IX.-Статистическая-физика-часть-2 (1109682), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Переход с одной орбиты на другую происходит путем квантового туннелирования. Вероятность этого процесса мала (экспоненциально), если ск велико гю сравнению с расстоянием !1!к„на котором затухает волновая функция в классически недоступной области между траекториями. Оценку !Ак, можно получить, воспользовавшись аналогией между движением электрона в магнитном поле и одномерным движением в некотором потенциальном поле У(х). Эта 2 58 307 КВАЗИКЛАОСИЧЕОКИЕ УРОВНИ ЭНЕРГИИ 3 58. Квазиклассические уровни энергии Мы видели, что классическому движению электрона в решетке в магнитном поле по замкнутой траектории в 1г-пространстве отвечает в обычном пространстве движение, финитное в плоскости, перпендикулярной направлению поля Н.
При переходе к квантовой механике это приводит к возникновению дискретных уровней энергии при каждом фиксированном значении продольного квазиимпульса й,. Эти уровни определяются общими правилами квазиклассического квантования. Выберем векторный потенциал однородного магнитного поля (направленного вдоль оси е) в виде А = — Ну, Ау — — А, = О. Тогда компоненты обобщенного квазиимпульса Кх = йх+ — НУ Ку = йу, К» = й» (58.1) ся Координата х является циклической переменной, и поэтому х- компонснта обобщенного квазиимпульса сохраняется: К.
= й + — Ну = сопэ1. )е! сб (58.2) Согласно правилу квантования Бора Зоммерфельда (см. 1П, 2 48), пишем условие 1 Куе1у = п, 2л (58.3) аналогия основана на том, что согласно (56.10), операторы й = й 6с/~е~Н и р = 6йу удовлетворяют правилу коммутации, совпадающему с правилом коммутации координаты и импульса. Вблизи точек максимального сближения траектории параболичны; им аналогична параболическая фазовая (х, р) траектория одномерного движения в однородном поле (Н = = — г'х), уравнение которой р /2т = г'х (если координата х отсчитывается от точки остановки). В последнем случае волновая функция затухает за точкой поворота на расстоянии »эх (62/тг')1Гэ (см.
1П,324); введя радиус кривизны фазовой траектории Н (Г12х/»1р ) 1 тГ, напишем Ьх (6~/Н)1/Э. По указанной аналогии искомое Ьй можно получить путем замены Ьх — + 6сЬй,/~ е ~Н, Н вЂ” э НА6~ е ~Н/с. Таким образом, находим »Ай (~ е ~Н/6с)~/~ (сй) 1/э, и условие Ьй << сй принимает вид ~ е ~Н/6с<< (сй) . (57.11) 308 электгоны В кгистьлли |вской гашетке где интегрирование распространено по периоду движения, а п целое положительное число, предполагаемое большим'). Подставив сюда, согласно 158.1), 158.2), К, =й„и г1у= — 1сЦ ~ е ~Н) |йв, получим йнсУс = п, 2к) е ~Н 158.4) где теперь интеграл берется по замкнутой траектории в )с-пространстве.
Этот интеграл .— не что иное, как охватываемая траекторией площадь, т. е. введенная в предыдущем параграфе площадь 318, |с,) сечения изоэнергетической поверхности плоскостью Й, = сопв1. Таким образом, окончательно находим Я(е, й,) = 2я — еп сб 158.5) з11с) = е (К, — У, кю к,) = сопз1 158.6) при заданном значении а, и при Х, = сопз$; точка остановки у = уе определяется условием обращения в нуль скорости пн — — де||йдйю Вблизи этой точки разложение уравнения 158.6) ') При движении в однородном магнитном поле адиабатическим инвариаптом,не зависящим от выбора векторного потенциала, является интеграл †' у К!де, где К! — проекция обобщенного квазиимпульса на плоскость, перпендикулярную полю 1ср.
