IX.-Статистическая-физика-часть-2 (1109682), страница 22
Текст из файла (страница 22)
У1). 122 снегхтекучесть гх!. 1п Епр(Р) = р' 2глпр (23.9) с эффективной массой т„* = 2,8 масс атома 'Не. Примесные квазичастицы взаимодействуют с фононами и ротонами, сталкиваясь с ними, и, таким образом, входят в состав нормальной части жидкости. Ввиду малой концентрации этих квазичастиц их тепловое распределение больцмановское! и их ) Жидкий гелий прн температурах ниже этой точки называют гелием П. Л-точки образуют линию на фазовой диаграмме в плоскости Р Т, Эта линия пересекает линию равновесия жидкости с паром при температуре 2,19 К.
а при ббльших температурах ротонный вклад становится преобладающим. По мере повышения температуры все ббльшая часть массы жидкости становится нормальной. В точке, в которой достигается равенство р„ = р, полностью исчезает свойство сверхтекучести. Это -- так называемая Л-точка жидкости, представляющая собой точку фазового перехода второго рода'). Что касается количественных формул (23.7), (23.8), то они, конечно, неприменимы вблизи Л-точки, где концентрация квазичастиц становится большой, так как даже самое понятие о них в значительной степени теряет смысл. Остановимся еще на вопросе о поведении атомов растворенных в жидком гелии посторонних веществ; концентрация примеси предполагается настолько малой, что ее атомы можно считать невзаимодействующими друг с другом (Л.Д.
Ландау, И. Я. Ломеранчук, 1948). Наличие постороннего атома в жидкости приводит к появлению новой ветви энергетического спектра, соответствующей движению этого атома через жидкость; разумеется, ввиду сильного взаимодействия атома примеси с атомами жидкости, это движение является в действительности коллективным эффектом, в котором принимают участие также и атомы жидкости. Этому движению можно приписать некоторый результирующий сохраняющийся импульс р. Таким образом, в жидкости появляются квазичастицы нового типа (в числе, равном числу атомов примеси), энергия которых спр(р) является определенной функцией импульса.
В тепловом равновесии энергии этих квазичастиц будут сосредоточены вблизи наименьшего из минимумов функции епр(р). Фактически речь идет о примеси изотопа 'Не, и эмпирические данные показывают, что такой минимум лежит при р = 0; вблизи него энергия квазичастицы имеет вид 123 свегхтекучвсть вклад в р„(определенный согласно (23.6)) дается формулой (р„)„= — — = — тв, ззпр р ззпр Ъ' 8Т Р (23.10) где Х„р/~' -- число атомов примеси в единице объема. Задачи Й(р) / ы Йл о (быстрая сходимость интеграла позволяет заменить верхний предел беско- нечностью).
Вычисление интеграла (см. примечание в У,558) приводит к результату Тг1з з/з у у Тг/з з/з -=-- .' "И И=п- ". ' ас ао Этот результат относится к жидкому 4Не при температурах настолько низких, что всю массу жидкости можно считать свсрхтекучсй ). з 2. Найти закон дисперсии з„р(р) для примесных частиц в движущейся сверхтекучей жидкости, если этот закон еп„(р) известен в неподвижной <о> жидкости (з. ВагАееп, С. Воут, В.
Р1пез, 1967). Р е ш е н и е. После добавления к неподвижной жидкости (при Т = О) атома примеси (с массой т) с импульсом ро ее энергия и импульс (в системе координат, в которой жидкость первоначально покоилась) есть Ео = е (ро), ю) ) В ферми-жидкости (жидкий 'Не) капиллярные волны рассмотренного типа (как и обьемные волны обычного звука) не существуют ввиду неограниченного возрастания вязкости при Т э О. 1. Найти предельный закон температурной зависимости коэффициента поверхностного натяжения а жидкого гелия вблизи абсолютного нуля (К. В. А1йзпз, 1953). Решение. Коэффициент а есть свободная энергия единицы площади поверхности жидкости (см. У, (154.6)). Эта величина вычисляется по формуле У, (64.1), в которой частоты ы относятся теперь к поверхностным колебаниям. В двумерном случае переход от суммирования к интегрированию (по волновым векторам колебаний) осуществляется введением множителя 6~5/(2х) или 2хй дй((2я) .Пошзе интегрирования по частям найдем з.~т 5 65 5 1" 5'4ы а = аз+ Т 1п(1 — е "~ ) = ао — — / 2я 4я/ ег 1т — 1 (а — поверхностное натяжение при Т = О).
При достаточно низких температурах существенны лишь колебания с малыми частотами, т. е, с большими длинами волн. Такие колебания представляют собой гидродинамические капиллярныс волны, для которых оз = ай /р аой /р (р — плотность з з жидкости). Поэтому 124 гл. и! свкгхч'кку !ксть Р = ра В системе же координат, в которой жидкость движется со скоростью ч, имеем, согласно (23.Ц, Е = гщ2(ро) + Рак+ — (М+ т)о', Р = Ро -Г (М+ гп)ч 2 Отсюда видно, что изменения энергии и импульса движущейся жидкости при добавлении к ней атома примеси равны !а> тпе 2 епр = епр(Ро) + Рот +, Р = Ро + гпч.
2 Выразив пр через р, находим аа ПИ1 г Епр(Р) = Е„р(Р— 1ПЧ) + РЧ— 2 При малых значениях о, с точностью до членов первого порядка, для спек- тра е~,~~(р) вида (23.9) имеем = р' гг т епр(р) = . +Ур ~1— 2т,*,р 1 т,",р) 3 24.
