IX.-Статистическая-физика-часть-2 (1109682), страница 56
Текст из файла (страница 56)
е, разностей е,()с) — е, (1с) при заданных 1с). Для того чтобы магнитное поле можно было считать слабым, во всяком случае должно выполняться условие (56.3) йын (( ес, Таким образом, каждый уровень энергии ее, отвечающий движению части- цы в изолированной яме, расширяется в узкую полосу (зону) с шириной 2йьгРП~7к, определяемой коэффициентом проницаемости Р потенциально- го барьера, разделяющего две ямы. 298 ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛИ 1ЕСКОЙ РЕШЕТКЕ 1Ч!. ! ! где «ларморова частота> огг1 ~ е ~ Н/т" с, а т* 1!А(и .
эффективная масса электрона '). В отсутствие внегпнего поля гамильтониан электрона в решетке в 1с-представлении есть, как уже указывалось, диагональная матрица с элементами ез(1с). В присутствии поля гамильтониан будет содержать также и потенциал А(г) и его производные по координатам -- напряженность Н (а в неоднородном поле ..
также и дальнейшие производные от напряженности); в )с-представлении функция А(г) заменяется оператором А = А(г) где г оператор (55.14). Потенциал А(г) есть возрастающая (для однородного поля " по линейному закону) функция координат. Ввиду этого возрастания потенциал, даже для слабого поля, отнюдь не является малым возмущением в гамильтониане неограниченной системы (электрон в решетке). Именно поэтому уже слабое магнитное поле существенно меняет свойства протяженной системы превращает непрерывный спектр в дискретный (квантует уровни, см.
8 58). Напряженность же слабого поля (в отличие от потенциала) приводит к малым поправкам. Покажем, что в пренебрежении этими поправками зависимость гамильтониана от потенциала поля можно выяснить в общем виде исходя из одних только требований калибровочной инвариантности. Поскольку мы рассматриваем постоянные поля, то достаточно использовать инвариантность уравнений относительно нс зависящих от времени преобразований потенциала и волновых функций вида А — + А+ Т7у, гр — з фехр( — ~), (56.4) где Дг) - произвольная функция координат (см.
111,(111.8), (111. 9) ) . В слабом поле потенциал А(г) медленно меняющаяся функция координат. Имея в виду выяснение роли этой медленности, рассмотрим сначала предельный случал постоянного потенциала: А(г) = сопе1 = А (разумеется, постоянный потенциал фиктивен -- реальное поле при этом отсутствует, так что речь идет о формальном преобразовании). Переход от А = 0 к А = Ас эквивалентен преобразованию (56.4) с (' = Аог; поэтому вместо ') Более точное определение частоты дается ниже формулой (67.7). Для электронов проводимости в металле (см.
ниже 161) характерные значения Й 1/о(а — постоянная решетки); положив также ес 6 /ги" а, найдем, что условие (66.3) эквивалентно неравенству гн »а, где «радиус орбиты» гл еуын. 56 влияние Внешньто пОля нА движение электРОИА 299 исходных (при А = 0) собственных функций огг ф,й = и,ье (56.5) собственными функциями нового гамильтониана будут и,ь(г) ехр (г (1с + — 'Аэ) г) . Отсюда видно, что для придания квазиимпульсу прежнего смысла (величины, определяющей изменение фазы волновой функции при трансляциях) надо положить к+еАс/йс = К; определенную таким образом величину К можно назвать обобщенным квази- импульсом. Тогда новые собственные функции запишутся в виде 1~к = па к-~Ел!ас(г)е а соответствующие им значения энергии электрона: с»(к) = = Са(К вЂ” ЕА6/йе).
МЫ МОЖЕМ тЕПЕрЬ утВЕрждатЬ, ЧтО ПрИ НЕ постоянном, но медленно меняющемся в пространстве потенциале А(г) волновые функции «нулевого» (по напряженности поля) приближения будут 4.к = и», к-ед(гр все еКГ (56.6) (причем функции щ благодаря переменности А, уже не являются строго периодическими) '). Энергии же с»(К вЂ” ЕА/йс) надо рассматривать теперь как операторы, образующие гамильтониан в К-представлении.
При этом, в том же приближении, под г надо понимать оператор г = гд/дК, опустив второй член (Й) в определении (55.14). Действительно, при воздействии на волновую функцию оператор гд/дК, по порядку величины, умножает ее на «размер орбиты» гн, возрастающий при уменыпении поля; результат же воздействия оператора Й на волновую функцию такого возрастающего множителя не содержит. В этом смысле в слабом поле оператор Й мал по сравнению с гд/дК. Поскольку, с другой стороны, оператор д/дК диагонален по номерам зон, то оказывается диагональным и гамильтониан. ) Если разложить функции (66.6) по функциям эчь, то в разложение войдут, вообще говоря, функции с различными э, Подчеркнем, однако, что это отнюдь нс означает реального персхода в другую зону, а выражает лишь изменение волновой функции под влиянием постоянного поля; напомним в этой связи, что постоянное поле вообще не может вызвать реальный переход с изменением энергии.
