IX.-Статистическая-физика-часть-2 (1109682), страница 38
Текст из файла (страница 38)
энвггвтнчвский спвктг 205 Я = ~~ а~~ ар„ ра оператор числа частиц; химический потенциал определяется затем, в принципе, условием равенства среднего значения Х заданному числу частиц в системе. Введем также обозначение 2 0р= Д (39.6) 2т Поскольку д — р~/2т, то вблизи поверхности Ферми 9р=ир1р-рр) где ир = рр(тп. Вычитая дЛ из выражения (39.5), напишем, таким образом, исходный гамильтониан в виде (39.7) Й' = ~ 9ра~ ар — ~ ~ а, а+~, а р арф. (39.8) ра Ъ' рр' Произведем в этом гамильтониане преобразование (39.4). Используя соотношения (39.2), (39.3) и возможность замены индекса суммирования р на — р, получим Й = 2 ~~~ пррр + ~~~ 71р(ир — ир)(Ь~.~ Ьр~ + Ьр Ьр )+ Р + 2 ~ г1ририр(Ь+ Ь' + Ь р Ь «) — и ~ ~В ~Вр, (39.9) рр' Вр — — йЬ р Ьрь — и Ь+ Ь' +ирир(Ь р Ь+ — Ь+ Ьр<).
Выбор коэффициентов ир, ир осуществим теперь из условия минимальности энергии Е системы при заданной энтропии. Последняя определяется комбинаторным выражением 5 = — ,'> '1ир 1ппр + (1 'ар )!п(1 ир )). ра Поэтому указанное условие эквивалентно минимизации энергии при заданных числах заполнения квазичастиц пр . В дальнейших вычислениях будет удобно снова воспользоваться обычным приемом, позволяющим избавиться от необходимости явным образом учитывать постоянство числа частиц в системе: в качестве нового гамильтониана вводится разность Й'=Й вЂ” дй, де 200 СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ ГЛ. Ч В гамильтониане (39.9) диагональные матричные элементы имеют лишь члены, содержащие произведения ЬРОЬра = ира~ ЬраЬра = 1 пра ° Поэтому находим Е = 2~-Цроо+ ~-цр(й-о~Ипр., +пр )- г2 — ирор(1 — прР— пр )~ .
(39.10) Варьируя это выражение по параметрам ир (учитывая при этом связь (39.3)), получим в качестве условия минимума 6Е 2 6а о — = — — (1 — п Р— п ) 221ио— р р — ррр Р ~Р— — (и — о)~и о (1 — и — п ) К 2 2 х Р Р2.,РР Р-~- Р— р1 Отсюда находим уравнение 2г1ри о = Ь(и~ — о2), где Ь обозначает сумму: (39.11) ьг = ~ ~ ~ирор(1 — ир, — пр ). У Из (39.11) и (39.3) выражаем ир, ор через 21р и Ь: (39.12) (39.13) е' х 1 — ирр — ир . 2Р К~ Яг+ Ог В равновесии числа заполнения квазичастиц не зависят от направления спина и даются формулой распределения Ферми (с равным нулю химическим потенциалом - ср.
примечание на с. 18): ПрР— — Пр = Пр — — ~Е + Ц е(т — 1 (39.14) Подставив же эти значения в (39.12), получим уравнение, опре- деляющее Ь: 39 сввгхтекучий Фаями-глз. эннггвтнчнский спвктг 207 Перейдя также от суммирования к интегрированию по р-про- странству, запишем это уравнение в виде 1з 2 / углг + г (2хб)з (39.15) / 4крг др 2(2 б)з / ЯГ~ (39.16) Сразу же отметим, что это уравнение заведомо не могло бы иметь решения (для Ье) при я < О, т. е, в случае отталкивания (знаки обеих сторон уравнения были бы заведомо различны).
Основной вклад в интеграл в (39.16) вносит область импульсов, в которой где « пр~рр — р ~ << пррр )г и интеграл имеет логарифмический характер (малость где по сравнению с р подтверждается результатом). Обрезая логарифмический интеграл при некотором г) = е )г,имеем ') 'д ' ~ д (11г+„г( )г]гдг / (лг+ г)мг Поэтому находим йгпр~ 2гггбз Ьо (39.17) откуда гле = е ехр — = Еехр (39.18) ) При р»рг величина пр сг рг, и интеграл (39.16) в написанном виде расходится, как р. В дсйствитсльности, однако, эта расходимость фиктивна и устраняется псренормировкой связи между константой 6 (т. е.
длиной рассеяния а) и потенциалом взаимодействия, подобно тому, как это было сделано в 6 6 и 25. Последовательное проведение такого довольно сложного расчета дает возможность определить также и коэффициент пропорциональности между параметром обрезания в и химическим потенциалом йс в=(2/е)и~и=0,49р (см. Л.
П. Гариков, Т, К. Мелик-БараударовО' ЖЭТч. 1961. Т. 40. С. 1452. Обратимся к исследованию полученных соотношений. Мы увидим, что величина гл играет основную роль в теории спектров рассматриваемого типа. Вычислим прежде всего значение этой величины при Т = О (обозначим его через Ье). При Т = О квазичастипы отсутствуют, так что пр — — О и уравнение (39.15) принимает вид 208 ГЛ. Ч СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ Это выражение можно записать также в виде Ьо = Гехр( — 2/8ир), (39.19) где ия = тру/я 6 энергетическая плотность числа состояний частицы на ферми-поверхности (иЖ число состояний в интервале Пе).
