IX.-Статистическая-физика-часть-2 (1109682), страница 53
Текст из файла (страница 53)
В действительности, однако, имеется две критические концентрации, обе одного порядка величины. При меньшей из них (х1) обращается в нуль щель Аь в энергетическом спектре; конденсатная же волновая функция В обращается в нуль лишь при некоторой концентрации хз ) х1. В области же концентраций между х1 и хо имеет место беси1елевал сверхпроводимость. Поскольку при выводе уравнения Лондонов в 844 использовались лишь самый факт существования конденсатной функции н соображения калибровочной инвариантности, то ясно, что основные свойства сверхпроводника существование сверхпроводящего тока, эффект Мейсснера — сохраняются и в этой области. Отсутствие же щели в спектре проявляется (в равновесных свойствах сверхпроводника) в неэкспоненциальном температурном ходе теплоемкости.
Отметим, что противоречия с критерием сверхтекучести Ландау (8 23) здесь не возникает, так как к неупорядоченным системам (типа рассматриваемых сплавов) этот критерий вообще неприменим, поскольку элементарные возбуждения не характеризуются определенным импульсом '). 8 54. Эффект Купера при отличных от нуля орбитальных моментах пары Уже неоднократно говорилось о том, что в основе возникновения сверхтекучести в ферми-системе лежит эффект Купера образование связанных состояний (спаривание) притягивающимися частицами на ферми-поверхности.
Для ферми-газа условие притяжения формулируется как требование отрицательности длины рассеяния а = ) бган х, т. е. положительность амплитуды рассеяния двух частиц в состоянии с нулевым орбитальным моментом относительного движения, 1 = О (именно это состояние дает главный вклад в рассеяние при малых энергиях). Справедливо, однако, и гораздо более сильное утверждение: спаривание (и, как следствие, возникновение сверхтекучести) ') Изложение теории беспГелевой сверхпроводимости см. в оригинальной статье: А.
А. Абрикосов, Л. П. ГоръковО' ~КЭТФ. 1960. Т. 39. С. 1781. 282 Гл. ч СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ происходит, если взаимодействие имеет характер притяжения хотя бы при одном каком-либо значении момента 1 (Л.Д. Ландау, 1959). Подчеркнем, что речь идет об изотропной системе (жидкость или газ), где можно классифицировать состояния по значениям 1.
Докажем это утверждение для ферми-газа с помощью метода, позволяющего, в принципе, определить температуру Т, перехода в сверхтекучее состояние исходя только из свойств системы (нормального ферми-газа) при температурах Т > Т,. В З18 было упомянуто, что в математическом аппарате гриновских функций нормальной ферми-системы энергия связанного состояния пары частиц проявляется как полюс вершинной функции Г; то же самое относится (при Т ~ 0) и к температурной вершинной функции, которую обозначим через T. После появления такого полюса весь этот аппарат становится в действительности неприменимым, но он еще применим в первый момент, когда (при понижении температуры) при Т = Т, впервые появляется полюс, причем энергия связи пары в этот момент должна равняться нулю; состояния сверхтекучей и нормальной фаз при этом совпадают.
На скелетной диаграмме 4 2 кружок изображает — Т. Точка перехода Т, определяется, согласно сказанному вьппе, как температура, при которой Т имеет полюс при ~„=~„=О, р,+р,=й. (54.1) Первое равенство выражает, что спаривающиеся частицы находятся на ферми-поверхности, а энергия связи пары равна нулю; второе равенство означает, что спаривающиеся частицы имеют противоположные импульсы.
Спаривание частиц возникает уже при сколь угодно слабом их притяжении. Ясно, что для возникновения полюса необходимо, чтобы в ряде теории возмущений для вершинной функции имелись бы члены, содержащие интегралы, расходящиеся при условии (54.1) и при Т, — > 0 (Т, мало при слабом притяжении); в противном случае все поправки к (конечному) члену первого приближения были бы заведомо малы по сравнению с последним при всех температурах, и полюс не мог бы появиться. 283 эФФект купеРА Этому требованию удовлетворяет ряд «лестничных» диаграмм з з з з з...
1 +, :+ ~ ', , '+ . (54.2) з з ' ' з з з Как будет видно из последующего, во всех этих диаграммах (начиная со второй) малость по взаимодействию (от прибавления штриховых линий) компенсируется, в указанном смысле, расходимостью интегралов '). Применив к этому ряду прием, который был уже использован при переходе от (17.3) к (17.4), найдем, что равенство (54.2) эквивалентно диаграммному уравнению Рз (54.3) — Рз Свободным концам и внутренним линиям диаграмм отвечают аргументы, которые указаны в (54.3) уже с учетом условий (54.1): Р1 = (О, р1) Рз = (О, рз) с„"з = (г~ с1). Спиновая зависимость гриновских функций идеального газа (о) отделяется в виде Д Р вЂ” — оойФ ), а спиновая зависимость вершинной функции (без антисимметризации!) в виде Ттб,ое(РЗз Рез РМ Рз) = ооз666Т(РЗз Р4, 'Ргз Р2).