Для уяснения ситуации следует заметить, что хотя поле слабо, но связанное с ним изменение классификации состояний (в том числе соответствия между квазиимпульсом и энергией) значительно. 300 ЭЛЕКТРСНЪ| В КРИСТАЛЛИ !ЕСКСВ РЕШЕТКЕ ГХ!. Р! Таким образом, мы приходим к результату, что движение электрона в решетке в слабом магнитном поле описывается гамильтонианом (в К-представлении) Й, = е, (К вЂ” — 'А(г)), г = г — (56.7) (Л.
Регег1е, 1933). В этом приближении, следовательно, имеется полная аналогия со способом введения магнитного поля в гамильтониан свободной частицы в импульсном представлении. Выражение (56.7) еще не вполне определено, так как нс установлен порядок действия некоммутативных операторов компонент вектора к = К вЂ” еА/йс. Он должен быть определен так, чтобы обеспечить эрмитовость гамильтониана. Этого можно, в принципе, всегда достичь, представив периодическую (в обратной решетке) функцию е,(к) в виде ряда Фурье е,(1с) =~ А, е™а а (56.8) (суммирование по всем векторам а прямой решетки).
После замены 1с — + 1г в показателе каждого члена этого ряда будет стоять только один оператор (проекция вектора А на а), так что вопрос о порядке действия не возникает — все сводится к степеням этого одного оператора. Такой способ «эрмитизации», конечно, не единствен. Существенно, однако, что разница между различными способами лежит за пределами рассматриваемого приближения, поскольку коммутаторы операторов йе, йю й„в этом приближении представляют собой малые величины. Так, для однородного поля оператор А = — [Нг) = — ' ~Н вЂ” ~; (56.9) прямым вычислением легко найти, что коммутаторы й ЙŠ— ЙЕЙ, = г — Н,! Ьс (56.10) дЙ г= лак' йК = — =, дг (56.11) пропорциональны малой напряженности Н. Операторы г = гд/дК и К = К имеют тс жс правила коммутации, что и координаты и обобщенные импульсы «свободной» (без решетки) частицы.
Естественно поэтому, что вычисление коммутаторов операторов г и К с гамильтонианом приводит к операторным уравнениям 56 Влияние Внешньто ПОля нА движение электРОнА ЗО1 имеющим вид обычных уравнений Гамильтона (для вычисления - — см. формулы (16.4), (16.5)(см. 1П)). Снова повторим, что гамильтониан (56.7) является приближенным в том смысле, что в нем отброшены все члены, зависящие от напряженности Н и не содержащие больших множителей порядка величины размеров орбиты гВ. В следующих приближениях ответ тоже может быть представлен в виде некоторого эффективного гамильтониана Й,(К вЂ” еАфс, Н), диагонального по номерам зон, но уже не выражающегося через одни только функции св(1с) ').
В пренебрежении спин-орбитальным взаимодействием, учет спина электрона приводит в гамильтониане к появлению обычного члена, описывающего взаимодействие магнитного момента с полем: —,ЗсгН, где а матрицы Паули, а )3 = ~ е ~6/2тс — магнетон Бора. Если кристалл обладает центром инверсии, спин- орбитальное взаимодействие только меняет магнитный момент электрона, так что взаимодействие спина с магнитным полем приобретает вид — ~) а; Нь~;ь (1с). (56.12) Действительно, в атом случае гамильтониан должен быть инвариантен по отношению к одновременным операциям обращения времени и инверсии. При этом преобразовании надо заменить Н вЂ” э — Н и сг-+ — а при неизменном 1с; (56.12) является общим выражением, удовлетворяющим поставленному требованию. Тензор ~,ь(1с), разумеется, нельзя вычислить в общем виде.
Наконец, остановимся на поведении электрона при наложении на решетку слабого электрического поля Е. Условие слабости означает, что энергия, приобретаемая электроном в поле на расстоянии а, мала по сравнению с характерной энергией ео; ( е )еа « 60. Как и в случае магнитного поля, наиболее важную роль играют члены, содержащие возрастающую функцию координат скалярный потенциал электрического поля у(г). Зависимость гамильтониана от д можно снова выяснить в общем виде исходя из соображений, аналогичных использованным выше. Действительно, включение фиктивного постоянного потенциала у = уо эквивалентно в уравнении Шредингера добавлению к энергии ) Простой пример вычисления поправочного члена будет дан в 1 69.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
