IX.-Статистическая-физика-часть-2 (1109682), страница 18
Текст из файла (страница 18)
В диаграммной технике такое поле изображается новым графическим элементом внешней пггриховой линией: ГРиновские Фенкции ФБРми-системы НРи т = 0 ГЛ. П Шредингера» (7.8), то Ф' удовлетворяет тому же уравнению с заменой Ь -+ (~7 — г!7Х), — -+ — — г —. д д .дх д~ д! д! При бесконечно малом т = БХ такое изменение уравнения эквивалентно добавлению к гамильтониану евнепГнего поля» бО = — — ~ + — '(ЬБХ+ 2(17бх)17). В частности, если ~Х(Х) = Ве(хое ) Л = (ы 1Г) (ввиду линейности последующих операций знак Не можно опустить), то бУ(Рз, Р!)=г(2!Г);Соб1 )(Рз — Р! — Л) ~ц) — — 1Г(р!+рз)~ .
(19.6) 2П! С другой стороны, функция Грина, построенная по !)!-операторам) Ф' = Ф (1+УХ), Ф т = Ф ~ (1 — гбХ) отличается от функции, построенной по операторам Ф, Фт на бС н(ХГ, Хз) = гС~Н(Х! — Хз)[дХ(ХГ) — БХ(ХЕ)] или, в компонентах Фурье: 5С в(Р2, Р!) = (БС в(ХГ, Хз)еГ( ' ' ' '1Г1 ХГГ1 Хз = = г(С,цу(РГ) — С„д(Рг))бХ(РŠ— Р!), (19.7) где ~Х(Р) ~бя(Х)еГРх Г14Х (2~)4~ Д(4) (Р ГГ ) Таким образом, одно и то же изменение ВС д выражено в двух видах: (19.7) и (19.4), куда надо подставить бУ из (19.6).
Приравняв оба эти выражения друг другу, получим (после замены С д = Сб В и некоторых переобозначений переменных) то?кдестВА для пРОизВОдных От Функции ГРинА 191 Искомые тождества получаются путем перехода в этом равен- стве к пределу ы, к — ~ О; при этом С(Р + К) — С(Р) — ~ ы — + 1с— (19.8) два др (где Р = (ро, р)). Произведя этот переход при условии й/ы — > О, получим первое тождество о д = — 1С (Р)1 ОУд — г Гд~ А(Р, Ю)~С (Ю)1 (19.9) Здесь введено обозначение 1С~(Р)1„= 1пп С(Р)С(Р+ К) при й/ю — ~ О. (19.10) , н-ю Аналогичным образом, произведя предельный переход при условии ы/й — > О, получим еще одно тождество 6~д — = (С (Р)3ь — б~д — г Гд~ ~(Р, Я) — (С Я))ь др (2 )'1 (19.11) с аналогичным обозначением 1С2(Р))ы Далее, рассмотрим изменение функции Грина при наложении на систему постоянного поля ОО = Оы'(г) = ГГОе' (19.12) При 1с -+ О это поле медленно меняется в пространстве, так что его влияние на систему может рассматриваться макроскопически.
Согласно термодинамическому условию равновесия во внешнем поле должно быть д+ бГг = сопв$ (см. У, З 25); при 1с — > О это означает, что химический потенциал д изменяется на малую величину — 17о. Соответствующее изменение функции Грина: (К Л ) ГГ Х до(Х1 — Хз) дд а его фурье-компонента (определенная, как в (19.7)): ОСО~3(Р2, Р1) = — (2я) О (Р2 — Р1)~ о дд С другой стороны, это жс изменение функции Грина можно вы- числить по формуле (19.4), положив в ней на этот раз ббГ(РЗ, Р1) = (2Н) 17еб1 ~(Рт — Р1 — К) (К = О, 1с) . 102 ГРиноиские Функции ФБРми-системы пРи т' = е гл. и Переход к пределу 1с -+ 0 в данном случае (постоянное поле, о6 = 0) отвечает случаю о6/й — > О. В результате получаем тождество 6 6 = — !О'6Р!!66 6 — 6)ср !Р,О)(О !О)! (19.13) Наконец, последнее тождество возникает как следствие галилесвской инвариантности системы.
