позволяют сформулировать следующее заключение о характере изменения энергетического спектра электрона в решетке при наложении на нее магнитного поля (удовлетворяющего условию (60.5)). В отсутствие поля спектр состоит из дискретных энергетических зон, в каждой из которых энергия е(1с) является функцией квазиимпульса, пробегающего значения в одной ячейке обратной решетки.
При наложении поля такая зона расщепляется на !1 подзон, в каждой из которых все уровни энергии вырождены с кратностью 9 при нечетном или д/2 при четном 9. Энергия в подзоне может быть выражена как функция е(К) вектора К, пробегающего значения в 1/дз-й (при нечетном !!) или 2/9з-й (при четном д) части ячейки обратной решетки. Описанная картина в определенном смысле крайне чувствительна к величине и направлению магнитного поля. Действительно, сколь угодно близко к значению Н, удовлетворяющему условию (60.5) с некоторыми р и д, лежат значения, удовлетворяющие такому же условию, но с гораздо болыпими д! так что путем сколь угодно малого изменения поля число подзон мож- 321 ЭЛЕКТРОННЪ|й СПЕКТР НОРМАЛЬНЫХ МЕТАЛЛОВ но сделать сколь угодно большим.
Подчеркнем, однако, что это отнюдь не означает такой же неустойчивости в наблюдаемых физических свойствах. Последние определяются не столько конкретной зонной структурой, сколько распределением числа состояний по малым, но конечным интервалам энергий; это распределение мало меняется при малом изменении поля. Дело в том, что сильно меняется не энергия состояний, а лишь их классификация ввиду изменения области определения квазиимпульса .
6 61. Электронный спектр нормальных металлов В реальных кристаллах нормальных (несверхпроводящих) металлов электроны образуют квантовую ферми-жидкость, относящуюся к описанному в гл. 1 типу. Ряд отличий возникает, однако, в связи с тем, что здесь мы имеем дело не со «свободной» изотропной жидкостью, а с жидкостью в анизотропном периодическом поле решетки. Подобно тому как энергетический спектр свободной ферми- жидкости строится аналогично спектру идеального ферми-газа, так спектр электронной ферми-жидкости в металле строится аналогично спектру идеального фгаза в решетке». Появление квазиимпульса как сохраняющейся величины связано только с пространственной периодичностью системы (подобно тому как сохранение истинного импульса является следствием полной пространственной однородности).
Естественно поэтому, что перечисленные в ~ 55 свойства переносятся и на характер классификации уровней в спектре электронной жидкости в металле, причем роль частиц (электронов) переходит к квазичастицам. При температуре абсолютного нуля частицы идеального ферми-газа в периодическом поле займут все нижние уровни с энергиями е вплоть до некоторого граничного значения ел (совпадающего со значением химического потенциала 11 при Т = О), определяемого условием, что число состояний с е < ег совпадает с полным числом электронов. При этом энергетические зоны, для которых е,(1г) < НР при всех значениях к, окажутся полностью заполненными, зоны с е,(1г) > ег — пустыми, а зоны, для которых уравнение е,(1г) = ег (61.1) имеет решение, будут заполнены частично.
Уравнения (61.1) определяют в 1с-пространстве граничную поверхность Ферми, отделяющую (для каждой зоны) заполненные состояния от пустых. Аналогично, в реальном металле существует поверхность в 1г-пространстве, отделяющая область заполненных (при Т = О) состояний квазичастиц от свободных состояний; по одну сторону этой поверхности энергии квазичастиц е > ер, а по другую 11 е.м.л ф «,л.п.п Р«А 322 ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛИ 1ЕСКОй РЕШЕТКЕ 1"Л.
1 1 е(1с) — ел 1ег(1с — 1су )тгр, где )су точка на ферми-поверхности, а (61.2) Йтгр = ( — ) (61.3) скорость электронов проводимости в этих точках '). Вблизи ферми-поверхности должна лежать и «область размытостиа распределения электронов проводимости при отличных от нуля температурах. Отсюда возникает условие применимости теории ферми-жидкости: Т « окрор, где кр и ер характерные величины размеров ферми-поверхности и скорости на ней.
Обычно размеры йр совпадают по порядку величины с размерами ячейки обратной решетки, так что ар 1/а (исключение составляют так называемые полуметаллы см, ниже). Положив также для оценки ер 11кр/т, придем к условию Т « 10 — 10 К, практически всегда выполняющемуся. Фактически все металлы имеют кристаллические решетки с центром инверсии. Согласно сказанному в конце 255, все уровни энергии электронов проводимости 1с заданными )с) двукратно вырождены по спину 1речь идет о металлах не ферро- и нс антиферромагнитных) .
Форма и расположение ферми-поверхности являются важной характеристикой каждого конкретного металла. У различных металлов они имеют самую разнообразную, вообще говоря сложную, форму. Ферми-поверхность может состоять из нескольких не связанных между собой листов, которые могут быть одно- связными или многосвязными, закрытыми или открытыми (ср. сказанное в 2 55 об изоэнергетических поверхностях вообще). ) Формулы же типа (2.11) для эффективной массы, полученные в 12 для «свободной» ферми-жидкости из соображений галилеевой инвариант- ности, к электронной жидкости в кристаллической решетке, разумеется, не относятся. е < ер. Напомним, однако 1см. 2 1), что понятие квазичастиц в ферми-жидкости имеет реальный физический смысл лишь вблизи ферми-поверхности, где затухание элементарных возбуждений сравнительно мало.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
