IX.-Статистическая-физика-часть-2 (1109682), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Описанные выше явления характерны не только для сверх- текучего гелия. Они могут происходить и в других двумерных системах, в которых в результате разрупгения дальнего порядка флуктуациями возникает состояние с медленно убывающими корреляциями, например в двумерных кристаллических пленках, о которых шла речь в Лг, 8 137.
Роль вихревых нитей в этом случае играют дислокации, перпендикулярные плоскости пленки. Энергия такой дислокации имеет вид А 1п(п/пе) '). Соответственно при температуре Т, = А происходит фазовый переход. При температурах Т > Т, в пленке имеется конечная плотность дислокаций. Движение дислокаций в такой пленке делает возможным ее течение.
В этом смысле она ведет себя как жидкость, и фазовый переход является переходом плавления, хотя вблизи точки перехода чиню дислокаций мало, а там, где их нет, имеются достаточно большие «твердые» участки. Число вихревых нитей определяется из условия равенства нулю их химического потенциала. Чтобы написать выражение для него, заметим, что добавка (35".8) к свободной энергии и есть ') См. УП, задачу 2 к З 27. В рассмотренной в этой задаче модели дислокации в изотропном твердом теле А = ЬрЬ /8л, где р — модуль сдвига, Ь— 2 вектор Бюргерса дислокации, 7, — толщина пленки. 188 ГЛ.
1П СВЕРХТЕКУ ТЕСТЬ химический потенциал, однако записанный для случая наличия всего одной нити на площади пленки. Чтобы перейти к случаю, когда имеется 11! вихревых нитей на единицу площади, достаточно заменить полную площадь с на площадь, приходящуюся на одну нить, т. е. на 1!!Х. Вводы вместо ое и о! два других параметра 12е и ее (вблизи Т, их можно считать постоянными), получаем химический потенциал нитей: 52 дУ = — г12(Т) — Т 1п — '+ ео (35* 11) (По порядку величины 12"е по !, Ее Т, ) При Т = Т, коэффициент перед логарифмом равен нулю, при Т ) Т, он должен быть отрицателен.
Закон обращения этого коэффициента в нуль нельзя установить из общих соображений. Предполагая, в духе флуктуационной теории фазовых переходов второго рода, что это обращение происходит по некоторому степенному закону ~ ", 1,(Т) — Т~ -(Т-Т.), где м —. некоторый критический показатель, и приравнивая нулю выражение для химического потенциала, находим температурную зависимость равновесного числа нитей выше точки перехода: (35*.12) 12' = ~ОЕХР При Т вЂ” + Т, это число, как уже говорилось, экспонснциально мало.
Среднее расстояние между вихрями ~ 11' ~1~ одновременно определяет корреляционный радиус флуктуаций, на котором происходит экспоненциальное убывание матрицы плотности. Мы видим,что вблизи точки перехода этот радиус экспоненциально велик. ГЛАВА 1У ФУНКЦИИ ГРИНА ПРИ КОНЕЧНЫХ ТЕМПЕРАТУРАХ 3 36. Гриновские функции при конечных температурах ') Определение функции Грина макроскопической системы при отличных от нуля температурах отличается от их определения при нулевой температуре лишь тем, что усреднение по основному состоянию замкнутой системы заменяется усреднением по распределению Гиббса: символ (...) будет теперь обозначать (...) = ~~~ ог„(п~...
~гг), ш„= ехр ", (36.1) где суммирование производится по всем состояниям системы (отличающимся как энергией Е„, так и числом частиц 1г'„), Е'„= ń— 11Агв, а (п~...~п) — диагональный матричный элемент по п-му состоянию. Определенные таким образом средние значения являются функциями термодинамических переменных т, р,1. При исследовании аналитических свойств гриновских функций при конечных температурах (Л.Д. Ландау, 1958) целесообразно воспользоваться так называемыми запаздывающими и опережающими функциями Грина, аналитические свойства которых оказываются более простыми').
