IX.-Статистическая-физика-часть-2 (1109682), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Далее, перепишем уравнение (45.15) в обычном в макроскопической электродинамике виде Го1Н = О, введя напряженность поля Н согласно') Н =  — 4нМ? сго1М =). Из этого уравнения следует в данном случае, что Н = сопв$. Вдали от границы раздела, в толще нормальной фазы индукция и напряженность совпадают, причем равны как раз критическому значению: В = Н = Не (магнитной восприимчивостью нормальной фазы пренебрегаем).
Поэтому и во всем пространстве будет Н = Н, = Н,. ') Напомним, во избежание недоразумений, что замечание в У111, 153 о нецелесообразности введения величины Н относилось к электродинамике сверхпроводников, в которой область проникновения магнитного поля рассматривалась как бесконечно тонкая. Уравнения же Гинзбурга †Ландау применяются именно к структуре этой области. СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ гл. ч Пренебрегая изменением плотности вещества при сверхпроводящем фазовом переходе, будем считать ее (наряду с температурой) постоянной вдоль всего тела').
Обозначим через у свободную энергию единицы объема (в отличие от свободной энергии Г тела в целом). При постоянных температуре и плотности и при пренебрежении поверхностными эффектами дифференциал ф = — дВ 4к (46.2) (см. Ъ'П1, 8 31). Отсюда видно, что дополнительное требование постоянства В привело бы в этих условиях также и к постоянству величины нв Р=1- (46.3) 4к гт„, = / (~ — ~„) с1т., (46.4) где постоянная уп есть значение у вдали от границы раздела, например, в глубине нормальной фазы. Для нормальной фазы свободная энергия = упо + В~/8тг = упо + Н~(8х, так что Н н.' 3 У- = У. — — ' = У.е — — ' = У.о — — ' 4я 8я 26 (в последнем равенстве учтено (45.9)). Величина же у в произвольной точке выражается через плотность свободной энергии у" согласно ут НВ 4я ) Строго говоря, при фазовом равновесии постоянен вдоль системы химический потенциал (а неплотность).
С учетом изменения плотности надо было бы поэтому рассматривать не свободную энергию, а термодинамический потенциал й. Поэтому весь вклад в интограл г' = ОЛ', происходящий от переменной части Р, обусловлен только наличием границы раздела. Отнеся этот вклад к единице площади границы, мы можем, следовательно, вычислить коэффициент поверхностного натяжения как интеграл 243 повеРхыостное нАтя?кение нА ГРАнице ФАЕ Воспользовавшись теперь выражением (45.10), приходим к сле- дующей формуле для поверхностного натяжения: — — '(?ГГ ФА'??~')- + а(ф(~ + — )ф~ — ' + — дх. (46.5) Как и следовало, подынтегральное выражение обращается в нуль как в глубине нормальной фазы (х-+ — оо), где ф = О, В = Н, так и в глубине сверхпроводящей фазы (х -+ оо), где (ф)~ = — а/Ь, В = О.
Обратим внимание на то, что в подынтегральном выражении в (46.5) выпал член 2А~ф в результате равенства А = О. Такой же член выпадает из (45.12), так что остается уравнение с вещественными коэффициентами; поэтому решение этого уравнения может быть выбрано вещественным, что и предполагается ниже.
При этом в выражении плотности тока (45.14) исчезает первый член и остается 2 2е 42А (46.6) тпс Кроме того, введем вместо переменной х и функций А(х), 26(х) безразмерные величины х= —, 2)?=2)?, —, А=, В= — = —. (467) 6' 1' ~а~' Н6 6Е Н, Ниже в этом параграфе мы будем пользоваться только этими величинами, опуская для краткости черточки над буквами. Уравнение (45.12) в этих переменных принимает вид )а 2 '1 1 ~+~3 (46.8) Уравнение же (45.13) с ? из (46.6) приводится к виду А" = А?)?2.
(46.9) Граничные условия к этим уравнениям в рассматриваемой задаче (отвечающие и- и в-фазам при х — ? — оо и х -+ — оо): ф=О, В=А'=1 при х= — оо, (46.10) ф=1, А'=0 при х=оо. СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ Гл. ч Легко проверить, что уравнения (46.8), (46.9) имеют первый интеграл 2эс 24,~2+ (2 — А2),),2 ф4+ А~2 = со 1 = 1; (46.11) значение постоянной определено по граничным условиям '). Наконец, выражение (46.5) принимает вид „,= ~ )' ( — 'е" ~-(х'-лч'~е'-,-~л'-1Р) и,= — [ —,19' + А'(А' — 1)1 Ы (46.12) (при переходе ко второму равенству член ф4 выражен из (46.11)). Приступим к исследованию написанных уравнений.
Рассмотрим сначала случай Рс «1 (обычно выполняющийся в сверхпроводящих чистых металлах). Это неравенство означает, что д(Т) « « 4(Т), т. е. магнитное поле существенно меняется на расстоянии, малом по сравнению с характерным расстоянием изменения функции 6 (х).
