IX.-Статистическая-физика-часть-2 (1109682), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Соответственно вместо (12.11) пишем Ь~(т) = о '(т, О) %~О(т)о(т, О). (38.4) Подставим зто выражение в определение функции Грина (37.3); положив, для определенности, т1 ) т2, имеем ЯоД(ГМ Г2) = = — Яр1йо 1(тм 0)Ф~„(тг) о(гм О) о 1(т2, О) Мед(т2) о(т2, 0)1 (аргументы гы г2 для краткости не выписываем). Заметив, что при т1 ) т2 ) тз о(тг) тЗ) = о(т1, т2)о(т2, тз), о(т2, т1)о (тз, т1) = о(т2, гз), 200 гл. ~у Функции ГРинА НРи конечных темпеРАтуРАх переписываем в виде 6~,3 (тг 2) = = — Яр (ю й ( —, О) ~о ( —, т1)Фо (т1)ГГ(ты то) Код(то) Гг(тг, О)) ) . Множители в квадратных скобках уже расположены в порядке возрастания справа налево.
Поэтому можно написать Я„д(ты то) = — 8р1пнт ~(Т,Ь~~~ (т1)%~фтз)п~)~., (38.5) где ~т = ~т ( —, О) Легко проверить, что в таком виде это выражение остается справедливым и при т1 ( тз. В отличие от (12.12), в (38.5) содержится лишний (гиббсовский) множитель, и, кроме того, усреднение производится еще по состоянию системы взаимодействующих частиц. Покажем, что оба эти отличия «взаимно погашаются», в результате чего восстанавливается полная аналогия с (12.14). Для этого воспользуемся формулой ,-ти' =,-1 ~ой(т., 0), (38.6) которая получается путем подстановки (38.1) в (38.4) и последующим сравнением получившегося выражения с определением Ф~ согласно (37.1).
С ее помощью заменяем в (38.5) -и'!т--г 1'1 0) -и',!т 17" Множитель же е ~ выносим из-под знака Бр, перенеся его из числителя в знаменатель и представив в виде е — й/т Яр с — и'(т Яр е ио(тй ( 0) (7" Наконец, умножив числитель и знаменатель на ехр(йо/Т) (где Йо -. термодинамический потенциал идеального газа при тех же значениях 1», Т, 1l), получим окончательно ыиэ(т1 т2) = (Т 'Р()~(т1) Род(тг)о)о, (38.7) Я)о где усреднение производится по состояниям системы невзаимо- действующих частиц: ( )о=8РЯо .
). Аналогия этого результата с (12.14) очевидна. ~ 38 дялгглммнля твхникА для твмпьтАтэгных ехнкцяя ггивА 201 Для перехода к диаграммам теории возмущений, как и в з 13, разлагаем выражение (38.7) по степеням оператора взаимодействия Ъо(т). Для системы с парным взаимодействием между частицами этот оператор отличается от (13.2) лишь заменой гейзенберговских Фо, Ф<~~ на мацубаровские Ф~, Ф~. Средние значения произведений ф-операторов снова раскрываются по теореме Вика (т.
с. путем выбора всеми возможными способами попарных сверток операторов); применимость этой теоремы в макроскопическом пределе доказывается в данном случае теми же рассуждениями, что и в 3 13. Возникающие, таким образом, правила диаграммной техники вполне аналогичны правилам, полученным в 3 13 для техники при Т = О. Графическое изображение диаграмм остается в точности тем же. Несколько меняются лишь правила аналитического прочтения диаграмм.
В координатном представлении каждой сплошной линии, идущей от точки 2 в точку 1, сопоставляется множитель — я' О (т~, .г1, 'то, го) (со знаком минус). Каждой штриховой (о) линии, соединяющей точки 1 и 2, отвечает множитель — Ю(г1 — гэ)б(т1 — тэ). По всем переменным т, г внутренних точек диаграммы производится интегрирование по д~х по всему пространству и по г1т в пределах от 0 до 1/Т. Для перехода к импульсному представлению надо разложить все функции ~(о) в виде (37.7). После интегрирования по всем внутренним пероменным г в каждой вершине диаграммы возникает б-функция, выражающая закон сохранения импульса (2 р = 0). Кроме того, в каждой вершине возникает интеграл вида пг Т / ехр(-гт((„+ ~„+ ~„) йт.
о Этот интеграл (с учетом (37.8)) отличен от нуля, только если Е~, = О, причем в этом случае он равен 1. Таким образом, в каждой вершине соблюдается также и закон сохранения дискретных частот. Каждой сплошной линии ставится теперь в соответствие множитель — 6 О (~„р) (сплошной же линии, замкнутой на себя, (о) снова отвечает множитель п(о)(р, Т) плотность идеального газа при заданных д, Т). Каждой штриховой линии сопоставляется множитель — У(с1).
По всем импульсам и частотам, оставшимся 202 ГЛ. 1У ФУНКЦИИ ГРИНА ПРИ КОНЕЧНЫХ ТЕМПЕРАТУРАХ неопределенными (после учета законов сохранения во всех вер- шинах), производится интегрирование и суммирование вида Общий коэффициент, с которым диаграмма входит в — Д,„д, в случае ферми-систем равен ( — 1), где Ь вЂ” число замкнутых по- Ь следовательностей сплошных линий в диаграмме.