П,з2Ц. При сделанном выборе А интеграл у К,|1в = К, у 4в = О, так что адиабатнческий инвариант совпадает с интегралом в 158.3). 1И. М. Лифшиц, 1951; Ь. Опзадет, 1952). Этим условием и определяются в неявном виде уровни энергии е„(й,). Таким образом, энергетическая зона 1номер з которой мы д||я краткости не выписываем) распадается на дискретный ряд подзон Ландау, каждая из которых представляет собой полосу уровней энергии, отличающихся значением непрерывной переменной Й,. Как известно, квазиклассическос условие квантования может быть уточнено введением поправки, сводящейся к прибавлению к большому квантовому числу и числа порядка единицы. Определение этой поправки требует рассмотрения движения вблизи в|точек остановкиь, ограничивающих область интегрирования в 158.3).
Зависимость Ку —— |су от у на траектории электрона определяется уравнением 8 58 309 КВАЗИКЛАССИ ГЕСКИЕ УРОВИИ ЭНЕРГИИ по степеням у — уо дает (У Уо) + , (ку "уо) 0: где )суо = )су(уо). Отсюда видно, что приближение к точке остановкй происходит по корневому закону к„— йнс = жА~/У вЂ” УО (для определенности считаем, что классически недоступная область лежит при у ( уо). Но это -- тот самый закон, к которому относится обычный вывод поправки в квазиклассическом квантовании (см. 1Н, 8 47, 48). Уточненное правило (58.5) имеет, следовательно,вид Я(е, й,) = 27г ' (и+ -) .
(58.7) Как это ясно из вывода (основанного на разложении функции (58.6)), для справедливости уточненного правила квантования необходимо, чтобы траектория проходила в достаточном удалении от особых точек функции е(1с) (в том числе от комплексных точек ветвления). Необходимо также, чтобы нигде вблизи траектории не нарушалось условие квазиклассичности (в частности нс обращалась в нуль т, у-проекция скорости де/д)с) '). Наконец, надо иметь в виду приближенность самого гамильтониана (56.7), на котором основаны все выводы. Если репгетка обладает центром инверсии, то поправки к гамильтониану квадратичны по напряженности поля и не отражаются на условии (58.7). Но если центр инверсии отсутствует, то поправки к гамильтониану линейны по Н; в этом случае поправочный член 1/2 в (58.7) теряет смысл, так как погрешность того жс порядка дает и приближенность гамильтониана ') .
Интервал Ье между двумя последовательными уровнями отвечает изменению большого числа и на единицу. Он определяется, следовательно, равенством дЯ 2к~е~Н (58.8) де Ь~ ') Вблизи точек аномального сближения двух траекторий эти условия совпадают с требованием малости вероятности магнитного пробоя. з) Для свободных электронов (см, примечание на с. 305) условие (88.7) дает е = Ьын (и+ -1 + 6~к~!2пг, ын = ~е )Н/гпс 2/ в согласии с известным выражением Ландау для свободного электрона в магнитном поле (П1, 1112). ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛИ !ЕСКОЙ РЕШЕТКЕ ГХ!. Р! Введя классическую частоту периодического движения шо, согласно (57.7), получим Ье = 6!Ль. (58.9) Подчеркнем, что частота шн сама есть функция е (и е»).
Поэтому последовательные уровни энергии е„(при заданном Й,) не являются строго эквидистантными, как это было бы в случае свободных электронов, где шп есть постоянная величина. Независимость уровней энергии от сохраняющейся величины Ке означает (как и для свободных электронов в магнитном поле см. П1, Э 112) их вырождение. Бсли представлять себе решетку, обладающей большим, но конечным объемом Р', то кратность этого вырождения будет конечной.
Число состояний в интервале сй» и с заданным значением п определяется как Р'ЬЯ сй,,!(2я)з, где ЬЯ .. площадь в плоскости Й, = сопз1, заключенная между траекториями с квантовыми числами и и и+ 1. Эта площадь дается выражением (58.8), и, таким образом, находим для искомого числа состояний выражение '»'с1е, ! е ~Н (58.10) (2Е)! С6 — то же самое, что и в случае свободных электронов. Наглядная причина вырождения уровней в магнитном поле заключается в независимости энергии от положения в пространстве «центра ларморовской орбиты» электрона. Для свободного электрона это вырождение является точным.
