IX.-Статистическая-физика-часть-2 (1109682), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Равновесное значение параметра порядка здесь 9)9 = О, а для вычисления его флуктуаций можно использовать свободную энергию из теории Гинзбурга Ландау. При этом в выражении (45.10) можно, в виду малости флуктуаций, сохранить только квадратичные по 9)9 члены, опустив член с ~гр)4 и понимая под А векторный потенциал однородного поля Я. Флуктуации индукции В, связанные с флуктуациями »р, квадратичны по »р (ввиду квадратичности плотности тока )).
Поэтому в члене В~ 998х можно понимать под В среднее (термодинамическое) значение индукции, пренебрегая ее флуктуациями. Таким образом, изменение полной свободной энергии металла при флуктуации дается следующим выражением функционалом от гр '): Агф =) ( — (-9»Ч — — 'А) 9» $9$ ) 9Ч. (»99) Для вычисления флуктуационного вклада АР в свободную энергию надо рассматривать функционал (49.1) как еэффективный гамильтониан», определяющий йг' согласно формуле ехр ( — — ) = /ехр ( — ) .09)), (49.2) где интегрирование (функциональное) производится по всем распределениям 9)9(г) (см.
Ъ', 9 147). Фактически оно осуществляется ) Этот эффект был указан В. В. Шмидгиом (1966). ) Во избежание недоразумений подчеркнем, что магнитное поле не является по отношению к сверхпроводнику «внешним полем» а в том смысле, как оно было введено в Ч, 1144. Последнее должно было бы входить в свободную энергию в виде члена — Й(ф + 9)9"), что в данном случае заведомо невозможно ввиду неинвариантности такого члена по отношению к выбору фазы 9)9. ез 49 днлмлгннтнля воспвннмчивость выпгв точки пвгвходл 261 2(е)Я (2вй)ге (см. П1, Я 112).
Обозначим для краткости, совокупность чисел п, р„р, одним символом д и напишем разложение функции ф(г) в виде сег)гч(г), (49.б) где св —— с~~+ 4с" " произвольные комплексные коэффициенты, а кгбственные функции предполагаются нормированными условием (~г)ге~2 Л'=1 (интегрирование производится по объему металла). Подстановка разложения (49.5) в (49.1) позволяет прежде всего перейти от интегрирования по объему к суммированию по д. Действительно, проинтегрировав первый член по частям, приводим (49.1) к виду лев)=1 (г' — '(- гг- — "л) г-,-г' г) гк Подставив сюда (49.5) и учтя, что каждая из функций г) в удовлетворяет уравнению (49.3) с Е = Ев и что собственные функции путем разложения ф по некоторой полной системе собственных функций и интегрированием по бесконечному множеству коэффициентов этого разложения.
В случае однородной (без внешнего поля) системы разложение производится просто по плоским волнам (см., например, задачу в У, 2 147). В данном же случае разложение следует производить по собственным функциям «уравнения Шредингераз — ( — И'г7 — — 'А) 4 = Ег) (49.3) отвечающего гамильтониану (49.1). В 247 уже было отмечено, что это уравнение формально совпадает с уравнением Шредингера для движения частицы (с массой 2пг и зарядом 2е) в однородном магнитном поле. Его собственные функции нумеруются одним дискретным (п) и двумя непрерывными (р, р,) квантовыми числами, причем собственные значения зависят только от п и р, (ось в в направлении Я) и даются формулой Е(п+ —, р,) = (гг+ — ) Я+ ~'; (49.4) число различных собственных функций с заданным и, значением р, в интервале Ир, и всеми возможными ре есть 262 ГЛ.
Ч СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ с различными 9 взаимно ортогональны, получим ьхг'[г)г] = ~ ~[се[ (Ее+ а). (49.6) Функциональное интегрирование в (49.2) означает интегрирование по всем дс'с(с". После подстановки (49.6) интегрирования по всем этим переменным разделяются и дают ехр( — — ) = П или глг = — Т '2 !п (49.7) В терминах квантовых чисел и и р, это выражение записывается как ЬГ = -р 2['Тб ~ / ), " (р,. (49.8) (2а6)зс,/ Е(р„п+ 1/2) + а Эта сумма расходится при болыпих Е, но расходимость в дей- ствительности фиктивна и связана лишь с тем, что исходная формула (49.1) применима только при медленно меняющихся функциях гр(г): изменение у) должно быть мало на расстояни- ях ~О.