Для его вывода рассмотрим жидкость в системе координат, движущейся с медленно меняющейся со временем малой скоростью Бту(1) = бтуе ил!. Переход к такой системе эквивалентен наложению внешнего поля, оператор которого ') (19.14) или, в импульсном представлении 6ЩР2, Р1) = — р1би6(2п)~6(~)(Р2 — Р1 — К), К = (о6, 0).
Это выражение надо подставить в (19А), после чего производим предельный переход о6 -+ О. С другой стороны, при о6 — + 0 речь идет о преобразовании Галилея от одной инерциальной системы отсчета к другой, движущейся с постоянной скоростью 6ту. Если в жидкости имеется элементарное возбуждение с энергией е(р), то в системе отсчета, движущейся относительно жидкости со скоростью Йч, энергия этого возбуждения будет е — рбир '). Поэтому в новой системе отсчета частота ро должна входить в функцию С(Р) в комбинации ро + рбтн, так чтобы полюс функции сдвинулся на — рби6.
Таким образом, 6С = рбте —, дро и мы приходим к тождеству ч44 42 р64666= — <о!6!! (6 р — '6рр рб,о!я[о!о!! 64). (19.15) ) В классической функции Лагранжа свободной частицы Ь=тс~/2 переход к движущейся системе координат совершается заменой У вЂ” 4 У+6чр и приводит к появлению малой (при малом 6тр) добавки 6б=тиу6чр. Соответственно (см. 1, (40.6)) добавка к функции Гамильтона 6Н= — р6чр, а в квантовой механике ей отвечает оператор (19.14). ) См.
более подробные рассуждения ниже, в 123. ~ 20 вывод связи мкждк пгкдкльным импкльсом и плотностью 103 Нам придется ниже применять полученные тождества, в частности, при значениях свободной переменной Р = 1ро, р) на ферми-поверхности: Рр = 10, рр). Перенеся множитель С~1Р) из правых сторон тождеств в левые, замоним там производные от С1Р) производными от С 11Р); при этом способ перехода к пределу Х -+ 0 в С1Р)С1Р+ К) несуществен. С другой стороны, вблизи ферми-поверхности функция Грина определяется своим полюсным членом, так что С '(Р) = — ~ро — пр)Р— Рр)1. г Отсюда, на самой этой поверхности, дС ' 1 дС ' якс~рк ар.
я' ад я и~' В результате, например, тождества 119.9) и 119.13) принимают на ферми-поверхности вид г ~Гд~,„~(Рр, Я)~С 1Я)1„, = (1 — — ) б в, (19.16) 14 г Гд~ ~(Рр, Я)1С (ф)ь ~ ) — — 1 — — " б„д. 119.17) 3 20. Вывод связи между предельным импульсом и плотностью Отсюда производная 2. Г~~(~) 1' Ь l дд (2к)4 120.2) Полученные в предыдущих параграфах соотношения позволяют дать последовательное доказательство основного положения теории ферми-жидкости Ландау: утверждения о том, что связь между предельным импульсом рр и плотностью жидкости Х/'к" дается той же формулой 11.1), что и для идеального газа.
Идея доказательства состоит в независимом вычислении изменений Х и рр при бесконечно малом изменении химического потенциала д и затем их сравнении. Согласно 17.24), полное число частиц 1в заданном объеме 1') как функция химического потенциала дается интегралом )4р Х = — 21И 1)ш 1С(Р)е *Р",, Р = 1ре, р). 120.1) Х вЂ” э — О,/ (2 .)4 104 ГРинсеские Функции ФеРми-системы ИРи т = О ГЛ. П После этой замены получим 2 "Р 1 — — Р "Р (С~(Р)1 Г (Р, Яр) ' — 8ИТР где, согласно (18.4), введена функция взаимодействия квазичастиц и использовано выражение ~„4 4 через функцию Р(д), согласно (2.6), (2.7); черта над Р означает интегрирование по Г(с77477. Оставшийся интеграл по 414Р дается формулой (19.16)7 после чего интегрирование по до, дает еще множитель 47Г.
