IX.-Статистическая-физика-часть-2 (1109682), страница 42
Текст из файла (страница 42)
228 СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ гл. ч ются согласно — + ехр ( — [Х(г) — Х(г )) ~ С(Х, Х ), (44.5) -+ ехр ( — ' [Х(г) +,"~(г')1~ г'(Х, Х'). С(Х, Х') Г(Х, Х') При этом и = гР(Х, Х) -+ ехр ( — РВХ) Е, ) Подчеркнем, что здесь фигурирует именно постоянный (не зависяший от температуры) параметр длины бе; строгое обоснование этого критерия будет дано в дальнейшем (см. конец 3 51). ) Благодаря тому, что во вторично-квантованный гамильтониан (7.7) ф-операторы входят парами Р(Х) и 4г" (Х), он преобразуется при замене (44.3), (44.4) так же, как и обычный гамильтониан при таком же преобразовании обычных (не операторных) волновых функций.
Преобразование вида (44.3), (44.4) было фактически использовано уже в 3 19. Формула (44.2) (как и формула (26.12) для жидкого гелия) предполагает достаточную медленность изменения фазы в пространстве. В то время, однако, как в случае бозе-жидкости требовалась малость изменения Ф лишь на межатомных расстояниях, здесь условие оказывается значительно более сильным. Роль характерного размера для сверхтекучей ферми-жидкости играет длина когерентности сс 6пр/гас, и фаза Ф должна мало меняться именно на таком расстоянии (большом по сравнению с межатомными) ').
Связь между 3, и Ф усложняется, если сверхпроводник находится во внешнем магнитном поле; мы рассмотрим здесь случай постоянного (во времени) поля. Необходимые изменения, которые надо внести в формулу (44.2), можно выяснить исходя из требования калибровочной инвариантности теории. Это требование состоит в том, что все наблюдаемые физические величины должны оставаться неизменными при калибровочном преобразовании векторного потенциала магнитного поля; А -+ А+ чХ(г), (44.3) где Х(г) произвольная функция координат. При этом г)г-операторы преобразуются по закону, совпадающему с законом преобразования волновых функций: Ф вЂ” э Ф схр — "Х, Фт — + гят ехр ( — — Х), (44.4) бс йс где е — заряд частиц, описываемых Ф-оператором (см.
П1, (111.9)) '). Гриновские же функции С(Х, Х') и Р(Х, Х'), как и матричные элементы произведений ФФ " или ФФ', преобразу- 229 свегхпговодящий ток т. с. фаза конденсатной волновой функции ,р Ф зе () (44.6) Соотношение (44.2) не инвариантно по отногпению к такому преобразованию фазы. Для достижения требуемой инвариантности оно должно быть дополнено членом, содержащим векторный потенциал магнитного поля: ,), = — п, (17Ф вЂ” — А) . В удвоении заряда (во втором члене в скобках) проявляется спаривание электронов в сверхпроводнике. Уже это выражение достаточно для того, чтобы объяснить основное макроскопическое свойство сверхпроводника - вытеснение из него магнитного поля (эффект Мейсснера)').
Рассмотрим однородный сверхпроводник, находящийся в слабом магнитном поле, величина поля предполагается малой по сравнению с критическим полем Н„разрушающим сверхпроводимость. Этим условием исключается существенное влияние магнитного поля на величину п,. Пусть тело находится в термодинамически равновесном состоянии, так что нормальный ток отсутствует и поэтому 1, = 1'). Применив теперь к обеим частям равенства (44.7) операцию го1 и заметив при этом, что го1 А = В " магнитная индукция в теле, получим уравнение Лондонов 2 го13 = — В (44.8) тс (44.7) (Р.
Ьопс(оп, Н. 7опйоп, 1935)'). Это уравнение специфично для сверхпроводника. Используем также и общие уравнения Максвелла го1В = — 1, (44.9) с с)(уВ = О. (44.10) Подставив 1 из (44.9) в (44.8) и заметив, что в силу (44.10) готгосВ = — ЬВ, получим уравнение для магнитного поля в сверхпроводникс ЬВ = 5 ~В, (44.11) ') Феноменологическая электродинамика сверхпроводников изложена в другом тома этого курса — см. У111, гл. У1. ~) Это будет предполагаться и везде ниже в этой главе, так что под1 будет подразумеваться плотность сверхпроводящего тока. з) Изложенный вывод уравнения (44.8) принадлежит Л. Д.
Ландау (1941). 230 СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ ГЛ. Ч где введено обозначение б = тс 7(4ке и,). (44.12) Найдем с помощью этого уравнения распределение поля в сверхпроводнике вблизи его поверхности, которую будем считать плоской; эту плоскость выбираем в качестве плоскости уг, а ось х направим внутрь тела. В этих условиях распределение поля зависит только от одной координаты х, и из (44.10) имеем дВ /дх=О; из (44.11) автоматически следует тогда, что и В =О. Уравнение (44.11) принимает теперь вид пзВ/йхз = В/бз, откуда В(х) = у)е *~, (44.13) где вектор Я параллелен поверхности.