В терминах собственных значений Ее это значит, что допустимы лишь Ее «гг2/тсе2. Обрезав сумму по и при некото- ром большом йг, удовлетворяющем поставленному условию, вос- пользуемся формулой Пуассона .Ч 1Ч 1 /' 1Ч 7 (гг+ -) — ~ )(х)(1х — — 7~(х) 2 24 О в=О О (см. ч',(59.10)), В применении к (49.8) первый, интегральный, член этой формулы дает, как легко понять, не зависящий от у) вклад в свободную энергию; этот член не нужен для вычисле- ния магнитной восприимчивости, и мы его опустим.
Во втором же члене можно положить теперь 11' -+ оо (так что параметр обрезания выпадает из ответа) '): е Т,гз / Нр, 48язйтсз,) а+ рЦ4т ) В коэффициенте пыюжено Т вЂ” Т,. При Т вблизи Т, существенные в атом интеграле значения р, чГто ой(4(Т) « йЯе, т. е, удовлетворяют поставленному требованию. 49 диАМАГнитвАЯ ВОспРиимчиВОсть Выше тОчки 11ВРВХОДА 263 Окончательно, после взятия интеграла, ЛГ Г е'Т и' 24хйс2 Агта (49.9) Отсюда магнитная восприимчивость 1 д'ЛЕ е Т, 'г' д222 12116ст(то)п2(Т вЂ” Т,)пз (49.10) (Н.
Ясбпий, 1968; А. БСЬтгг), 1969). Мы видим, что вблизи точки перехода восприимчивость возрастает как (Т вЂ” Тс) ~1~. В этой области (49.10) представляет собой основной вклад в магнитную восприимчивость нормального металла. Задачи 1. Определить магнитный момент тонкой (толщина 11 «4(Т)) пленки в перпендикулярном ее плоскости магнитном поле при температурах Т > Т„ Т вЂ” Т,«Т,.
Р е ш е н и е. Конечность толщины 1шенки приводит к дискретности квантового числа р, в (49А), причем для тонкой пленки надо ограничиться в (49.7) лип1ь значением р,=о (уже первое отличное от нуля значение р, 6/11, так что е 6~/та~>>6~,1тс~ а). число собственных функций с заданными и и р, (и всеми возможными р ) есть 2 ~ е ~ЯЯД2хбс), где Я вЂ” площадь пленки; поэтому суммирование по д в (49.7) надо понимать как (ЯЯ/яйс) 2 Применив к сумме формулу Пуассона, получим в результате е Т,у]2 242 тсза Магнитный момент пленки М д12Е е Т,21 — — — — — Я дгз 12 с (Т вЂ” Т ) Обратим внимание на то, что он возрастает при Т 2 Т, бысгрее, чем в случае неограниченного металла.
Т, дЕо е Т,ргЯУ2 а дг1 бтсза(Т вЂ” Т,) 2. То же для шарика радиуса В «б(Т) (В. В. Шмидт, 1966). Р е ш е н и е. В этом ш1учае из всех собственных значений уравнения (49.3) существенно лишь одно, наименьшее, отвечающее собственной функции 2В262 2Р = сопес и равное Ее (см. все сказанное по этому поводу в 19тсз задаче к 147). Сумма (49.7) сводится к одному члену, и магнитный момент СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ Гл. ч й 50. Эффект Джозефсона ,1 = ЯФз1), Фэ1 = Фэ — Ф1 (50.1) должна быть периодической с периодом 2я. Операция обращения времени меняет знак тока з и в то же время меняет знак фазы Фм (поскольку волновые функции заменяются своими комплексно-сопряженными).
