IX.-Статистическая-физика-часть-2 (1109682), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Аналогичным образом, второй член в фигурных скобках в (21.17) возникает от процессов, в которых пара рождается дыркой. Этот член дает затухание элементарных возбуждений с е < р. На языке диаграммной техники возможность рождения пары квазичастицей выражается возможностью рассечь 112 ГРинснские Функции ФЯРми-системы пРи т = е ГЛ. П и равна о=1 —, (рра) . (21.21) ) Прн отличных от нуля температурах усреднение этой величины по тепловому распределснню приводит к пропорциональности затухания квадрату Т', о чем уже говорилось в З 1. диаграмму С-функции на две части путем пересечения ее по трем сплошным линиям, из которых две направлены в одну, а третья в другую сторону.
На диаграммах (21.1вге) таковы сечения, проходящие между двумя п!триховыми линиями. Случай слабо неидеального газа специфичен (по сравнению с общим случаем произвольной ферми-жидкости) в том отношении, что спектр квазичастиц в нем имеет смысл во всей области значений импульсов, а не только вблизи ферми-поверхности: затухание квазичастиц (1ше) оказывается относительно малым уже благодаря малости «параметра газовости» пру. Мы приведем здесь, однако, окончательный результат вычислений лишь для двух предельных случаев.
Вблизи ферми-поверхности (~р — рр~ << рр) получается Ве е = )х + (р — Рйрр(пт с д из (6.14) и т* из (6.17). Для затухания же квазичастиц получается 1те = — — (рра) (р — рр) в!Еп(р — рр), (21.19) Пропорциональность этого выражения квадрату (р — рр) име- 2 ет ясное происхождение: один множитель р — рр возникает как ширина той области импульсного пространства (узкий шаровой слой), в которую попадает импульс квазичастицы после рождения ею пары, а еще один такой множитель — как ширина слоя, в котором рождается пара. Отметим, кстати, что эти соображения относятся и к любой ферми-жидкости, так что вблизи ферми- поверхности всегда 1ше сх (р — рр) '). При больших импульсах р» рх (но все же ра « 1) имеем е = ~ 1 + 1Р рра ~) — !' Р™ (рва) .
(21.20) 2ш Зхш / Ззгш В обоих случаях отношение 1ше!!Нее мало. Максимальное значение этого отношения достигается при р рр, но и здесь оно (руа) « 1. Наконец, приведем значение перенормировочной постоянной функции Грина слабо неидеального газа. Она вычисляется как 1 дЕ(о!, р) Я дю =с,р=р, ГЛАВА В1 СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ 9 22. Элементарные возбуждения в квантовой бозе-жидкости Обратимся теперь к изучению квантовых жидкостей с энергетическим спектром совершенно иного типа, который можно назвать белевским '). Этот спектр характеризуется тем, что элементарные возбуждения (отсутствующие в основном состоянии жидкости) могут появляться и исчезать поодиночке.
Но момент импульса всякой квантовомеханической системы (в данном случае жидкости) может испытывать изменения лишь на целое число. Поэтому возникающие поодиночке элементарные возбуждения должны обладать целочисленным моментом и, следовательно, подчиняться статистике Бозе. Спектром такого типа должна во всяком случае обладать всякая квантовая жидкость, состоящая из частиц с целым спином (таков жидкий изотоп 4Не). Напомним для сравнения, что в ферми-жидкости, при описании ее в терминах спектра элементарных возбуждений, отсутствующих в основном состоянии (см.
конец 91), эти возбуждения могут появляться или исчезать лишь парами. Именно с этим связана возможность элементарным возбуждениям в этом типе спектра иметь полуцслый спин. В квантовой бозе-жидкости элементарные возбуждения с малыми импульсами р (длина волны велика по сравнению с мсжатомными расстояниями) соответствуют обычным гидродинамическим звуковым волнам, т. е. представляют собой фононы. Это значит, что энергия таких квазичастиц является линейной функцией их импульса: е = ир, (22.1) где и скорость звука в жидкости.
Последняя дается обычной формулой и~ = дР(др, причем нет необходимости уточнять, ') Теория таких квантовых жидкостей была создана Л.Д. Ландау в 1940 — 1941 гг., вслед за открытием П. Л. Капицей сверхтекучести жидкого гелия. Этими открытиями было наложено начало всему развитию современной физики квантовых жидкостей. 114 гх!. и! свегхтекучесть берется ли производная при постоянной температуре Т или энтропии Я, поскольку при Т вЂ” + О также н Я вЂ” + О'). Число элементарных возбуждений в бозе-жидкости стремится к нулю при Т вЂ” + О! и при низких температурах, когда их плотность достаточно мала, квазичастицы можно считать не взаимодействующими друг с другом, т. е. образующими идеальный бозе-газ.
Поэтому статистически равновесное распределение элементарных возбуждений в бозе-жидкости дается формулой распределения Бозе (с равным нулю химическим потенциалом -. ср. примечание на с. 18) п(р) = (е'(Р)~ — 1] (22.2) С помощью этого распределения, и зная зависимость е(р) при малых р, можно вычислить термодинамические величины жидкости для таких близких к абсолютному нулю температур, при которых практически все имеющиеся в жидкости элементарные возбуждения обладают малыми энергиями, т. е. являются фононами.