В случае же бозе-систем этот коэффициент равен 1. Разумеется, и в этой технике (как и в технике при Т = 0) можно производить частичное суммирование и вводить различные диаграммные «блоки>. В частности, можно определить вершинную часть, выражающуюся через двухчастичную функцию Грина. Эта вершинная часть связана с функцией 6 уравнением Дайсона, аналогичным (15.14).
Мы не будем выписывать такие формулы, вывод которых вполне аналогичен выводу в диаграммной технике при Т = О. При переходе к случаю Т = 0 суммы по е в мапубаровских диаграммах превращаются в интегралы по 1, и мацубаровская техника превращается в технику, очень напоминающую обычную, изложенную в гл. П. Разница, однако, состоит в том, что при вещественных 1, мацубаровские функции совпадают со значениями С и С на соответствующих полуосях мнимой оси (см. (37.11), (37.12)). Для перехода к обычной технике при Т = 0 надо еще повернуть контур интегрирования до совпадения с вещественной осью ш.
ГЛАВА У СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ 9 39. Сверхтекучий ферми-газ. Энергетический спектр Вся изложенная в гл. 1 теория Ландау относится только к одной категории ферми-жидкостей —. к жидкостям, обладающим энергетическим спектром, не приводящим к явлению сверхтекучести. Этот тип спектров не является единственной возможностью для квантовой ферми-жидкости, и мы переходим теперь к изучению ферми-систем со спектром другого типа. Происхождение этого типа энергетических споктров и его основные свой ства можно наиболее наглядным образом выяснить на простой модели, допускающей полное теоретическое исследование - вырожденном почти идеальном ферми-газе с притяжением между частицами ').
Слабо неидеальный ферми-газ с отталкиванием между частицами был рассмотрен в 8 6. На первый взгляд, произведенные там вычисления в равной степени справедливы как для случая отталкивания, так и для случая притяжения менсду частицами, т. е. как при положительной, так и при отрицательной длине рассеяния и. В действительности, однако, в случае притяжения (а ( 0) найденное таким образом основное состояние системы оказывается неустойчивым по отношению к определенной перестройке, меняющей его характер и понижающей энергию. Физическая природа этой неустойчивости состоит в стремлении частиц к еспариванию»: образованию связанных состояний парами частиц, находящихся (в р-пространстве) вблизи ферми- поверхности и обладающих равными по величине и противоположными по направлению импульсами и антипараллельными спинами — так называемый эффект Купера (1, )т'. Соорет, 1957).
Замечательно, что этот эффект возникает в ферми-газе уже при сколь угодно слабом притяжении между частицами. Именно в силу этого эффекта использованная в задаче о ферми-газс с отталкиванием система операторов ар, ар, соответствующих свободным состояниям отдельных частиц газа, ) Эта задача лежит в основе теории сверхпроводимости, построенной Бардином, Купером и Н1ри4фером (Х Ватдееп, Б,Н. Соарес, 1. Н. Вс1ггзе11ет (1957). Излагаемый ниже метод решения принадлежит Н. Н. Боголюбову (1988) . 204 СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ Гл.
ч не может служить теперь правильным исходным приближением теории возмущений '). Вместо них надо уже сразу ввести новые операторы, которые будем искать в виде линейных комбинаций (39.1) Ь = ира — ора объединяющих операторы частиц с противоположными импульсами и спинами (индексы + и — относятся к двум значениям проекции спина); в силу изотропии газа коэффициенты ир, ор могут зависеть только от абсолютной величины импульса р.
Для того чтобы эти новые операторы отвечали рождению и уничтожению квазичастиц, они должны удовлетворять таким же правилам коммутации Ферми, как и старые операторы; а все другие пары операторов антикоммутативны (индекс ст нумерует два значения проекции спина). Для этого коэффициенты преобразования должны удовлетворять условию и„+о =1 (39.3) (ир, ор могут быть сделаны вещественными надлежащим выбором фазового множителя).
При этом обратное (по отношению к (39.1)) преобразование имеет вид + о 1у' а =ирб +орб (39.4) ар = ирЬР— орЬ'и По тем же причинам (основной роли взаимодействия между парами частиц с противоположными импульсами и спинами) мы сохраним в гамильтониане (6.7) во второй сумме лишь члены, в которых р1 = — рз = р, рг — — — рз = р: з ро ™ рр' где снова введена «константа связи» д = 4лйз~а~/т (длина рассеяния а ( 0). (39.2) ) Указание на неприменимость теории возмущений (в использованной в 16 форме) к парам частиц с проекциями спинов х1/2 и с импульсами рз -р1 дает уже наличие особенности при д = л,которой обладает полученное с помощью этой теории выражение функции взаимодействия квазичастиц (6,16); эта особенность существует только при аитипараллельных спинах, которым отвечает равное — 3 собственное значение оператора озим 39 сввгхтекучии ььвми-гАэ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
