IX.-Статистическая-физика-часть-2 (1109682), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Изложение рсгулярного метода получения гамильтониана в виде ряда по степеням Н, а также общие выражения первых членов этого ряда даны в статьях: В. 1. В1оип1 // Р11ув, йеч. 1962. Ч. 126. Р. 1636; ВО116 61Е1е РЪув1св. 1963. У. 13. Р. 306. Отметим, что если кристалл обладает центром инверсии, ряд начинается с членов порядка Н (см.
3 39). 302 ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛЕ гЕСКОИ РЕШЕТКЕ !Ч!. Р! постоянного слагаемого е!!ее; такое слагаемое добавится и ко всем собственным значениям св()с). При непостоянном же, но медленно меняющемся в пространстве потенциале !р(г) аналогичный операторный член добавляется к эффективному гамильтониану в 1с-представлении: Й, = св(1с) + е!Е!(г). (56.13) 0 57.
Квазиклассические траектории Применим полученные в предыдущем параграфе результаты к важному с!гучаю, когда движение электрона в магнитном поле квазиклассично. Условие квазиклассичности состоит, как известно, в малости изменения де-бройлевской длины волны частицы на расстояниях порядка ее самой. В данном случае это условие эквивалентно неравенству тН>>Л (57.1) — радиус кривизны орбиты велик по сравнению с длиной волны Л 1,1Й ').
В квазиклассическом случае имеет смысл понятие траектории частицы. Она определяется уравнениями движения, получающимися из (56.11) заменой операторов соответствующими классическими величинами: 6К = — —, тг =, Н = е (К вЂ” — 'А(г)) (индекс е для краткости опускаем). Раскроем эти уравнения, введя вместо обобщенного квазиимпульса К «кинетический квази- импульс» 1с = К вЂ” — 'А(г). 6с Имеем И6 е дА(г) дН е дА, д! . д1 дг ." дг' Написав здесь с1А/сМ = (и17) А и заметив, что (и!'!7)А! — ~(тег7)А =~'ч го1 А) = (тгН], ') Это условие, вообще говоря, более сильное, чем условие (бб.э). Но если 6 1/а (как это имеет место для электронов проводимости в металле), то оба условия совпадают и фактически всегда выполняются: при гл с66Д е ~Н с6!!а~ е ~Н условие гн>> а приводит к требованию 1Е«с6Де)а~ 10 — 10 Э.
3О3 КВАЗИК1!АССИЧЕСКИЕ ТРАЕКТОРИИ получим уравнение движения "лй = е [ Н), а (й) (57.2) 1й с бд1с Это уравнение отличается от обычного классического уравнения Лоренца лишь другой зависимостью е(зс): вместо простой квадратичной функции мы имеем дело со сложной периодической функцией; соответственно сложной периодической функцией является и зависимость тг(к). Это обстоятельство приводит, естественно, к существенному изменению характера движения электрона.
Рассмотрим движение электрона в однородном магнитном поле. Умножив уравнение (57.2) на зг, найдем обычным образом: Ьн РВс(<гс = йе(й = О. Умножив же уравнение (57.2) на Н, найдем, что д(НК),1й = О. Таким образом, при движении электрона в решетке, как и при движении свободного электрона в магнитном поле: (57.3) е = сопз1, Й, = сопв$ (ось е в направлении поля Н). Равенства (57.3) определяют траекторию электрона в К-пространстве. Геометрически эта траектория представляет собой контур сечения изоэнергетической поверхности е(гс) = сопв1 плоскостью, перпендикулярной магнитному полю.
Изоэнсргетические поверхности могут иметь самую разнообразную форму. Они могут содержать (в каждой ячейке обратной решетки) несколько не связанных друг с другом листов. Эти листы могут быть односвязными или многосвязными, закрытыми или открытыми. Для уяснения пошгсднего различия удобно рассматривать изоэнергетическую поверхность, периодически продолженную по всей обратной решетке. В каждой ячейке будут находиться одинаковые замкнутые полости, а открытые поверхности проходят непрерывным образом через всю решетку, уходя на бесконечность '). Сечения изоэнергетической поверхности складываются из бесконечного множества контуров. Сюда относятся как контуры сечения различных листов изоэнергетической поверхности в пределах одной ячейки обратной решетки, так и контуры сечения листов, повторяющихся в различных ячейках.
Если лист изоэнергетической поверхности замкнут, то и все его сечения 1 ) Отметим, во избежание недоразумений, что может оказаться невозможным выбрать ячейку обратной решетки таким образом, чтобы все существенно различные (т. е. не являющиеся периодическими повторениями) замкнутые полости были расположены внутри одной ячейки без того, чтобы быть рассеченными се гранями.
ЗО4 ЭЛЕКТРСНЪ| В КРИСТАЛЛИ !ЕСКСЙ РЕШЕТКЕ ГХ!. Р! де де (де!!д1сс ( Ь ! так что площадь этого кольца Отсюда видно, что интеграл в (57.4) представляет собой не что иное, как частную производную дЯ/де. Таким образом, период движения Т са' дд(е, й.) (е~Н де (57.5) представляют собой замкнутые кривые. Если же лист откры- тый! то его сечения могут быть как замкнутыми, так и откры- тыми (т. е.
