IX.-Статистическая-физика-часть-2 (1109682), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Спиновая зависимость матричных элементов операторов рождения или уничтожения такой пары сводится к единичному антисимметричному спинору (41.5) 8 Р— 1 0 Напишем поэтому функции (41.3) в виде ') Г. =Ц. Г(Х„Х,), К+ =8 Г'(Х„Х,); (41.6) при этом в силу (41.4) Г и Г~ симметричны по Х1 и Хт. Спиновая же зависимость гриновской функции С в для неферромагпитпой системы сводится к Сод = бо,~С. В однородной, макроскопически неподвижной системе гриновские функции С, Г и Г~ зависят только от разностей координат точек и разности моментов времени (ср. примечание на с. 159). Подобно тому как введенная в 326 функция Е(Х) имела смысл волновой функции частиц в конденсате, так функцию гГ(г, г1; 1, гз) можно рассматривать как волновую функцию частиц, связанных в находящихся в конденсате куперовских парах.
Тогда функция (41.7) В(Х) = гГ(Х, Х) будет волновой функцией движения этих пар как целого. Из определений (41.3), (41.5) легко видеть, что при этом Гт(Х, Х) = г Е" (Х). В стационарной, макроскопически неподвижной системе функция Е(Х) сводится к постоянной; надлежащим выбором фаз ф-операторов можно сделать эту постоянную вещественной. Вычислим теперь определенные таким образом гриновские функции для модели ферми-газа со слабым притяжением между частицами. Гейзенберговский ф-оператор удовлетворяет уравнению (7.8). Ввиду малости радиуса действия сил между частицами в рассматриваемом газе в интегральном члене этого уравнения можно взять значения множителей 1Р(г, г') в точке г' = г и вынести ) Ср.
примечание на с. 47. В то время как по своей спиновой структуре С Е есть смешанный спинор второго ранга, функции Г Е и Г~ представляют собой соответственно контра- и ковариантный спиноры. 218 Гл. ч СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ их из-под знака интегрирования; тогда уравнение примет вид ') / 1у2 2 — = — ( — + 12 ) Фо — дФтФТФо. (41.8) Эрмитовским сопряжением всех членов этого уравнения получим аналогичное уравнение для оператора Ф / г2 Подставив выражение (41.8) в производную дСодфд1 (9.5), получим уравнение ~ ~ ~ | ~ ~ э г ~ < ~ > ~ | д 22 2 — + — + Р Со~(Х вЂ” Х )— дг 2гп — зфХ~ТФ~т(Х)Ф (Х)Ф (Х)Ф,~ (Х')~М) = б„дб(~~(Х вЂ” Х') (41.10) (ср.
(15.12)). Фигурирующий здесь диагональный матричный элемент произведения четырех 2)2-операторов может быть расписан, согласно правилу умножения матриц, в виде суммы произведений матричных элементов двух пар операторов. Из всех таких произведений оставим лишь то, которое содержит матричные элементы для переходов с изменением числа частиц 2"1' еэ 22'+ 2, и опустим все остальные члены (Х~ТФ;Ф.,ФОФ„'~Х) э — > (5г(ТФ. Ф (йг+ 2)(Х+ 2)ТФ+Ф~~ )Х) = = -Г,.(Х, Х)Г,";,(Х, Х') = -5.,К(О)Ь'(Х вЂ” Х') (41.И) (в последнем преобразовании использованы выражения (41.5)). Физически этот член отвечает спариванию частиц и по порядку величины совпадает с плотностью конденсата. Подчеркнем, однако, принципиальное отличие от пренебрежений, которые делались в случае слабо неидеального бозе-газа. В последнем почти все частицы находятся при Т = 0 в конденсате, а число надконденсатных частиц, появляющихся только в результате слабого взаимодействия частиц, относительно мало.