Фононы в жидкости При переходе от классической картины звуковых волн к квантовому представлению о фононах гидродинамические величины (плотность, скорость жидкости и т. п.) заменяются операторами, выражающимися через операторы сь, с, уничтожения и рождения фононов. Выведем формулы, дающие эти выражения. Напомним, что в классическом описании звуковой волны плотность жидкости испытывает малые колебания с частотами и волновыми векторами, связанными друг с другом соотношением оо = ик.
Величиной того же порядка малости, что и переменная часть плотности р' = р — ра (ра - равновесное значение плотности), является скорость жидкости ч. Движение жидкости в волне потенциально, т. е. может быть описано скалярным потенциалом скорости !р, определяющим скорость согласно ч = ~7аа. (24.1) Скорость и плотность связаны друг с другом уравнением непрерывности др'(д1, = — г)гч (рч) — — ра г12ч ч, или др' = — раЬ!р. (24.2) д! Энергия жидкости в звуковой волне дается интегралом Р=)(~" ~ — "' ) г'*.
(и.г! Первый член в подынтегральном выражении есть плотность кинетической, а второй внутренней энергии жидкости; оба квадратичны по малым величинам ч и р'. 125 аононы в жидкости Дальнейшую процедуру квантования можно было бы провести полностью аналогично тому, как это было сделано для фононов в твердых кристаллах (см. У, 2 72). Мы, однако, изберем здесь несколько иной путь, демонстрирующий некоторые поучительные методические моменты. Рассмотрим сначала операторы плотности и скорости жидкости, выраженные через микроскопические переменные — координаты частиц.
В классической теории плотность р и плотность потока массы жидкости 1 могут быть представлены суммами р(г) = ~ т 6(г, — г), 1(г) = у р,б(г, — г), взятыми по всем частицам (г, и р, --. радиус-векторы и импульсы частиц); интегралы от этих функций по какому-либо объему дают полную массу и полный импульс жидкости в этом объеме. При переходе к квантовой теории эти функции заменяются соответствующими операторами. Оператор плотности имеет тот же р(г) = ~т,б(г — г), (24.4) а а оператор плотности потока т(г) = — ~~р 6(г, — г) + 6(г, — г)р,1, (24.5) а где р, = — гй'(7, . оператор импульса частицы').
Найдем правило коммутации между операторами >(г) и р(г'), взятыми в точках г и г', при этом можно, для краткости, рассматривать всего по одному члену в суммах (24.4), (24.5), поскольку операторы, соответствующие разным частицам, коммутативны. При раскрытии коммутатора операторы вида 6(г1— г) ~716(г1 — г') преобразуются следующим образом: 6(г~ — г) н16(г1 — г ) = 6(г1 — г) (пб(г — г ))+6(г1 — г)6(г1 — г ) пп где в первом члене (пб(г — г')) означает просто градиент бфункции; ввиду наличия множителя 6(г1 — г) в этом члене можно писать в нем (нб(г — г')) вместо (T16(г — г')).
В результате ') Пусть для простоты, система состоит всего из одной частицы. Усреднение оператора р(г) = тб(г1 — г) по состоянию с волновой функцией ф(г1) дает ) р*(г1) рф(г1) о~х1 = т(ф(г)~~, как н должно быть. Аналогичным образом, усреднение оператора 1(г) дает правильное выражение плотности потока (й/2г)(й'(г) Щ(г) — ф(г) у р" (г)).
126 Гл. и! снегхтекучесть получим ,)(г)р(г') — р(г'))(г) = — Ир(!7д(г — г')). (24.6) Введем теперь вместо ) оператор скорости жидкости у, согласно определению, .) = — (РУ+ УР). 2 Правило коммутации операторов р и у определяется требованием, чтобы для коммутатора р и 4 получалось выражение (24.6). Легко проверить,что для этого надо положить у(г)р(г') — р(г)ч(г) = — гб(117б(г — г')). (при этом надо учесть очевидную коммутативность операторов р(г) и р(г')).
наконец, положив у(г) = !7Дг), получаем правило коммутации между операторами плотности и потенциала скорости Дг)р (г') — р (г')Дг) = — !1!о'(г — г') (24.7) (вместо р можно, конечно, писать здесь оператор р = р — ро переменной части плотности). Правило (24.7) аналогично правилу коммутации между координатой и импульсом частицы; в этом смысле величины р' и ~о играют в данном случае роль канонически сопряженных обобщенных «координат» и «импульсовм Использовав выражения (24.4), (24.5) для установления правила (24.7), напишем теперь операторы !р и Р~ в представлении вторичного квантования (т.
е. выразим их через операторы уничтожения и рождения фононов), потребовав при этом, чтобы они удовлетворяли правилу (24.7). Для этого пишем Дг) = ~ ~(А,б„е!Ет+ А„с„!е ! "т) и с пока нс определенными коэффициентами А!,, суммирование производится по всем значениям волнового вектора, пробегаемым для жидкости в большом, но конечном объеме у' '). Операторы сй, ей~ удовлетворяют бозевским правилам коммутации сйссй, — с!,,с!, = дйй . (24.8) ') В отличие от !)1-операторов частиц, оператор вещественной величины !д зрмитов и содержит одновременно операторы рождения и уничтожения фононов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
