IX.-Статистическая-физика-часть-2 (1109682), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Этим условием устанавливается постоянная при интегрировании (20.10), и мы приходим, наконец, к искомому соотношению (1.1); м з„рз Ъ' 3(2к)з 2 21. Гриневская функция почти идеального ферми-газа Для иллюстрации способа применения диаграммной техники в этом параграфе мы применим ее к вычислению гриновской функции почти идеального ферми-газа в рамках той же модели, которая была рассмотрена в 26 с помощью обычной теории возмущений (В.М.
Галицкий, 1958). Напомним, что речь идет о газе с отталкиванием между частицами, причем описанный в з 6 прием позволяет применять к этому взаимодействию теорию возмущений до тех пор, пока в окончательный результат вычисления входит только амплитуда рассеянии. Как было показано в 2 14, нахождение функции Грина сводится к вычислению собственно-энергетической функции Х„ЯР).
В первом и втором приближениях теории возмущений она дается совокупностью диаграмм (14.9) и (14.10). Изобразим их здесь следующим образом: (21.1) й е г Диаграммы (21.1а,б) охватывают собой диаграммы первого порядка (14.10а) и (14.9а) и диаграммы второго порядка (14.10б,в) и (14.9б,в); последние отличаются от первых лишь поправками к внутренней сплошной линии; эти линии изображены в (21.1а,б) жирными и им должны сопоставляться, следовательно, не гриновские функции идеального газа С~ ), а функции С, исправленные до членов первого порядка.
Наконец, (21.1в,г) — это диаграммы второго порядка (14.10г,д). Все диаграммы деформированы так, что становится ясным характер их структуры; 3 21 107 ПОЧТИ ИДЕАЛЬНЫЙ ФКРМИ-ГАЗ это первые члены «лестничного» ряда четырехконцевых диаграмм, в которых по паре из внешних линий «закорочены» друг с другом двумя различными способами.
Начнем с вычисления диаграммы (21.1а). Ее аншгитическое 1-'Е( )1. = 1ПЮ)%(Р— Я) — „, ьг'=1Ч' с)) Р=( Р) (общий множитель боя опущен). Произведем сначала интегрирование по ддо. Поскольку, однако, множитель Ог(сьг) = У(с1) от по не зависит, а С сс 1/до при )по~ — » оо, то необходимо предварительно уточнить способ интегрирования. Для этого надо вернуться к происхождению диаграммы (21.1а) и заметить, что сплошная линия в ней соответствует свертке пары гр-операторов внутри одного и того же оператора гг. Это значит, .что гр и 1Р" берутся в одинаковый момент времени, и при свертывании 1РТ стоит слева от гр. Другими словами, в координатном представлении возникающая С-функция берется при 1 = ~1 — 1з — » — О.
В импульсном же представлении это означает добавление в подынтегральном выражении в (21.2) множителя ехр ( — где~) с переходом к пределу 1 — ~ — О. Использовав теперь формулу (7.23), получим ~ — гЕ1 = г»~У(с1)Х(р — с1) ~, (21.3) где Х(р) функция распределения частиц.
Фурье-компонента У(с1) существенно зависит от величины с1 лишь при д > 1(го, где го радиус действия поля 11(г); эти значения заведомо велики (для разреженного газа) по сравнению с рр. Если ограничиться значениями ~р — рр ~ << 1~го, то при указанных значениях с1 будет Л(р — Ч) О. Поэтому У(«1) в (21.3) можно заменить на бг(0) и вынести из-под знака интеграла'). Оставшийся интеграл равен половине (заданное значение проекции спина!) плотности газа п()г), так что [Е],= — п()г)У(0)/2. Диаграмма же (21.1 б) с замкнутой на себя сплошной линией дает ~Е1е = п()гЩО).
Таким образом, вклад в Е от обоих диа~Е1, л = -п()г)У(0) = — п()г)а, (21.4) где а — длина рассеяния, определенная согласно (6.2). ') Допускаемая таким образом погрешность имеет, как легко видеть, относительный порядок величины )рггс) и потому не отражается даже на 3 членах следующего по рггс порядка. 108 ГРИНОВСКИЕ ФЕНКЦИИ ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ПРИ 4' = 0 ГЛ. П Выражение (21.4) содержит в себе., в частности, весь эффект первого порядка.
В этом приближении п(44) надо понимать как плотность идеального газа п( ~(р), так что В(» !В!(» ~~И(е~~р)о (21.5) т Для дальнейшего вычис!!ения введем, в качестве промежуточного обозначения, функцию Р, определенную лестничными диаграммами: Р4 Р, (как всегда, Р1 + Р2 = Рз + Р4). В аналитическом виде 4РТ4,ФР(РЕ! Р4, 'Р1, Р2) = 4б44тбзз(Р~ ~+ Р ~)! (21.7) где 4Р( ( = — 45г(Рз — .Р1), (21.8) (4р! 4Р( ~=/С( 4(Р')5Г(Р1 — Р')(»!( 4(Р1+Р2 — Р')5Г(Р' — Рз) .