В данном же случае, напротив, сам конденсат появляется в результате слабого взаимодействия и потому включает в ') Как и в Э 39, пользуемся обозначением я для константы связи, совпадающей с постоянной -Ус = — ) Го~я. Оператор Лапласа пишем как Ту~ во избежание путаницы со щелью 2.'г. В этом и шгедующем пары рафах полагаем 6=1. 9 41 ГРиновские Функции свеРхтекучего ФеРми-ГА3А 219 себя лишь малую долю частиц.
Другими словами, отбрасываемые при замене (41.11) члены нс малы, а велики по сравнению с оставленными. Последние, однако, приводят к качественно новому эффекту изменению характера спектра, в то время как первые были бы нужны лишь для вычисления не интересующей нас здесь поправки к основному уровню системы (ср. в этой связи примечание на с. 213). После замены (41.11) уравнение (41.10) сводится к виду т — + — + )А С(Х) + дЕГт(Х) = б~~)(Х) (41,12) дг 2гп (аргумент функции Х вЂ” Х' заменен на Х, а Гюстоянная гГ(0) обозначена через Š— в соответствии с оГГределенисм (41.7)).
Сюда входят две неизвестные функции С(Х) и Г+(Х), поэтому для их вычисления необходимо еще одно уравнение. Его можно получить, вычисляя производную г "" = /)ЮГ+2 Т ~ )ГР~т(Х) Х дг '1 дг член с д-функцией (подобный второму члену в (9.5)) здесь не возникает, поскольку функция Г д(Х вЂ” Х') (в противоположность фУнкции Сод(Х вЂ” Х')) непРеРывна пРи 1 = Г' '). Подставив сюда (41.9) и снова произведя выделение конденсатного члена, аналогичное (41.11), получим в результате уравнение — — — — )А Г (Х) + ~Я*С(Х) = О. (41.13) дГ 2т В него входят те же две функции С и Гт, что и в (41.12); поэтому эти два уравнения достаточны для вычисления этих функций (для вычисления же Г надо было бы вывести аналогичным образом еще одно уравнение).
Перейдем в этих уравнениях к импульсному представлению, введя обычным образом фурье-компоненты С(Р) и Гт(Р): (41.14) ') В этом легко убедиться, вычисляя скачок функции Г" подобно тому, как это делалось в з 9 для с в, и заметив, что операторы Ф+ (1, г) и Фвз (1, г') антикеммутативны. 220 гл. ч СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ где Р=(ы, р) и г)р —— р4,3'2т — (3. Отметим, что ввиду четности функции Г~ (Х), четны также и ее фурье-компоненты Г+(Р) = = Г+( — Р). Исключив из двух уравнений функцию Г~, найдем для С уравнение ( 2 2 3 2)С(Р) (41.15) где введено обозначение (41.16) ~=а~=-1 Формальное решение уравнения (41.15): М+ Пр ир Рр иу3 — У3(р) ьу — е(р) и + е(р)' (41.17) С другой стороны, имеем, по определению, *.- гьр ~Х=р~=арчр1 "' ( 9) (2уг) 4 р (р)=,~4 43', 3 *«фр у» (39.13).У отсюда видно, что спектр элементарных возбуждений, определяемый положительным полюсом функции Грина, дается функцией е(р) мы снова приходим к результату (39.20).
Мы видим также, что энергетическая щель уд и модуль конденсатной волновой функции движения пар как целого оказываются пропорциональными друг другу величинами. Выражение (41.17) для С(Р), однако, еще неполно; в нем не определен способ обхода полюсов. Другими словами, остается еще неопределенной мнимая часть функции С; эта часть содержит О-функцию О(пу ~ е) и потому выпадает при умножении на а9' — е~ в уравнении (41.15). При Т = 0 правило обхода полюсов устанавливается прямым сравнением выражения (41.17) с разложением (8.7); в членах с положительными и отрицательными полюсами переменную надо заменить соответственно на ш+ 30 и О9 — 30; тогда (41.17) примет вид С(ш, р) — ' + " — ~Р .
