IX.-Статистическая-физика-часть-2 (1109682), страница 27
Текст из файла (страница 27)
1?о ввиду однозначности волновой функции изменение ее фазы при возвращении в исходную точку может быть лишь целым кратным от 2п. Отсюда следует, что ЗГ = П?1!ПГ, (29.6) где п -- целое число. Мы увидим ниже, что термодинамически устойчивы фактически лишь вихревые нити с наименыпим возможным значением циркуляции (и = 1). Поэтому далее мы будем полагать ЗГ = 11/т.
(29.7) Определим теперь критическую скорость вращения цилиндрического сосуда, при которой впервые появляется вихревая нить. Из соображений симметрии очевидно, что эта нить будет расположена вдоль оси сосуда. Изменение энергии жидкости за счет появления в ней вихревой нити есть ?Р е ?? в 1 ~н2 2хг<?~ ,/ 2 2 / (Ь .
- длина сосуда). Интегрирование по г?г должно производиться в пределах между радиусом сосуда гг и некоторым значением г а порядка величины атомных расстояний, на которых 1 ) Это выражение можно написать прямо по аналогии с известной формулой Био — Савара для магнитного поля линейных токов. Формальное совпадение обеих задач очевидно из сравнения циркуляции скорости (29.2) с цир- 411 куляцией магнитного поля Н вокруг линейного тока з; у Н сй = — У. Одна с задача получается из другой заменой обозначений: Н з Е„У/с -> Н72.
148 сверхтекучесть гх!. и! макроскопическое рассмотрение теряет смысл; ввиду логариф- мической расходимости интеграла его величина мало чувстви- тельна к точному выбору значения а. Таким образом, йз ЬЕ = Лхр,— 1п— газ а (29.8) (зто выражение имеет, как говорят, логарифмическую точность, т. е. предполагается большим не только отношение Л/а, но и его логарифм) ').
Момент же импульса вращающейся жидкости: М =~рэпэг !ЛЯ = р.зс/сй' = Ь2РЛ~ — рю (29 9) Возникновение вихревой нити термодинамически выгодно, если ЬЕ,р — — ЬŠ— МП ( О, т. е. если П>й.р — " 1и —. тйз а (29.10) ') Движение вокруг вихревой нити сопровождается, вообще говоря, некоторым изменснисм плотности жидкости.
Прснебрсжснис в изложенном вычислении этим изменснисм оправдано том, что основной вклад в энергию (29.8) возникает (в силу логарифмической расходнмости интеграла) от больших расстояний г, на которых изменение плотности уже мало. По этой жс причине можно пренебречь вкладом в ЛЕ от изменения внутренней энергии жидкости. 2) В этом легко убедиться, заметив,что так как число нитей растет пропорционально Й (см. ниже (29.11)),то второй член в ЬЕвр — — ЬŠ— МЙ растет, как Й2, а первый как Й, и поэтому при Й » Йкр им можно пренсбречь. Тогда минимизация ЬЕвр сводится к максимизации М, достигаемой именно при вращении жидкости как целого.
Изложенные рассуждения позволяют также понять причину, по которой оказываются термодинамически неустойчивыми вихревые нити с п > 1 в (29.6). Действительно, при замене значения и = 1 значением п > 1 энергия ЬЕ увеличивается в и раз, а момент М в п раз; при этом ЬЕ,р заведомо увеличится.
При дальнейшем увеличении скорости вращения цилиндрического сосуда (за критическим значением (29.10)) возникают новые вихревые нити, и при П » Пкр число этих нитей будет уже очень большим. Их распределение по сечению сосуда стремится при этом к равномерному, и в пределе их совокупность имитирует вращение всей сверхтекучей части жидкости как целого'). Число вихревых нитей при заданном (болыпом) значении й легко определить, потребовав, чтобы циркуляция скорости по контуру, охватывающему болыпое число нитей, имела бы значение, отвечающее вращению жидкости как целого.
КВАНТОВАННЫЕ ВИХРЕВЫЕ НИТИ 149 Если такой контур охватывает единичную площадь (в плоско- сти, перпендикулярной оси вращения), то ч, с~1 = и 2ИРР = 2ни —, 6 т где г плотность распределения вихревых нитей по сечению сосуда. С другой стороны, при вращении жидкости как целого го1 ч, = 2Й, и та жс циркуляция равна 2Й. Приравняв оба значения,найдем и = тй/н6. (29.11) Появление вихревых нитей в известном смысле нарушает свойство сверхтекучести жидкости. Элементарные возбуждения, составляющие нормальную компоненту жидкости, будут теперь рассеиваться на нитях, передавая им (а тем самым сверхтекучей компоненте жидкости) часть своего импульса.