В результате третий член в (20.3) оказывается равным -'72 ( —" 4" — 2) (2 — -'4г) (20.5) Ввиду сходимости этого интеграла при больших ре (дС44д)4 сх сг 1,1ре~ при ~ре~ -+ оо) писать множитель е ГРЕГ в подынтегральном выражении уже не надо. После подстановки сюда дСГгд)4 из тождества (19.13) (просуммированного по сг = р) находим -'"— "=2+СР мг "',-фа'(з 7ЬГ'7Р, ЕЦС'(ЕЭ,'"'2, где для краткости Г = Г .
Цель дальнейшего вычисления состоит в том, чтобы выразить правую часть этого равенства через интеграл только по ферми-поверхности. Прежде всего подставим вместо Г во втором интеграле выражение из (17.17) (заменив в нем обозначение Яр на Яр): — и = 27$(с ~РП 7,, 4~[0 |РЛ Г ~Р7 47)(с (47Э~7,— 7е (20.3) Преобразуем сначала последний член. В его подынтегральном выражении от Я зависят только последние два множителя; интеграл от них по д (.7' определяется (на ферми-поверхности, Я = Яр) формулой (19.17), так что этот член принимает вид У "(27Г)2,/ (27г)4 ' Я 4Е / Далее, вспомним, что при интегрировании по 44~Р предельные значения С(Р) С(Р+Х) надо понимать в смысле (17.10); поэтому 1С~(Р)1 = 7д(Р), а 2 'у2 (С'(Р)Ь = Ф'(Р)) — б(ра)б(р — Рг) (204) е з20 вывод связи мкждя пгкдкльным импкльсом и плотностью 105 Уа~< ° Ф ()~ (2 ° ° (( ) )' (20.6) Первый интеграл обращается в нуль при интегрировании по с(ре, поскольку С вЂ” + 0 при ре — + асс.
Наконец, первый член в (20.3) после подстановки в него (20.4) дает 2,/(Сз(Р)) д Р РРг (20.7) Сложив теперь нсе вклады (20.5) (20.7), найдем — — — Рк + ' к 1 — Рк (1+ Р) . (20.8) 1~ 1(р яз 4р яэек 1 4д С другой стороны, с помощью формулы (2.14), в которой следует положить Р бп и 6рр 5(р рр)брр ярк находим "" =,(1+Р). 4)к (20.9) Подчеркнем, что при выводе (2.14) еще не использовалась конкретная зависимость рр от Л/Ъ', и поэтому мы имеем право применить здесь это соотношение с целью нахождения указанной зависимости (равенство (20.9) можно, конечно, получить и с помощью тех же соотношений для вершинных функций, которые были использованы при выводе (20.8)) ').
С учетом этого равенства мы видим, что фигурная скобка в (20.8) обращается в нуль и, таким образом, У 2 ( ( ~ о 3 ,(„1 яе,(р,(д '(З(2 )э) (20.10) При М/à — + 0 мы имеем дело с газом, так что в этом пределе зависимость рр от Х/Ъ' во всяком случае должна совпадать с ') Формула же (2.11) для эффективной массы может быть выведена с помощью соотношения (17.17) и тождеств (19.11) и (19.15). Аналогичным образом преобразуется второй член в (20.3): величины 1С~(Р))ь и 1С~(Я)1ь выражаются через 1С~(Р)~„ и 1С~Я)) согласно (20.4), после чего используются тождества (19.9) и (19.16). В результате этот член оказывается равным 106 ГРиноеские Функции ФеРми-системы ИРи т = 0 ГЛ. П газовой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