непрерывно продолжающимися через всю обратную решетку) . Квазиклассичность движения подразумевает также и малость вероятности магнитного пробоя скачкообразного изменения квазиимпульса электрона с переходом его с одного контура на другой (к условию этой малости мы вернемся в конце пара- графа). В пренебрежении этой вероятностью, следовательно, электрон движется лишь по одному контуру сечения изоэнср- гетической поверхности. Рассмотрим более подробно движение по замкнутым траек- ториям в квазиимпульсном пространстве. Такое движение, оче- видно, периодично во времени; определим его период. Проецируя уравнение (57.2) на перпендикулярную полю плос- кость й, Й„! получим — Ц! = ~!вЮе + Е, !ЦА ~е~Н Г~ г !й с!! где сйь = <И~ + Ю~~ -- элемент длины 1с-орбиты.
Отсюда с6 / !Ь!А (е~Н ,/ РА Если траектория замкнута, то период движения дается инте- гралом т= '" (57.4) (е ~Н,/ ст взятым по всему ее контуру. Это выражение можно преобразо- вать к более наглядному виду следующим образом. Введем площадь Я(е, к,) сечения изоэнергетической поверх- ности е = сопй плоскостью е„= сопй. Ширина кольца в этой плоскости между контурами е = сонэк и е+пе = сонэк составляет в каждой его точке 305 квлзикллссическивтРАВктогии ( И'. ЯЬосй)еу,1950). Здесь естественно ввести величину 6~ дд т' = — —, (57.6) 2я де которую называют циклотронной массой электрона в решетке.
Частота обращения электрона по орбите выражается через эту величину согласно формуле оэц = ~ е)Н(т*с, (57.7) отличающейся от известной формулы для ларморовой частоты свободных электронов заменой их массы на т* '). Подчеркнем, однако, что в случае электронов в решетке циклотронная масса — не постоянная величина, а функция е и Й„ так что она различна для разных электронов. Отметим также, что эта величина может быть как положительной, так и отрицатслыгой; в первом случае электрон движется по орбите как отрицательно заряженная, а во втором — как положительно заряженная частица дырка. Соответственно этому говорят об электронных и дырочных траекториях.
До сих пор мы говорили о траектории электрона в )с-пространстве. Легко видеть, однако, что существует тесная связь между траекториями в квазиимпульсном и обычном пространствах. Уравнение движения (57.2), переписанное в виде после интегрирования (и надлежащего выбора начала отсчета координат г и квазиимпульсов )с), дает Яс = — — [гН1 (57.8) Отсюда видно, что ху-проекция орбиты в обычном пространстве по существу повторяет 1с-траекторию, отличаясь от нее лишь ориентацией и масштабом: первая получается из второй заменой Й, †> — у, Й -+ — х. )е)Н (е(Н 6с " 6 Кроме того, в обычном пространстве имеется движение вдоль оси я со скоростью и, = де/6 дй,.
Если траектория в )с-пространстве замкнута, то в обычном пространстве она представляет собой спираль с осью вдоль направления поля. Если же траектория ') Для свободного электрона изоэнергетическая поверхность — сфера е = 6~6~/2т. Ее сечения — круги с площадью Я = л(2те6 ~ — Й~), так что производная дд/де = 2ягпф~ и пг* = т. Зоб ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛИ 1ЕСКСЙ РЕШЕТКЕ !"Х!. ! ! открытая, то открыта также и проекция траектории на плоскости ху в обычном пространстве, т. с. движение в этой плоскости инфинитно.
Скажем еще несколько слов о квазиклассическом движении электрона при наложении на ре!петку постоянного однородного электрического поля Е. Из квазикласснчсского уравнения Ьк = еЕ имеем еБ "= "о+— (57.9) 6 Из закона же сохранения энергии имеем е(1с) — еЕг = сопз1. (57.10) Но энергия е(1г) пробегает значения в конечном интервале !Ае (ширина зоны); поэтому из (57.10) следует, что движение элек- трона в однородном электрическом поле фи- !!Р нитно вдоль поля: электрон совершает в этом направлении колебания с амплитудой Ье/~ е ~Е. Если поле параллельно какому-либо периоду Ь бй обратной решетки, то движение периодично с К, частотой ш = 2я~е~Е!!66; при 6 1/а имеем "!кнв ~ е !еа, В общем случае произвольного направления поля движение квазипериодично.
Наконец, остановимся на условии возмож- ности пренебречь упомянутым вьппе явлением Рис. 14 магнитного пробоя. Вероятность перехода с од- ной траектории (в 1г-пространстве) на другую, естественно, велика, если эти траектории где-либо подходят аномально близко друг к другу. Такая ситуация возникает в случае, когда траектория близка к траектории с самопсресечением, либо если траектория проходит вблизи пересечения двух листов изоэнергетической поверхности (т. е. вблизи точки вырождения). Типичная картина траекторий в таких случаях изображена на рис. 14; разрыв 5К между траекториями мал по сравнению с характерными размерами орбит в целом, а радиус кривизны Ль траекторий вблизи точек их максимального сближения по порядку величины совпадает, вообще говоря, с бь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
