IX.-Статистическая-физика-часть-2 (1109682), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Матричные элементы этого процесса имеются в членах третьего порядка в гамильтонианс, дающихся выражением (24.12). Для перехода из начального (2) состояния с одним фононом р в конечное (7) состояние с фононами с11 и с12 матричный элемент оператора возмущения равен 1гуе = — 25(р — с)1 — с12) ' ( — рд1ц2( ~ 1+ — — — у (34.7) 3!(2кй) /и 1 ( р Н и ) 2(2Р')ЗД ( р 2) ) Зиг Нр р ) (индекс О у невозмущенной плотности ре опускаем). Обратим внимание на наличие множителя (руга); его малость (речь 1,/2.
') Дисперсионное уравнение звуковых колебаний определяет квадрат частоты 22~ как функцию волнового вектора. Соответственно этому, регулярно разлагается по степеням импульса р квадрат энергии фонона е (р); разложение начинается с члена р и ввиду изотропии жидкости происходит по 2 степеням р . Разложение же самой функции е(Р) содержит, щ2едовательно, нечетные степени Р.
) Какие именно из перечисленных случаев могут фактически осуществляться — зависит от конкретного хода кривой спектра квазичастиц е(Р). ЭмпиричеСкие данные для жидкого гЕлия (АНе) свидетельствуют о наличии (при давлениях ( 15 атм) небольп2ого начального участка фононного спектра, в котором имеется неустойчивость типа случая г). Окончание же спектра в жидком гелии имеет место, по-вндимому, в точке типа случая а). 174 гг!. п! саягхч'вку !неть идет о распаде длинноволнового фонона) и обеспечивает применимость теории возмущений').
Дифференциальная вероятность распада (в 1 с) дается формулой й 2гг!гг !25(Б с ) Ъ' й чгй чг й ~' ~ ' (Ъа)е (см. 1П, (43.1)). При подстановке сюда (34.7) возникает квадрат д-функции; его надо понимать как') (о(р — с) — с) )) = 5(р — с( — с) ). (34.8) (2 й!)з Остающаяся о-функция устраняется интегрированием по й г72, 3 положив также Я, = ир, Еу = и(г)! + г)2) получим цг = — с 1+ — — — ! — ар!1!(р — г7г) 6(р — г7! — ~р — с)ц) йэо! 2 1 Зиз йр р ) 4ор,/ (2лй)з (при независимом интегрировании по й г7! и й г12 ответ должен быть поделен на 2 для учета тождественности двух фононов). Наконец, выразив аргумент б-функции в виде (34.5) и произведя интегрирование по дзг)г = 2эгг7гздг)!йсовд (по области г7! < р), найдем полную вероятность распада (34.9) 320хргг! 1 Зиз йр р 1 Коэффициент затухания фонона 7 = — 1пзе = бог!!2.
В частности, для почти идеального газа, согласно (25.11), величина и (р 4эггг~а,г'т не зависит от плотности. В этом случае 7= Зр (34.10) 640кйзр (С. Т. Беляев, 1958). ) Нри вычислении матричного элемента (34.7) следует учесть, что каждый иэ фононных операторов сг и с~ может браться из любого из трех множителей р~ или т; отсюда множитель 3!. Дельта-функция в (34.7) возникает от интегрирования множителя ехр(г(р — си — Чэ)г,гб).
Наконец, учтено, что направления р, си и цз почти совпадают. ) Действительно, б-функция 4(к) возникает от интеграла 1 е!"' йэ(гД2я)э. Если же вычислить другой такой же интеграл при 1г = 0 (в силу наличия уже одной б-функции), причем распространить интегрирование по конечному объему г', то получится 1Я2х)~; и это выражено формулой (34.8). 175 РАспАд квлзнчлстиц Для процесса испускания фонона квазичастицей вблизи порога типа в) вид оператора возмущения устанавливается путем рассмотрения изменения энергии квазичастицы в звуковой волне.
Это изменение складывается из двух частей: бе(р) = — р'+ ур. др Первый член связан с изменением плотности жидкости, от которой энергия квазичастицы зависит как от параметра. Второй член (в котором зг — скорость жидкости в звуковой волне) есть изменение энергии квазичастицы благодаря макроскопическому движению жидкости; поскольку длина волны испускаемого (вблизи гюрога) фонона велика гю сравнению с длиной волны квазичастицы, можно считать, что последняя находится в однородном потоке жидкости, и тогда изменение ее энергии определяется, как было объяснено в начале ~ 23. Оператор возмущения получается из бе заменой тг = Чу и р вторично-квантованными операторами (24.10), а р оператором импульса квази- частицы р = — г6'и': 'к' = — р'+ — (хгр+ рй) (34.11) др 2 (во втором члене произведена симметризация произведения для приведения его к эрмитову виду).
Вычисление вероятности испускания фонона производится далее аналогично тому, как это было сделано выше для распада фонона (см. задачу). Задачи з. Определить вероятность испускания фонона квазичастицей с импульсом р, близким к пороговому значению р„при котором скорость квазичастицы достигает скорости звука. Решение. Матричный элемент оператора (34Л 2) берется для рождения одного фонона (с импульсом Ч) с одновременным переходом квазичастицы между состояниями (плоскими волнами) с импульсами р и р'. Вблизи порога импульс фонона о « р„а направление Ч почти совпадает с направ- лением р ).