Мы видим,что магнитное поле экспоненцивльно затухает в глубь свсрхпроводника, проникая в него лишь на расстоянии б. Эта длина макроскопична, но мала по сравнению с обычными размерами массивных образцов (б 10 в — 10 е см), так что поле проникает фактически лишь в тонкий поверхностный слой. Длину б называют лондоновской глубиной проникновения поля. Подчеркнем, что она является непосредственно измеримой величиной, имеющей вполне определенный смысл, . в отличие от условного смысла параметра п,. Произведенный вывод нуждается, однако, в существенной оговорке.
Исходная формула (44.7) применима лишь при условии достаточной медленности изменения всех величин в пространстве: характерные расстояния, на которых происходит существенное их изменение, должны быть велики по сравнению с длиной когерентности ~о1). В данном случае это значит, что должно б» ьо. (44.14) ) Напомним, что сама индукция Н есть истинная микроскопическая напряженность магнитного поля, усредненная по физически бесконечно малым злементам обьема, размеры которых велики лишь по сравнению с постоянной решетки.
Это требование, разумеется, не бросает тени на само доказательство факта вытеснения поля из сверхпроводника: предположение о невытеснении поля привело бы к логическому противоречию, так как его изменение в таком случае было бы заведомо медленным и уравнение (44.11) было бы применимо. Но конкретное уравнение (44.11) и следующий из него закон затухания поля (44.13) справедливы только при соблюдении условия (44.14). 231 свегхпговодящий ток Ситуацию, когда в сверхпроводнике выполняется неравенство д» ~о, называют лондоновской.
В обратной же ситуации, когда б «се, говорят о пиппардоесколг случае (закон затухания поля в глубь сверхпроводника в этом случае будет рассмотрен в 2 52). При Т вЂ” +Те плотность сверхпроводящих электронов и,— +О, так что б — »оо. Поэтому в достаточной близости к точке перехода ситуация всегда лондоновская. Но при Т вЂ” » О соотношение между б и ~е зависит от конкретных свойств металла'). Наконец, рассмотрим еще одно следствие выражения (44.7), не зависящее от соотношения между о и со. Как известно из макроскопической электродинамики сверх- проводников, если через отверстие сверхпроводящего тора проходит магнитный поток, то этот поток остается постоянным при любых изменениях состояния тела (не нарушающих его сверхпроводимости); при этом предполагается, что тор массивен его диаметр и толщина велики по сравнению с длиной когсрентности и глубиной проникновения поля.
Покажем, что величина «вмерзшего» в отверстие тора магнитного потока может быть лишь целым кратным некоторого элементарного «кванта потока» (Г. 7опг4оп, 1954). В толщине тела (вне области проникновения поля) плотность тока 3 = О; векторный же потенциал отличен от нуля — равен нулю лишь его ротор, т. е. магнитная индукция В. Выберем какой- либо замкнутый контур С, охватывающий собой отверстие тора и проходящий внутри тела вдали от его поверхности; таким выбором обеспечивается соблюдение условия применимости формулы (44.7) — достаточная медленность изменения фазы Ф и потенциала А в пространстве.
Циркуляция вектора А вдоль контура С совпадает с потоком магнитной индукции через натянутую на контур поверхность, т. е. потоком ф через отверстие тора: Ас~1 = / го1А. сК = / ВЖ— : ф. С другой стороны, приравняв выражение (44.7) нулю и проинтегрировав его по контуру, получим Аг11 = — ' ~ ~7Ф. 41 = — 'бФ, 2е „Г 2е где 6Ф --. изменение фазы волновой функции при обходе контура. Но из требования однозначности этой функции следует, что ') Лондоновский случай во всей области температур имеет место, например, в чистых металлах переходных групп периодической системы, в некоторых интерметаллических соединениях. Пиппардовский случай имеет место (вдали от Т,) в чистых металлах неперсходных групп.
232 гл. ч СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ изменение фазы может быть лишь целым кратным от 27г. Таким образом, мы приходим к результату (0 = п(бе, фе = — ' = 2 10 "Гс см, (44.15) (е! где п целое число. Величина фе представляет собой элементарный квант магнитного потока. Квантование магнитного потока имеет также и другой аспект: оно приводит к дискретности значений полного тока 1, который может протекать (в отсутствие висл|него магнитного поля) по сверхпроводящему кольцу.
Действительно, ток о' создает магнитный поток через отверстие кольца, равный Ы/с, где 1 . — коэффициент самоиндукции. Приравняв этот поток пфе, находим, что ток может иметь значения (44.16) й )е)й В противоположность кванту магнитного потока, «квант полного тока> зависит (вместе с самоиндукцией Г) от формы и размеров кольца. Задача Определить магнитный момент сверхпроводящего шарика радиуса 11«б, находящегося в магнитном поле, в лондоновском случае. Р е ш е н и е, При Я«6 можно считать магнитное поле внутри шарика постоянным и равным внешнему полю Уз. Если выбрать векторный потенциал в виде А = 1/2[гзг), то можно положить просто 1 = -(п„е /тс)А (т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
