IX.-Статистическая-физика-часть-2 (1109682), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Запаздывающая и опережающая функции Грина определяются согласно; (Р(Х1) Р'(Х2)-Рф(Х2)Р(Х1)), 1С11(Х1, Х2) = 0 1Сл(Х1, Х2)= — ( Р (Х1) Ф ~ (Х2) — Ф~ (Х2) 1Р (Х1 ) ), 11>12, 11 <12., 11>12~ Г1<Г2. (36.19) 7 Е.М.Л ф д,Л,П,П е с А Таким образом, функция С(ГЦ) при Т = 0 представляет собой на двух вещественных полуосях В7 предельные значения (при ~1пы~ — + 0) двух различных аналитических функций: С~(ц1) на правой и С (Гн) на левой полуоси. Легко написать выражения функций С~, С~ для идеального ферми-газа. Достаточно заметить, что они удовлетворяют тому же уравнению (9.6), в выводе которого использовано лишь значение скачка функции при 11 = 12. Способ же обхода полюса известен из того, что для СОО он должен находиться под, а для С~~~~ над вещественной осью. Отсюда следует выражение 194 'РУНКЦИИ ГРИНА ПРИ КОНЕ 1НЫХ 'ГЕМПЕРАТУРАХ 1"Л.
!Ч Если при этом идет речь о температурах выше Л-точки, то в этих определениях фигурируют полные г)1-операторы; при температурах же ниже Л-точки определение относится к надконденсатным операторам. Вместо (36.6) имеем теперь С~(ьг, р) = (21Г) ~~ П1„" (Р ") (1 — е "7~). (36.20) гг — 1ч + 10 Связь же этой функции с С дается формулой С~(ьг, р) = В.еС(ц1, р) + г ФЬ вЂ” 1шС(пг, р), (36.21) причем на вещественной оси 1шС(ц1, р) ( 0 (36.22) (функция С определяется, согласно (31.1), с усреднением по распределению Гиббса вместо усреднения по основному состоянию).
Для идеального бозе-газа функция Сн дается той же формулой (36.17), а функция С; С (Ог, р)=Р (О) 1 — югс1Ь вЂ” . б ~ц! — — +гг !1 5 ,„— рг/2т+Л 2Т ( 2т (36.23) Физический смысл функций Грина при отличных от нуля температурах в основном совпадает с их смыслом при Т = О. Разумеется, остаются справедливыми формулы, связывающие гриновскую функцию С с импульсным распределением частиц (7.23) и вообще с матрицей плотности (7.18), (31.4). Остаются в силе также и основные утверждения о совпадении полюсов функции Грина с энергией элементарных возбуждений (поскольку, однако, сама функция С не аналитична, то при этом удобнее говорить о полюсах аналитической функции Сл, которые она имеет в нижней полуплоскости пг! или о полюсах функции С в верхней полуплоскости).
Это утверждение снова (как и в 3 8) шгедует из разложения (36.6). Хотя в различных членах этого разложения фигурируют теперь частоты переходов ыт„ между любыми двумя состояниями системы, но (после перехода к макроскопическому пределу) по-прежнему остаются полюсы, отвечающие лишь переходам из основного состояния в состояния с одним элементарным возбуждением. Переходы же между двумя возбужденными состояниями не приводят к возникновению полюса в макроскопической одночастичной функции Грина по той же причине, по которой не приводят к возникновению полюса и переходы из основного в состояния с более чем одной квазичастицей (см. 2 8): разность энергий таких состояний не определяется однозначным образом разностью их импульсов.
195 темпеРАтуРные Функции ГРинА Подчеркнем также, что при отличных от нуля температурах продолжительность жизни квазичастиц связана не только с их собственной неустойчивостью, но и с их столкновениями друг с другом. Затухание от обоих этих источников должно быть слабым для того, чтобы понятие о квазичастицах продолжало иметь смысл. й 37. Температурные функции Грина Для построения диаграммной техники вычисления гриновской функции при конечных температурах надо было бы перейти от гейзенберговского представления ф-операторов к представлению взаимодействия, как это было сделано в ~ 12. При этом мы снова пришли бы к выражению, отличающемуся от (12.12) лишь тем, что усреднение производится не по основному состоянию.