(41.18) и — е(Р)+30 99+В(Р) — 30 (и — 4+30)(м+е — 30) Выражая теперь Г+ из второго из уравнений (41.14), находим Г' (ОУ, р) = — ~ . (41.19) (и — е + 30)(м + е — 30) 2 41 ГРинсВские Функции сВеРхтекучеГС ФеРми-ГА3А 221 Подставим сюда (41.19); интегрирование по Гкц осуществляется путем замыкания контура бесконечно удаленной полуокружностью в верхней полуплоскости, после чего интеграл выражается через вычет в полюсе ю = ю В результате, после сокращения на Е*, получим равенство (39.16), определяющее 2АО.
При Т ~ 0 нахождение мнимой части гриновских функций несколько сложнее. Для построения функции С(ю, р) с правильными аналитическими свойствами по переменной ы напишем сначала запаздыввюшую функцию СН(ю, р); она должна быть аналитична в верхней полуплоскости и потому получается из (41.17) заменой ы -+ ы + 10. Мнимая часть этой функции: 1гпС = — зг[и„б(ьз — е) + п„б(ьз + е)). Мнимая же часть искомой функции С находится отсюда с помо- щью формулы (36.14), согласно которой 1шС(ю, р) = 2Ь м 1гпСн(ю, р) = 2Т 25[ ) 25[ + )] где пр .. фермиевская функция распределения (39.14) (использовав эту формулу, мы тем самым осуществляем переход от усреднения по заданному стационарному состоянию системы к усреднению по распределению Гиббса).
Функцию С с этой мнимой частью можно записать в виде г С(ы, р)= " + ' +2крпр[и2 д(ГУ вЂ” е) — п2 с(ы+е)). (41.21) м — З-~-го и+Š— 10 ДЛя фуНКцИИ жЕ г" ~(ЬЗ, р) НаХОдИМ тЕПЕрЬ г~(ьз, р) = г~(ю, р)~т — ~ ~[6(ьз — е) +б(и+е)), (41.22) где первый член есть функция (41.19), относящаяся к Т = О. Подставив это выражение в (41.20) и произведя интегрирование, мы вернемся к уравнению (39.15), определяющему Ь(Т).
Уравнения (41.14) можно изобразить в диаграммном виде аналогично тому, как для сверхтекучей бозе-системы были представлены уравнения (33.7). При этом функции С, г', Г ' изображаются теми же графическими элементами (33.6)— одно- и двусторонними стрелками. Два уравнения (41.14) 222 СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ гл. ч записываются в виде (41.23) — РР— Р Р 3 42. Температурные гриновские функции сверхтекучего ферми-газа В 341 был определен энергетический спектр сверхтекучего ферми-газа путем использования обычных, «временных», грнновских функций. Однако для решения более сложных задач (и прежде всего для исследования свойств системы во внешних полях) более удобен математический аппарат температурных гриновских функций (А.
А. Абрикосов, Л. П. Рорьков, 1958). Температурная функция Я,„З определяется той же формулой (37.3), что и для нормального ферми-газа. Температурные же функции У д н У д (соответствующие временным функциям Р д и Р„~) определим аналогичными формулами У д(тм гП тт, гз) = ~ (т, й7~шТ,Ь 14~~~»п, Х+ 2), У З(тг, г1., тз, гз) = ~~~ (т, 7»'+ 2~ЙТ~Ф~~ЖДт, Х). (42.1) Спиновая зависимость этих функций отделяется (аналогично Тонкой стрелке отвечает множитель гС(е~(Р), где С~О~(Р) гриновская функция идеального ферми-газа.
Входящей же в вершину и выходящей из нее волнистым линиям отвечают соответственно множители гдЕ и — гяЕ*. Сравнив (41.23) с (33.7), видим, что эти последние множители соответствуют собственно- энергетическим функциям гЕез и «Его, т. е. представляют собой первые приближения для этих величин. Отметим, что новыми элементами - . двусторонними стрелками и волнистыми линиями ограничиваются особенности диаграммной техники для сверхтекучих ферми-систем; в отличие от случая бозе- систем, «тройные» вершины здесь не возникают.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