Соответствующие формулы можно написать сразу, воспользовавшись выражениями для термодинамических величин твердого тола при низких температурах (см. у', 9 64). Разница заключается лишь в том, что вместо трех возможных направлений поляризации звуковых волн в твердом теле (одно продольное и два поперечных) в жидкости существует лишь одно (продольное); поэтому все выражения для термодинамических величин следует разделить на 3.
Так, для свободной энергии жидкости имеем Г= го — у (22.3) 90(би) з где Ро — свободная энергия при абсолютном нуле. Энергия жидкости равна Е=Е0+Р 30(бп)з (22.4) а теплоемкость С = 'У' (22.5) 1б(йп)з она пропорциональна кубу температуры. Фононный закон дисперсии (22.1) справедлив лишь постольку, поскольку длина волны квазичастицы й!!р велика по сравнению с межатомными расстояниями. По мере увеличения импульса ) Понятие о фононах было введено в У, з 71, 72 для элементарных возбуждений в твердых телах. Подчеркнем, что импульс элементарного возбуждения в микроскопически однородной системе --жидкости — есть истинный импульс, а не квазиимпульс, как в периодическом поле кристаллической решетки твердого тела.
гз 22 элвмвнтлгныв возвтждвния в квантовой вози-жидкости 115 „„+ (р-рс)' 2т" (22.6) где гз = е(ро) и т* -- постоянные. Квазичастицы этого типа называют рошонами. Подчеркнем, однако, что оба типа квази- частиц -. фононы и ротоны -- отвечают лишь разным участкам одной и той жс кривой, между которыми имеется непрерывный переход. Эмпирические значения параметров энергетического спектра жидкого гелия (экстраполированные к нулевому давлению при плотности р = 0,145 г/смз) таковы'): и=2,4 10 см/с, гл=8,6К, (22.7) ро/гг = 1,9 10 см 1, т" = 0,14гп(4Не). ') Эта форма спектра была впервые предложена Л.Д.
Ландау (1947) на основании анализа экспериментальных данных о термедннамнческих величинах жидкого гелия; в дальнейшем она была подтверждена экспериментально опытами по рассеянию нейтронов. Качественная теория спектра такого типа дана Фейнманом (Рс. Р. Реупшап, 1964); ем.ниже примечание на с. 471. ) Укажем также значение химического потенциала жидкого гелия при Т = 0: и = — 7,16 К. кривая е = е(р), конечно, отклоняется от линейной зависимости; дальнейший ее ход зависит от конкретного закона взаимодействия жидкости и не может быть поэтому определен в общем виде.
В жидком гелии закон дисперсии элементарных возбуждений имеет форму, изображенную на рис. 2: 19 после начального линейного возрастания функция е(р) достигает максимума, затем убывает и при определенном значении импульса рс проходит через минимум'). В тепловом равновесии большинство элементарных возбуждений в жидкости имеет энергии в областях вблизи ми- Рис. 2. нимумов функции е(р), т. о, в области малых е (область вблизи 6=0), и в области значения е(рс). Поэтому именно эти области особенно существенны.
Вблизи точки р=ро функция е(р) может быть разложена по степеням р — ро. Линейный член в разложении отсутствует, и с точностью до членов второго порядка имеем 116 СВИРХЧ'ЯКУ !ВСТЬ ГЛ. 11! Поскольку энергия ротона всегда содержит величину ьг, большую по сравнению с Т при температурах достаточно низких для того, чтобы можно было говорить о «ротонном газе», то последний можно описывать вместо распределения Бозе распределением Больцмана.
Соответственно этому, для вычисления ротонной части термодинамических величин жидкого гелия исходим из формулы для свободной энергии больцмановского газа Йт = 12 (Зхв)0 Р'= — к)Т )п 0 lе '!тг)т, 1Ч / (см. Ч, ~ 41). При этом под Х в этой формуле надо понимать число ротонов в жидкости. Но это число само определяется условием термодинамического равновесия, т. е. условием минимальности свободной энергии. Приравняв дР/дй) нулю, найдем для числа ротонов !у'р — — Ъ'~е '~~0)т (22.8) (что соответствует, естественно, больцмановскому распределе- нию с равным нулю химическим потенциалом). Соответствую- гцее значение свободной энергии ~ = 1~~,-(т,)т й0' = * "' е 1 г = — Тг"2~ (22 9) Р (З,„)212 аг Р— Р.
Отсюда вклад ротонов в энтропию и теплоемкостгк Я, =Ю, ('--;- — ) ! С, = У, ('--;- —;- — ) . (22.!О) Мы видим, что температурная зависимость ротонной части термодинамических величин в основном экспоненциальна. Поэтому при достаточно низких температурах (для жидкого гелия ниже примерно чем 0,8) ротонная часть меныпс фононной, а при более высоких температурах положение меняется, и ротонный вклад превосходит фононный. В эти формулы надо подставить (22.6).
Поскольку ре~ >> т*Т, то при интегрировании по 00р можно вынести множитель р изпод знака интеграла, заменив его с достаточной точностью на ре~. При интегрировании экспоненциального выражения можно распространить область интегрирования от — оо до оо. В результате получим 3 23 117 свкехтвкучвоть 3 23. Сверхтекучесть Мз~ Е = Ее+ Рот+ 2 Р = Ро+Му, (23.1) где М вЂ” масса жидкости. Подставив е, р вместо Ео, Ро, напишем Е = е+ ру+ 2 (23.2) Член Моз/2 представляет собой первоначальную кинетическую энергию текущей жидкости; выражение же е+ рч есть изменение энергии благодаря появлению возбуждения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