Это значит, что функция (50.1) должна быть нечетной и обращаться в нуль при Фм = О. Будучи, разумеется, ограниченной, функция )(Фз1) имеет свои максимальное и минимальное значения, между которыми она и меняется при изменении разности фаз, а в силу нечетности функции эти значения одинаковы по абсолютной величине; обозначим их через ~у Следует отметить, что запись (50.1) предполагает пренебрежение влиянием на ток со стороны собственного магнитного поля токов внутри контакта. В противном случае вместо разности Фз1 должно было бы фигурировать калибровочно инвариантное ) Для того чтобы сверхпроводяший ток через контакт имел заметную величину, толщина диэлектрического слоя фактически должна быть очень мала: 10 ~ см. Такие расстояния малы даже по сравнению с наименьшим характерным параметром длины в сверхпроводнике — длиной когерентности 5е.
В этом смысле ююй должен рассматриваться как бесконечно тонкий, а поведение фазы внутри него в теории вообще нс фигурирует. Рассмотрим два сверхпроводника, разделенных тонким слоем диэлектрика. Для электронов этот слой представляет собой потенциальный барьер, и если слой достаточно тонок, то существует конечная вероятность их проникновения через него путем квантового туннелирования. Даже если коэффициент пропускания барьера мал, его отличие от нуля имеет принципиальное значение: оба сверхпроводника становятся единой системой, описывающейся единой конденсатной волновой функцией. Это обстоятельство приводит к эффектам, впервые предсказанным Джозефсопом (В.
В. 3озерйзоп, 1962). Единство конденсатной волновой функции системы означает, что через контакт между двумя сверхпроводниками может течь, в отсутствие приложенной извне разности потенциалов, сверх- проводящий ток. Подобно тому как внутри сверхпроводников плотность тока определяется градиентом фазы Ф конденсатной волновой функции, так плотность з протекающего через контакт сверхпроводящего тока связана с разностью значений Фе и Ф1 фазы на обоих сторонах контакта ').
Поскольку значения разности Фз — Фт, отличающиеся на целое кратное от 2п, физически тождественны, то ясно, что функция 5 50 265 ЭФФект д?козехсонл выражение ') Фо — Ф1 — — у1 А, г1х. 2е Йс 1 Ввиду очень малой толщины диэлектрического слоя условие до- пустимости пренебрежения стоящим здесь интегралом от непре- рывной функции Ах(х) легко выполняется (а значения самого потенциала Ах на обеих сторонах можно считать одинаковыми). Определение вида функции 1(Ф21) во всей области темпера- тур возможно лишь на основе микроскопической теории. Мы ограничимся здесь феноменологическим рассмотрением в рам- ках применимости теории Гинзбурга — Ландау.
Если бы контакт был совсем непроницаем для электронов, волновые функции гр каждого из сверхпроводников удовлетво- ряли бы на своем краю контакта граничным условиям (45.15): — — "Ах41 =0, дх лс дФв 2геА ф =О. дх дг Конечная проницаемость барьера и конечность значений тл на границах контакта приводят к появлению в правых сторонах этих условий отличных от нуля выражений, зависящих от зна- чений ф по другую сторону контакта. Ввиду малости гр (вблизи точки перехода Т,) можно ограничиться в этих функциях линей- ными по 1у членами, т.
е. написать дх ае Л дх дс Л ' коэффициент 1/Л пропорционален проницаемости барьера. Ра- венства (50.2) должны удовлетворять требованиям симметрии относительно обращения времени; они должны оставаться спра- ведливыми при преобразовании ф -+ 111*; А -+ — А; отсюда следует, что постоянная Л вещественна (тогда при указанном преобразовании равенства (50.2) просто совпадают со своими комплексно-сопряженными) . Связь между величиной сверхпроводящего тока через кон- такт и разностью фаз функции гр можно определить, применив формулу (45.14) к какой-либо из сторон контакта (скажем, со стороны 1): — — (Ф1 ' -1)'1 ~') — — 'А*Ф1Ф1. ') Направление оси х выбрано в глубь области 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