Наибольший интерес представляет форма энергетического спектра системы .- энергия элементарных возбуждений ер.ь —— = ар = е(р). Мы найдем ее по изменению энергии всей системы при изменении чисел заполнения квазичастиц, т. е. проварьировав Е из (39.10) по пр„. Поскольку значения ир, ср уже выбраны из условия равенства нулю производных от Е по ним, то варьирование Е по пр можно производить при постоянных ир, пр. Таким образом, Вычисление производной с использованием (39.11) (39.13) приводит к простому результату: Ю = /ь'+~' (39.20) Мы видим, что энергия квазичастицы не может быть меньше величины ьх, достигаемой при р = ря, Другими словами, возбужденные состояния системы отделены от основного энергетической щелью. Обладая полуцелым спином, квазичастицы должны появляться парами. В этом смысле можно сказать, что величина ще- Л ли равна 2Рг.
Обратим внимание на экспоненциальную малость этой величины: поскольку ркка~/6 << 1, то Ьо экспонен- Р— Ря циально мало по сравнению с р. Отметим рис З также, что выражение (39.18) нс может быть разложено по степеням малого параметра константы связи 8; последняя входит в знаменатель показателя экспоненты, так что значение 8=-0 является существенно особой точкой функции Ьо(8). Спектр (39.20) удовлетворяет установленному в З 23 условию сверхтекучести: минимальное значение е/р отлично от нуля.
Поэтому ферми-газ с притяжением между частицами должен обладать свойством сверхтекучести. На рис. 5 сравнены законы дисперсии квазичастиц в сверх- текучей (верхняя кривая) и нормальной ферми-системах. В последней этот закон изображается (в соответствии с указанной в конце ~ 1 трактовкой) двумя прямыми е = Егер — рк ~.
39 свеРхтекучий ФЯРми-ГАЕ эиеРГетический спектР 209 Величина щели Ь зависит от температуры, т. е. сама форма спектра зависит от статистического распределения квазичастиц ситуация, аналогичная тому, что имеет место для ферми-жидкости нормального типа. Поскольку при возрастании температуры числа заполнения квазичастиц возрастают (стремясь к 1), то уже из уравнения (39.15) видно, что Ь при этом уменьшается и при некоторой конечной температуре Те обратится в нуль; система перейдет из сверхтекучего состояния в нормальное. Эта точка представляет собой фазовый переход второго рода (подобный Л-переходу в сверхтекучей бозе-жидкости).
Наличие энергетической щели в спектре вырожденного ферми-газа и является выражением эффекта «спаривания», о котором уже говорилось в начале параграфа. Величину 2су можно рассматривать как энергию связи куперовской пары, которую надо затратить для ее разрыва. Гамильтониан (39.5) учитывает (как уже было отмечено в 3 6) взаимодействие лишь между парами частиц, находящимися в синглетном е-состоянии: орбитальный момент относительного движения частиц равен нулю, а их спины антипараллельны. Обладая равным нулю полным спином, пары ведут себя как бозевские образования и могут накапливаться в конечном числе на уровне (своего движения как целого) с наименыпей энергией уровне с равным нулю суммарным импульсом. В таком наглядном истолковании это явление вполне аналогично накапливанию частиц в состоянии с нулевой энергией (бозе-эйнштейновской конденсации) в бозе-газе; в данном случае конденсатом является совокупность спаренных частиц.
Представлению о связанных парах не следует, конечно, придавать слишком буквальный смысл. Более точно следует говорить о корреляции между состояниями пары частиц в р-пространстве, приводящей к конечной вероятности частицам иметь равную нулю сумму импульсов. Разброс др значений импульсов в области корреляции соответствует энергии порядка Ь, т. е.
бр ь/ор. соответствующая длина ~ 6/др пор/ь определяет порядок величины расстояний между частицами с коррелированными импульсами. При Т = 0 эта длина (ее называют длиной еогерентности) 1о- ' - — ехр( (39. 21) ЬО РР 'Х 2РР(а)/ Поскольку в вырожденном ферми-газе 6/рр совпадает по порядку величины с межатомными расстояниями, то мы видим, что (о очень велико по сравнению с последними. Это обстоятельство в особенности наглядно демонстрирует условность понятия о связанных парах.
Гл. ч СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ Происхождение эффекта Купера тесно связано с существованием ферми-поверхности, ограничивающей (в р-пространстве) конечную область заполненных (при Т = 0) состояний; важное обстоятельство состоит в том, что энергетическая плотность числа состояний на этой поверхности отлична от нуля. Эта связь проявляется в формуле (39.19) для величины щели Ье, обращающейся в нуль при ь р — ) О. 3 40. Сверхтекучий ферми-газ. Термодинамические свойства Изучение термодинамических свойств сверхтскучего ферми- газа начнем с вычисления температурной зависимости величины энергетической щели.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