Раскрыв диаграммы (54.3) по указанным в 338 правилам и сократив спиновые множители, получим для функции Т ) К диаграммам (54.2) надо было бы добавить еще такой же ряд диаграмм с переставленными концами 3 и 4, что приводит к антисимметризации вершинной функции по ее спиновым и орбитальным аргументам. Однако для поставленной здесь цели определения Т, этого можно не делать, так как в обеих этих частях вершинной функции полюс появляется одновременно. Рз Рз Р, Рз — с4', — Рз Р р, 'Р,-Рз — Рз СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ Гл. ч интегральное уравнение Т(рз — Рз Ры — Рт)+Т ~~' /П(рз — Ч) Ф ~(6,Ч) 0~ )( — ~м Ч)х Р= — 00 ХТ(Ч, — Ч; Ры — Р1) = Г(Р1 — Рз). 4'я (2Е)0 (54.4) 17(д) = ~ ~(21+ 1)а1Р1(соед), г=е Т(д) = ~ ~(21+1 У~Рд(совд), с=о (54.5) где д какой-либо из указанных углов.
Подставив эти разложения в (54.4) и произведя интегрирование по направлениям с помощью теоремы сложения сферических функций, получим 7~(1+ ОП) = аь (54.6) где П = Т ~~~ / ф~)(~„)~ ~ = ~ /, ",; (54.7) функция Ц1Е) взята из (37.13), а г)ч — — д2(2т — р — ИР(д — рг). Согласно формуле суммирования (42.10), имеем ,~з 2(2Х)з l 2Т дч (54.8) Расходимость интеграла по дд = Нд/пг на верхнем пределе фиктивна (ср. примечание на с.
207) и интеграл должен быть В стоящих здесь сумме и интегралах существенны малые значения дискретной переменной ~, и значения Ч вблизи ферми- поверхности (см. ниже). Поэтому в множителях 17 и 7 под знаком интеграла можно положить ~, = 0 и д = рр. На ферми- поверхности лежат также и векторы р1 и рз. Таким образом, все функции Т и 17 в уравнении (54.4) будут зависеть каждая лишь от одной независимой переменной угла между какими-либо двумя из трех векторов рм рз, Ч на ферми- поверхности. Уравнение (54.4) можно теперь решить, разделив 17 и Т в ряды по полиномам Лежандра: 285 ЭФФект купеРА обрезан при некотором г) — Г1'). Но при Т вЂ” » 0 интеграл расходится логарифмически также и на нижнем пределе, т.
е. ведет себя как 1п(1/Т). Из (54.6) видно, что Т1 обращается в бесконечность (т. е. Т имеет полюс) при условии 1 + а1П = О. (54.9) Но это уравнение совпадает по форме с уравнением, определяющим точку перехода при спаривании с 1 = О, отличаясь от него лишь заменой «константы связи» яна — а~ (ср. (42.11)); понимая эту формулу как уравнение для определения Т„надо положить в ней Ь = О, после чего в(р) совпадает с г)Р.
Мы видим, следовательно, что вершинная функция имеет полюс, если хотя бы одна из величин а1 отрицательна; при этом температура перехода Т() = — Г~ ехр (54.10) 1г 1 )а~(УР/ (ср. (40.4) и (39.19)). Если а1 ( 0 при ряде различных значений 1, то переход происходит при температуре Т,, отвечающей 09 максимальному ~ а~ ~ ').
Можно показать, что во всяком ферми-газе (или жидкости), состоящем из электрически нейтральных атомов, величины а1 во всяком случае должны стать отрицательными при достаточно больших значениях 1 (Л. П. Питаевский, 1959). Причина заключается в том, что во взаимодействии нейтральных атомов всегда есть область расстояний (больших), на которых оно имеет характер притяжения так называемое ван-дер-ваальсово притяжение. В реально существующей жидкости такого рода жидком изотопе 'Не возникновение сверхтекучести происходит, по-видимому, за счет спаривания с 1 = 1 ').
Мы не будем останавливаться на структуре сверхтекучей фазы и обсудим лишь кратко вопрос о выборе параметра порядка, отличающего эту фазу ') В виду быстрой сходимости суммы по е в (54.7) в ней действительно существенны лишь малые бю а логарифмический характер интеграла по 44 оправдывает предположение о близости д к рг. ) Отметим, что если бы были все о~ > О, то переход отсутствовал бы и формула (54.6) для 7~ была бы справедлива при всех температурах вплоть до Т = О. При этом все Т~ стремились бы при Т » О к нулю по закону Т~ сг 1/~ 1пТ~. Это является проявлением упомянутого в примечании на с.
42 факта обращения при Т = О в нуль функции Т (а с нею и функции взаимодействия квазичастиц 1) для частиц с противоположными импульсами. з) Переход происходит при температуре 10 з. Заметим, что малость Т, обеспечивает существование области применимости теории нормальной ферми-жидкости к жидкому зне. СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ Гл. ч от нормальной. Величиной, равной нулю выше точки перехода и отличной от нуля ниже нее, является аномальная гриновская функция РОЗ(~, гВ ~, гз) = Р,„д(г1 — гг); как было уже указано в ~ 41, она играет роль волновой функции связанных пар частиц. Ее фурье-компонента Г,„д(р), взятая на ферми-поверхности (т. е. при р = 2ргп), является функцией направления и (а не константой, как при спаривании с 1 = 0).
В силу антикоммутации ф-операторов функция РО,~(п) антисимметрична, как и следовало, по отношению к перестановке частиц; Г„,~(п) = — гд ( — и). При спаривапии с 1 = 1 (как и с любым нечетным моментом) ГО,у .-. нечетная функция и, так что ГО,~ -. симметричный спинор. Это значит, что спин пары равен единице, как и должно быть для состояния двух одинаковых фермионов с нечетным 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