Для электрона же в решетке оно может быть лишь приближенным: в виду наличия неоднородного (периодического) электрического поля различные положения «центра орбиты» в элементарной ячейке решетки уже не эквивалентны. Это обстоятельство должно приводить к некоторому расщеплению уровней Ландау. Учет спина электрона приводит к расщеплению каждого уровня на две компоненты; в пренебрежении спин-орбитальной связью эти компоненты разделены (как и для свободного электрона) постоянным интервалом 2!88, где 8 — магнетон Бора: е„„(1с,) = е„(й,) + О~Н, сг = ~1. (58.11) Такая ситуация остается и при учете спин-орбитального взаимодействия, если кристалл обладает центром инверсии.
В этом случае состояния электрона в отсутствие поля вырождены по спину, а магнитное поле снимает это вырождение. В результате получается та же формула (58.11) с заменой !1 на Я„(Й,), где ~„(1с,) характеризует изменение магнитного момента электрона. 2 59 ТЕНЗОР ЭФФЕКТИВНЫХ МАСС ЭЛЕКТРОНА В РЕШЕТКЕ зп 3 59. Тензор эффективных масс электрона в решетке Рассмотрим точку 1с = 1со в 1с-пространстве, в которой энергия электрона в,(1с) имеет экстремум; таковы, в частности, точки, отвечающие верху и низу зоны. Коли в этой точке нет вырождения (за исключением лишь возможного крамерсовского вырождения по спину " см.
конец 2 55), то в ее окрестности функция в,(1с) может быть подвергнута регулярному разложению по степеням разности с1 = 1с — 1со. Первые члены такого разложения квадратичны; аг в,(1с) = в,(1со) + — т ь ъды (59.1) Тензор т;се обратный тензору коэффициентов т,.„'~ в (59.1), называют тензором эффективных масс электрона в решетке. Покажем, каким образом можно выразить этот тензор через матричные элементы по отнопгению к блоховским функциям ф,к„в точке 1со В пренебрежении спин-орбитальным взаимодействием гамильтониан электрона имеет вид (56.1). Подставим в уравнение Шредингера с этим гамильтонианом волновую функцию в виде Жг~-ч) „= гчг фгв — е и,к = е угк. (59.2) Тогда уравнение примет вид ог яг г11 — — Ь+У(г)+ ~ — с1р+ ~) д,к =в,(1с)~р,к, (59.3) 2т (т 2т ~) где р = — гйг7 —.
оператор истинного импульса. В окрестности точки 1с = 1со вектор с1 является малой величиной, и выражение в квадратной скобке в (59.3) можно рассматривать как оператор возмущения. В нулевом приближении, при с1 = О, функции ага совпадают с функциями фг~„. Поэтому обычная теория возмущений позволяет выразить поправку к энергии через матричные элементы по отношению к этим функциям. Так как 1со точка экстремума, то линейная по с1 поправка отсутствует.
Это значит, что диагональные матричные элементы (э1со~р ~4<о) = О. (59.4) Для определения квадратичной по с1 поправки надо учесть член с д в операторе возмущения в первом, а член с с1 - во втором 312 электРоны В кРистьлли 1еской Решетке порядке теории возмущений. В результате получим для гв()с) формулу (59.1), где — 1 !111 1 ~~, (Р ) '(Рь) ' + (Рь) '(Рс) ' .
(59 5) т т~ , е, (1со) — е,(1со) е 1( .д) с1=Я вЂ” — А, А= — ~Н 1 — ~. л 2~ дЯ1 (59.6) Получающийся таким образом гамильтониан = е,(1се) + — гпгь 17117ь (о) ~г (59.7) пригоден, разумеется, лишь в той же области энергий, что и исходная формула (59.1). Это значит, что (помимо условия слабости поля (56.3)) предполагается, что рассматриваемые уровни Ландау расположены не слишком высоко. В этом смысле величины с1 и Я должны рассматриваться как малые (возрастающий же характер потенциала А проявляется в том, что даже в слабом поле нельзя считать, что А мало по сравнению с Я). Следующие после (59.7) члены в гамильтониане содержат поле Н в «чистом» (т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