Для определенности будем говорить сначала о ферми-системах. Запаздывангтцая функция Грина определяется согласно (Ф.(Х1)ФРХ2)+Ф,(Х2)Ф.(Х1)), 11 > 1„ Е(-м-.)=' . ~ 0 11 ( г2 (36.2) Для микроскопически однородной нефсрромагнитной системы, в отсутствие внешнего поля, эта функция (как и обычная С е) сводится к скалярной функции, зависящей лишь от разности Х=Х1 Х2: Сов(Х1, Х2) = д вС~(Х), С~ = -Со . (36.3) ') В 3 36 — 33 пользуемся системой единиц с 6 = 1. ~) Эти функции принято отличать индексами В и А — от английских слов гегагоео и аг1гапсед. 190 ФУНКЦИИ ГРИНА ПРИ КОНЕННЫХ ТЕМПЕРАТУРАХ гл. ~у Переход к импульсному представлению осуществляется обычным образом.
Но поскольку Сп(1, г) = 0 при 1 ( О, то в определении Си(ы р) / / е1(мг — Р~)Сн(1 г) с)1Цз (36.4) + е'~ "~ ~ "~)(и)~~(0)~т)(т~ф (0)~п), Мпп = Ет Ед~ )стп = Рт 1 и ° Для двух членов в фигурных скобках суммирование по п и т имеет несколько различный смысл; в первом члене числа частиц в состояниях п и т связаны соотношением Мт = Хп + 1, а во втором: Лт = ˄— 1.
Чтобы устранить зто различие, взаимно псреобозначим во второй сумме индексы т и и. Заметив также, (и!ф (0)/т)(т/фт(0))и) = !(и)зд (0)!т)! = А приводим все выражение к виду 4СЛ(1, г) = — з 1опе-1( ' ~"'"')А п(1+е п7~), 1) О. 2 ~-~ п,т (36.5) ') Ср. аналогичные рассуждения для функции о(ы) в Ъ', 1128, Сходство аналитических свойств функций С и о, разумеетсн, не случайно: согласно Ъ' (126.8), последняя выражается аналогичным образом через определенный операторный коммутатор. о интегрирование по 1 производится фактически лишь от 0 до со. Смещение переменной ы в верхнюю полуплоскость лишь улучшает сходимость такого интеграла.
Поэтому интеграл (36.4) определяет в верхней полуплоскости ы аналитическую функцию, нс имеющую особенностей' ). В нижней же полуплоскости, где функция С определяется путем аналитического продолжения, она имеет полюсы (см. ниже). Получим для функции СЛ разложение, подобное вывсдсииому в 8 8 разложению (8.7) для функции С при Т = О. Раскрыв матричный элемент (п)... ~п) от произведения 18-операторов по правилу матричного умножения и выразив матричные элемситы в виде (8.4), получим 4С (1,г)= — ып1е пы ' " "')(п!4о(0))т)(т!4,„(0)/и)+ п,т 36 ГРиновские Функции пРи конечных темпеРАтуРАх 191 Наконец, при вычислении интеграла (36.4) заменяем (как и в З 8) ю -э ю + 63 и окончательно находим: Си( ) (ХК) ~~- А, В(Р— К"'")(1+е "' 7т) (366) Обратим внимание на то, что все полюсы этого выражения рас- положены (в соответствии со сказанным выше) под вещественной осью, в нижней полуплоскости ш, Последнее свойство достаточно для того, чтобы установить определенную связь между вещественной и мнимой частями функции - так называемое соотношение КраААерса — Кронига, или дисиерсионное соотношение (36.7) К У и — Ы (см.
вывод такого же соотношения для ГГ(ГУ) в у',3123). В его справедливости можно также убедиться и непосредственной про- веркой, отделив в (36.6) вещественную и мнимую части с помо- щью формулы (8.11). Отметим также, что с учетом той же фор- мулы можно переписать (36.7) в виде С (ы,р)= — ~(' ) Г1и, (36.8) К,/ и — Ы вЂ” 10 где 3 р(и, р) = — к — ~ ~ыпА д(и — ы „)б(р — и „)(1+е "~т). При вещественных ш имеем р = 1шСК. Представление (36.8) приобретает более глубокий смысл при переходе к «макроскопическому пределу» Ъ' -+ оо (при заданном отношении ЛГ/'»Г). В этом пределе полюсы ы,„„сливаются, и функция р(и) делается отличной от нуля при всех и (а не просто равна сумме д-функции в дискретных точках).