С учетом этого находим 1/г з А /ди1 Ъу, = — г(2кй) 6(р — цг — Ч~) ,,зГг12„.,) ) Для определенности рассматриваем случай, когда фонон испускается именно в таком (а не в обратном) направлении. Для этого функция е(р) вблизи порога должна иметь вид з(р) — г(р,) + (р — р,)и+ а(р — р,) (с положительным знаком в линейном члене). Из закона сохранения энергии легко убедиться, что непускание фонона возможно при этом, если о > О, и происходит при р > р,; импульс испускаемого фонона пробегает значения в интервале О < д < 2(р — р ). 176 Гх!. и! сввгхт'Яку !неть где р де А = р, -ь и д Отсюда дифференциальная вероятность испускания фонона !бс = А б(е(р) — е((р — Ч() — иу) кдн э Аз бр (2!гб)з (Б-функция импульсов уже устранена интегрированием по !1~р').
Написав аргумент б-функции в приближенном виде — иу(1 — сов э) и произведя интегрирование по !1 д, получим 2А (р — р,)э Зкрб4 2. Найти условие, при котором нейтрон с начальной скоростью Ъ' может при рассеянии родить в жидкости возбуждение с импульсом р и энергией е(р). Решение. Закон сохранения энергии и импульса в рассматриваемом процессе можно записать в виде уравнения (гп — масса нейтрона, Р— его начальный импульс): = (р), (Р— р)' 2пт 2т или !'г сое в = е(р) + — , р' 2т где 0 — угол между Р и р. Таким образом, искомое условие имеет вид е(р) р 2т 9 35. Свойства спектра вблизи точки его окончания В этом параграфе мы рассмотрим свойства спектра бозе- жидкости вблизи порогов распада элементарных возбуждений на две квазичастицы, нз которых ни одна не является фононом (случаи а) и б) из 934)').
В противоположность распадам с рождением фонона, к этим случаям теория возмущения неприменима, и их исследование требует выяснения характера особенностей, которые имеют в пороговых точках гриновские функции жидкости. С другой стороны, тот факт, что нас будут интересовать только эти особенности, позволяет существенно схематизировать и тем самым упростить вычишгения.
В частности, можно не делать различия между функциями С и Г (поскольку их аналитические свойства одинаковы) и поступать так, как если бы существовал только один тип гриновских функций; учет различия между С и Г привел бы лишь к появлению в уравнениях ) Содержание этого параграфа принадлежит Л.
П. Питаеескому (1959). 2 35 СВОЙСТВА СПВКТРА ВБЛИЗИ ТОЛКИ ВГО ОКОНЧАНИЯ 177 нескольких аналогичных (по своим аналитическим свойствам) членов, что нс отразилось бы на результатах. Тот факт, что интересующая нас особенность гриновской функции связана с распадом квазичастицы на две другие, в терминах диаграммной техники означает, что она происходит от диаграмм вида (35.1) Р— 144 которые могут быть рассечены по двум сплошным линиям, т. е. которые содержат в себе двухчастичныс промежуточные состояния. В этих диаграммах по промежуточному 4-импульсу Я = (до, с))производится интегрирование, причем определяющую (в смысле возникновения особенности) роль играет область значений 141 и Р— Я, с которыми распадные квазичастицы (продукты распада) рождаются вблизи порога. Основным для излагаемой ниже теории является утверждение, что эта область значений 4-импульса не является особой для функции Грина С(Я)1 в ней она имеет обычный полюсной вид СЯ) — = С(1)о с1) сс ~до — е(д)+10) ~, (352) где функция е(47) энергия распадных квазичастиц — не имеет особенностей.
Физическая выделенность этой области состоит лишь в том, что в ней квазичастица могла бы «слипнутьсяв с другой квазичастицей; но этот процесс невозможен при нуле температуры ввиду отсутствия реальных возбуждений. Особой областью для функции Грина являются лишь значения Р (внешние линии диаграмм (35.1)) вблизи порога распада исходной квазичастицы.
Двум соединительным линиям на диаграмме (35.1) отвечают множители СЯ)С(Р— сь4), а по Я производится интегрирование. При этом, ввиду существенности лишь малой области значений Я, остальные множители в диаграмме можно считать при интегрировании постоянными, равными их значению при по- РОГОВОМ ЗНаЧЕНИИ Я = 444, '). ТаКИМ ОбраЗОМ, В дИаГраММЕ 1 ) Это утверждение следует уточнить. Дело в том, что множители СЯ)С(Р— Я) не зависят от угла З4, определяющего положение плоскости (р, и). Поэтому интегрирование по ду сводится к усреднению остальной части подынтегрального выражения по ~о, после чего 144Я можно понимать как 2яд~11де Ыд 11соз е. Именно в таком интегрировании по 114Я существенна малая область, Это замечание относится и к другим аналогичным моментам вычислений ниже.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