На рис. 6 схематически изображена картина распределения поля и ф в этом случае. В области, где поле велико, имеем ф — О, затем поле резко спадает, а функция ф(х) начинает медленно (на расстояниях х 1/Рс) меняться в отсутствие поля. Положив в (46.11) А = О, находим уравнение г Рис.
6. ф' = — (1 — щ~), чГ2 которое должно быть решено при условии 9 = О в точке т = О, выбранной где-то внутри области спадания поля. Такое решение есть ф = 1)т (зсх/ч'2), (46.13) ') Из условия (4649) автоматически следует, что при т -э хоо также и ~' = О, а из этих же условий и уравнения (46,9) следует, что при я -э оо А" = О и А = О (определенное значение А(оо) оказывается результатом выбора вещественной 6). 245 ПОВЯРХНОСТНОЕ КАТЯ?КЕНИЯ НА ГРАНИЦЕ ФАЗ сг„, = ' / [(А' — 1) — 4> ]с1х (46.16) (оно получается из первого интеграла (46.12) интегрированием члена ?1?' по частям с последующей подстановкой ?1?л из (46.8)). ?2 Интеграл заведомо обратится в нуль, ещ?и будет тождественно равно нулю подынтегральное выражение, т.
е. если будет А' — 1 = — ф~ (46.17) ')Подчеркнем, что она не совпадает с глубиной проникновения поля в сверхпроводник из пустоты! В последнем случае в области проникновения поля 1?~ 1,между тем как при проникновении из и-фазы поле спадает в области с малыми ф. а вычисление интеграла (46.12) с этой функцией (и А = О) дает Свив (46.14) Зъ'2ян 8я и Погрешность этого значения происходит от пренебрежения здесь вкладом в интеграл от области, в которой спадает поле. Для оценки гпирины 51 этой области ') замечаем, с одной стороны, что, согласно уравнению (46.9), 51 2 ф2.
С другой стороны, формула (46.13) должна оставаться, по порядку величины, справедливой и на границе области х 61, откуда г)? ?гд1. Из этих двух соотношений находим бг ?с 172. Вклад же в поверхностное натяжение от этой области оказывается Н2о?с 1г2, т. е. мал по сравнению с (46.14) всего в отношении ?г 7 (так что точность (46.14) сравнительно невелика). При увеличении параметра ?с коэффициент поверхностного натяжения проходит через нуль и становится отрицательным. Это видно уже из того, что неравенство ст„, < О во всяком случае осуществляется при достаточно болыпих значениях ?с. Действительно, характерные расстояния изменения функции ?1?(х) в этой задаче не могут быть меньшими, чем для изменения А(х), так как уже само по себе изменение А приводит к изменению ?2 ?1?; поэтому при большом ?с членом ф' /?с2 под знаком интеграла в (46.12) можно пренебречь, а поскольку О < А' < 1 (т, с.
О < В < Н, в обычных единицах), то подынтегральное выражение оказывается отрицательным. Покажем, что обращение сг„, в нуль происходит при значении ?г = 1/ъ'2. (46.15) Для этого перепишем выражение для сгп, в виде СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ гл. ч (обратный знак в этом равенстве невозможен, так как поле В = А' должно убывать с увеличением х).
Исключив ф из (46.17) и (46.9), найдем уравнение Ал = А(1 — А'), (46.18) решение которого (при граничных условиях А' = 1 при х = — Оо и А = 0 при х = Оо) определит распределение поля; в силу (46.17) граничные условия (46.10) для г)) после этого выполнятся автоматически. Не решая уравнения (46.18) фактически, достаточно убедиться, что при м2 = 1/2 будет автоматически удовлетворено также и неиспользованное еще уравнение (46.8), или, что то жс, его первый интеграл (46.11). Подставив (46.17) в (46.9), получим гр' = — Ау)/2; это значение уг' вместе с А' из (46.17) действительно тождественно удовлетворяет равенству (46.11) с м2 = 1/2.
Задача уУ=О, В=А'=б при х=О, ф'=1, А=О при х=оо (первое из них есть условие (45.15)). Ищем решение в виде ф = 1+ ч'1(х), А = -Яе + А1(х), где фг, Аг — малые поправки к решению при м = О, отвечающему затуханию поля по лондоновскому закону (44.13).
Для поправки Хг имеем уравнение 4г' = 2м ггг -~- — м б е 2 откуда с учетом граничных условий з з-з з-.Л 1 1 д= — мбе — м е 8 4ч'2 Теперь для А1 пишем уравнение А" ,= Аг — 2бе *фг, причем для фг сюда надо подставить только второй член из (Ц первого по- рядка по м. С учетом граничного условия (Аг —— 0 при х = О)и пренебрегая, где возможно, высшими по м членами в коэффициентах, находим А, = -1бз((1+ Ч2).— —.-"' '"'). 8 (2) Для сверхпроводника с параметром м « 1 найти первую поправку по полю к глубине проникновения в слабых полях.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