При этом формула (36.8) непосредственно определяет СИ(ш) в верхней полу- плоскости Гн и на вещественной оси. Для определения же С (ш) в нижней полуплоскости ы необходимо произвести аналитическое продолжение интеграла, для чего следует деформировать контур интегрирования таким образом, чтобы он всегда огибал точку и = ы снизу. При этом Си(ы) может иметь особенности в нижней полуплоскости (на конечном расстоянии от вещественной оси), когда контур «зажимается» между полюсом и = ш и особенностью числителя. 192 ФУНКЦИИ ГРИНА ПРИ КОНЕЧНЫХ ТЕМПЕРАТУРАХ !ч!. !ч Опережающая функция Грини вводится аналогичным образом, согласно определению, 0 ьт > АА! гад(Хг, Хо) = — (Фо(Х!)Ф~э(ХЕ)+Ф,~ (Хз)Фо(ХТ)), 1! < ~э.
т (36.9) Функция С (о!, р) в импульсном представлении является аналитической функцией переменной о!, не имеющей особенностей в нижней полуплоскости. Ее разложение отличается от (36.6) изменением знака перед 10 в знаменателях. Это значит, что на вещественной оси С (а!) = С (оз), а во всей плоскости нн С."! ( *) Сн* ( ) (36.10) ! !ри и! — ! оо функции СН и СЛ стремятся к нулю по тому же закону, что и функция С: С, С вЂ” > 1/о! При )о!~ -+ оо.
(36.11) Напомним (см. вывод (8.15)), что коэффициент (единица) в этом асимптотичсском выражении определяется величиной скачка функции при 1е = 8г, этот скачок не зависит от температуры и одинаков для всех трех функций С, С, С, как это ясно из их определений.
Для установления связи между введенными таким образом функциями Сл, С~ и обычной функцией Грина ТС д(Хг, Хч) = (ТФ (Х!)Ф~~(Х2)) (36.12) получим для последней разложение, аналогичное (36.5). Вычисления, вполне аналогичные произведенным выше, приводят к результату '); С(оз, р) = — ~ ~а!„А „д(р — 1с „)х х (1+е "~~) + тзгб(ц! — о!тп)(1 — е !~) . (36.13) Сравнив (36.13) и (36.6), найдем Сл( ) я ' Р = КеС(о!, р) ~ ! с$Ь вЂ” 1ГНС(ог, р). (36.14) ') При переходе к импульсному представлению интеграл по ! разбивается на две части — от — оо до О и от О до оо, причем в одной из них производится переобозначение индексов суммирования пг, п. ГРИНСВСКИЕ ФУНКЦИИ ПРИ КОНЕ 1НЫХ ТЕМПЕРАТУРАХ 193 При Етом, как видно из того же выражения (36.13): В18П1шС(1н, р) = — е1нпы.
(36.15) Обратим внимание на то, что функция С, в отличие от Сн и С'4, не является аналитической функцией П1. При Т -+ 0 имеем с1Ь(П172Т) -+ Е1нпы, и из (36.14) следует, что на вещественной оси (36.16) Т вЂ” 1 С1 ~ ' (ю, р) = В1 — ~ +11~гО~ 2т (36.17) справедливое как при нулевой, так и при конечных температурах. Для функции же СОО находим, согласно (36.14), СОО(П1, р) = Р— 1Н 1Ь вЂ” д (В1 — 1' +11 . (36.18) ы — р7~2т+И 2Т 1, 2т При Т вЂ” + 0 мы вернемся к формуле (9.7), отличающейся от (36.17) заменой кгО на 10 е1япы. Приведем аналогичные формулы для случая бозе-системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