Это отличие, однако, очень существенно: усреднение оператора о 1 уже не может быть отделено от усреднения остальных множителей, как это было сделано при переходе от (12.12) к (12.14); дело в том, что неосновное состояние под влиянием оператора о переводится не само в себя, а в некото- "-1 рую суперпозицию возбужденных состояний с той же энергией (включающую в себя результаты всевозможных процессов взаимного рассеяния квазичастиц).
Это обстоятельство приводит к существенному усложнению диаграммной техники возникают новые члены от свертываний, в которых участвуют также и 4-операторы из л 1. Можно, однако, изменить определение гриновской функции таким образом, чтобы подобных усложнений не возникало.
Основанный на этом определении математический аппарат, разработанный Мацуборой (Т. Ма1вибага, 1955), в особенности целесообразен для вычисления термодинамических величин макроскопической системы. Введем так называемые Агацубаровские у)-операторьц согласно определению '), Йа (т, г) = е гда(г)е (37.1) Ф„(т, г) = е ф (г)е где т -- вспомогательная вещественная переменная; эти операторы отличаются, с формальной точки зрения, от гейзснберговских ') В этом параграфе мы будем писать формулы одновременно для ферми- систем и бозе-систем (выше Л-точки).
При разнице в знаках ферми-системам будут отвечать верхние, а бозе-системам нижние знаки. Кроме того, дли бозе-систем следует опустить спиновые индексы. 196 Функции ГРинА НРи конечных темнеРАтуРАх !ч!. !ч операторов заменой в последних вещественной переменной б мнимой величиной — »т'). Такой же заменой (Ф -+ Ф~, Ф+ — » Ф гд/д2 — + — д(дт), например в (7.8), получаются уравнения, которым удовлетворяют операторы (37.1). С помощью этих операторов новая функция Грина Д определяется аналогично тому, как обычная гриновская функция С определяется через гсйзенберговские г)!-операторы: Яоу(тг, гг; Г2, г2) = — (Ттй~~(тг, гг)Р~~(т2, г2)), (37.2) где символ Т означает «т-хронологизацию» расположение операторов в порядке увеличения т справа налево (с изменением знака при перестановке операторов в случае ферми-систем); скобки же (...) означают усреднение по распределению Гиббса.
Последнее можно представить в явном виде, записав определение (37.2) как П Й' Д„,у= — Яр1а!Тт!Р~(тг, г!)!Р~Р(т2, г2)~, а!=схр, (37.3) где Яр означает сумму всех диагональных матричных элементов. Определенную таким образом гриновскую функцию называют температурной в отличие от «обычной» функции С (которую называют в этой связи временной). Как и С р, функция й р для неферромагнитной системы в отсутствие внешнего магнитного поля сводится к скаляру: Йод = Убор. Для пространственно-однородной системы ее зависимость от г! и г2 снова сводится к зависимости от разности г=г! Г2. Легко также видеть, что уже по самому определению (37.3) функция Д зависит только от разности т = т! — Т2.
Пусть, например, т! < Тт, тогда имеем ) еи7Т Яр тге — Н 7Тет»Н' «)! (Г2)е( — тт+т!)Н' г)! (г!)е — гтН' ) (2) или, произведя под знаком Яр циклическую перестановку множителей: Д = ~ — е~!~ Бр1е !~!~Р')~4 (г2)е«Н ф (г!)) т < 0 (37.4) (2) откуда и очевидно сделанное утверждение. ') Подчеркнем, что в виду этого отличия оператор Ф отнюдь не совпам дает с Ф~~. ) Заключенный в скобки множитель 2 относится к ферми-системам, а для бозе-систем должен быть заменен единицей. 197 9 37 ТЕМПЕРАТУРНЫЕ ФУНКЦИИ ГРИНА Переменная т будет фактически пробегать значения лишь в конечном интервале а для бозе-систем ') Введение этого приема принадлежит А.