Это означает, другими словами, появление силы взаимного гпренил между обеими компонентами жидкости. Вихревые нити, вообще говоря, перемещаются в пространстве вместе с текущей жидкостью. При Т = О, когда жидкость целиком сверхтекуча, каждый элемент Л нити движется с той скоростью ч„которую жидкость имеет в точке нахождения этого элемента. При отличных же от нуля температурах испытываемая вихревой нитью сила трения приводит к появлению некоторой скорости ее перемещения относительно сверхтекучей компоненты. Вихревые нити, возникающие при вращении, имеют прямолинейную форму. Течение же жидкости по капиллярам, щелям и т.
п. может сопровождаться образованием замкнутых вихревых нитей - вихревых колец. Оно приводит к нарушеиию сверхтекучести при течении со скоростями, превышающими определенную критическую величину. Фактические значения этих критических скоростей зависят от конкретных условий течения; они гораздо меньше того значения, за которым нарушается условие (23.3).
В противоположность прямолинейным вихревым нитям, которые могут стоять на месте в покоящейся (вдали от них) жидкости, вихревые кольца движутся относительно жидкости. Скорость перемещения каждого элемента длины нити есть то значение ч„которое создается (согласно формуле (29.4)) в точке его нахождения всеми остальными участками нити; для искривленных нитей это значение, вообще говоря, отлично от нуля. В результате вихревые кольца имеют как целое не только определенные эиергии, но и определенные импульсы и, в этом смысле, представляют собой особый тип элементарных возбуждений. 150 свегхтеку 1есть Гл. н! Задачи и ! 1(д 8Ле / зш (д112) е Этот интегрш1, однако, логарифмически расходится на нижнем пределе и должен быть обрезан на значении д а/Ле., отвечающем атомным расстояниям ( а) элемента 19 до точки Р.
С логарифмической точностью интеграл определяется областью значений а/Ле « д « л и равен -1 2 1!д Ле — = 2 !а —, д а 1ле гак что с= !и — = 1п —. я Ле й Ло (1) 2Ле а 2тЛе а С той же логарифмической точностью энергия вихревого кольца а~ Ло е = 2112Лор„— 1п— 1пт а (формула (29.8) с заменой Л вЂ” 1 Ло, А — > 2хЛе). Энергия е связана со скоростью е соотношением 1!Е,11!р = е, где р — импульс кольца. Отсюда с!г 2 й Ыр = — = 4х р,— Ло 1Ио В т (с логарифмической точностью, при дифференцировании следует считать большой логарифм постоянным), и затем р=2х р,— Ло 11 2 (3) т Формулы (2), (3) определяют в параметрическом виде (параметр Ле) зависимость е(р) для вихревых колец.
(2) 1. Найти скорость движения и импульс кругового вихревого кольца. Р е ш е н и е. Каждый элемент кольца движется со скоростью ч, в данной точке, а ввиду симметрии кругового кольца эта скорость во всех его точках одинакова. Поэтому достаточно определить скорость у„ создаваемую в какой-либо одной Р точке кольца Р всеми остальными его частями. Элементы 1й кольца и радиус-векторы Н от 41 к точке Р лежат в плоскости кольца;поэтому определяемая формулой (29.4) скорость в точке Р пер- Л д пендикулярна плоскости кольца (в результате чего кольцо перемещается без изменения своей формы и размера). Определим положение элемента 1!1 углом д (рис.
3). Тогда с(1 д, д сИ = Ло 11д, Л = 2Ло зш —, )(г!1. Щ( = Леш — г!! 2 2 Рис. 3. (где Ле — радиус кольца), и из (29.4) находим для скорости кольца е выражение 151 икодногодный воза-ГАЗ Отметим, что ввиду логарифмического характера интегрирования, приводящего к формуле (1), эта формула (с некоторым изменением обозначений в ней) остается справедливой и для скорости ч перемещения каждого данного элемента искривленной вихревой нити любой формы: ч = Ь1п —. я (4) 2Ла а Здесь Ь вЂ” единичный вектор, перпендикулярный касательной плоскости в данной точке нити (вектор бинормали); Ло — радиус кривизны нити в этой же точке; Л вЂ” характерное расстояние,на котором меняется кривизна нити.
2. Найти закон дисперсии малых колебаний прямолинейной вихревой нити ( И'. Тловмоп, 1880), Решение. Выбираем линию нити в качестве осн г, и пусть вектор г = (х, у) дает отклонение точек нити при ее колебаниях; он является функцией х и времени 1 вида ехр [1(яз — ы«)].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