А. Абрикосову, Л. П. Горьнову, И. Е. Дзллешинснолсу (1959) и Е. С. Фрадхину (1959). — 1|Т < т < 1(Т. (37.5) При этом значения функции Я(т) при т < О и т > О связаны друг с другом простым соотношением. При т = т1 — т2 > О, аналогично выводу (37.4), находим Д = — — е~у1 Бр1е (~7~ )и гр (г1)е '~ грг(г2)1 = (2) еогт 8р.(е — ТП'РТ(г2)е — (1Дà — г)н'э7~ (г1)~ т > О, а сравнив это выражение с (37.4), получим Я(т) = ~Д(т+ — ), т < О (37.6) (ввиду (37.5) аргумент функции справа при т < О положителен). Разложив теперь функцию Я(т, г) в интеграл Фурье по координатам и в ряд Фурье по т (на интервале (37.5)) '): се Аз Я(т, г) = Т ~ ~/ еЦР" э")Я(~„р) ', (37.7) причем для ферми-систем ~, = (2е+1)ГГТ, (37.8а) ~, = 2еэтТ (37.86) (е = О, ж1, х2, ...); при этом автоматически выполняется условие (37.6). Обратное к (37.7) преобразование имеет вид 1ГГ 6(~, р) = ~~с ЦР' Г )й(т, г) Г1йхйт (37.9) 0 (интеграл по области — 1/Т < т < 1/Т преобразован в интеграл от О до 1/Т с учетом (37.6) и (37.8)).
Вычисления, аналогичные произведенным в 936, позволяют выразить Д(~„р) через матричные элементы шредингеровских гр-операторов. Они приводят к результату 0(~ ) = — ") ~ '-'('-"-)(1 ~ —.-') (37.16) (2) 198 'РУНКЦИИ ГРИНА ПРИ КОНЕ 1НЫХ 'ГЕМПЕРАТУРАХ 1"Л. !Ч Отсюда видно пре1цде всего, что (37.11) Далее, сравнив (37.10) с разложениями (36.6) и (36.20) для Сл, Д(~„р) = С~(1~„р), ~, > О. (37.12) Условие 1,А > 0 связано с тем, что выражения (36.6) и (36.20) справедливы непосредственно лишь в верхней полуплоскости ы, как это объяснено на с. 191.
Таким образом, в компонентах Фурье температурная функция Грина совпадает с запаздывающей функцией Грина, взятой в дискретных точках мнимой оси П1. Этот результат позволяет, в частности, сразу написать выражение для температурной функции Грина идеального газа: заменой ы -+ 11„находим из (36.17) 91 ~(~„р) = г~, — ~ + 1А (37.13) Лр ~(гц гз) = ~Я д(т1., гй т1 + О, гз) (37.14) (очевидного из определения (37.2); ср.
(7.17)). Положив гт = г1 (и просуммировав по 1Е = д), получим для плотности системы ГО ,1з ~ =~т Е / 6К„Р)е 'Г" ~У, (3715) 1 Х) Т-1 — 0 Это выражение определяет 1"11 как функцию д, Т, Ъ', после чего й(д, Т, 'у') вычисляется интегрированием равенства Л= — д й/дд. В следующем параграфе будет изложена диаграммная техника для вычисления функции Д(~„р). Для определения же функции С (ь1, р) (и тем самым, в частности, для определения энергетического спектра системы) надо построить аналитическую функцию, совпадающую с Д(~„р) в точках ы = 11„А и не имеющую особенностей в верхней полуплоскости 1ц. Эта процедура однозначна, если добавить требование Ся(п1, р) — ~ 0 при ~ц1~ -+ сс (см.
(36.11)). Тем не менее в конкретных случаях такое аналитическое продолжение может быть сопряжено с определенными трудностями. Но для вычисления термодинамических величин его производить не надо. Так, для вычисления потенциала й можно исходить из выражения усредненной по распределению Гиббса матрицы плотности гз 38 дихггхммнля тяхникх для ткмпьтхтхтных ехнкция ггиях 199 3 38. Диаграммная техника для температурных функций Грина Диаграммная техника для вычисления температурной функции Грина и строится подобно тому, как зто делалось в 2 12, 13 для временной функции С. Тот факт, что определение мацубаровских «З-операторов (37.1) отличается от определения гейзенбсрговских операторов лишь формальной заменой «1 — » т, позволяет во многом воспользоваться прямой аналогией.
Прежде всего вводим мапубаровские операторы в «представлении взаимодействия», отличающиеся от (37.1) заменой точного гамильтониана Й' на гамильтониан свободных частиц Йо. Ф~~~,„(т, г) = ехр(тНо)~„(г) ехр( — тНо). (38.1) Связь между операторами %ем и Ф~ осуществляется мацубаров- ской Я-матрицей, построенной аналогично (12.8): (38.2) где Ъго(т) = ехр(тНоЯехр( — тНо) (38.3) — оператор взаимодействия в том же представлении. Но в то время как в 2 12 связь между Ф и Фе устанавливалась при начальном условии «включения» взаимодействия при 1 = — со, теперь роль «начального» условия должно играть совпадение Фм и Фом при т = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