(21.9) (24!) 4 Раскрыв обе диаграммы (21.1в,г) и выразив их через г(21, получим ~- (Р)).„=- С"'(ЕР"'(Р,а;а, ),",',,+ +2/а(е)(д)Р(4(Р О Р, О) "~ (21.10) (такис же интегралы с Р(» вместо г(21 дают (21.5)). Разница знаков перед двумя интегралами связана с наличием замкнутой петли в диаграмме (21.1 г); б-множители в первой диаграмме даютб бд=б В,авовторой:б Вб =2бд.
Перейдем к вычислению г(~4. Поскольку У(Я) не зависит от 9в, то интегРиРование по 44Р~е своДитсЯ к интегРалУ (~ )~ (Р1+Р2 Р) Подставив сюда С(е4 из (9.9) (и учитывая сходимость интеграла при ~р~~ -4 со), замыкаем путь интегрирования бесконечно удаленной полуокружностью в одной из полуплоскостей комплексного р4е, .интеграл отличен от нуля, лишь если полюсы двух 109 почти идвлльный таями-газ функций С( ) лежат в различных полуплоскостях, т. е. яяп (р' — рр) = 31яп (~р1+ р2 — р'~ — рг).
В результате получим (21.11) (где у' " точная до второго порядка амплитуда рассеяния в вакууме) ') и одновременно вычтя из выражения Г(~) (21.12) вещественную часть его значения в вакууме, т. е. при рр = О, )т = 0 и значениях ш1 = р1/2пг, ш2 = р2/2пг, отвечающих энергиям 2 2 двух реальных сталкивающихся частиц (« физические» внешние концы диаграмм). После этого можно уже будет заменить— Ке у значением при нулевой энергии, т. е. длиной рассеяния а'). ) Не смешивать 1 в этом параграфе с функцией взаимодействия квази- частиц! ~) Эта замена не могла быть произведена в (21.12), так как привела бы к расходимости интеграла при больших р'.
После произведенного же вычитания интеграл сходится (при р рг) уже и с такой заменой, что н позволяет произвести ес. Вычитание лишь вещественной части интеграла (и соотвегственно замена 11 через Псу) произведено с целью избежать затруднения, связанного с мнимой частью амплитуды рассеяния.
Дело в том, что при малых импульсах Ве у разлагается по четным, а 1ш у — по нечетным степеням импульса (см. 1П,1132). Поэтому учет импульсной зависимости у привел бы к поправкам относительного порядка (ого)~, т. е, пренебрежимым. Замена же У вЂ” э — 4я1/ш потребовала бы учета мнимой части у, приводящей к поправкам относительного порядка величины ряа. (~ 3~ Р4~ Р11 1 2) = (1(рг — р') У(р' — рз) якп (р' — р~) 13 9 шгч.шз4-2д — (1(2тяр ~-с(р1трз — р') )4 10 яип (р — рг) (2х)э (21.12) (где сс1 — = р1о,ш2 — = р2о).
При этом,чтобы автоматически учесть требование (21.11), в числителе подынтегрального выражения следует заменить япп(р' — рр) -э 1 — д(р') — д(р1 + р2 — р'), где о(р) ступенчатая функция (1.10). Мы видели в 3 16, что ряд лестничных диаграмм определяет (в вакууме) амплитуду взаимного рассеяния двух частиц. Поэто- му выражение (21.12) содержит в себе поправку к членам перво- го порядка в амплитуде рассеяния. Эту поправку можно учесть, заменив в г'(~) (21.8) Г(рз — р1) — э — — Ве 1(рз, р1) т ГРинсеские Фенкции ФеРми-системы пРи г' = 0 ГЛ.
П Таким образом, будем иметь (Рзг Р4; Р1, Р2) = 4гга') 2/( ( ~'(( 1-В(р')-В(рг+рг-р') т У / (,ггг+ггг+244 — (1гг2т)(рг~+(рг+рг — р')2)+40 егеп(р' — рР) р'+р' — рг' — ( +р — р')' 3 (2 )' Знак Р во втором члене означает, что интеграл берется в смысле главного значения; это результат отделения вещественной части интеграла с помощью правила (8.11). Поскольку выражение (21.13) симметрично по Р1 и Р2, оба интеграла в (21.10) совпадают, так что ~-ж(Р)) = /С(О)(а)Р(4(Р а Р а) " 4 (2гг) 4 При подстановке сюда первого члена из (21.13) интеграл по с(ггс отличен от нуля, если з(8п (р' — рД = — з(яп (д — рр), (21.14) так что оба полюса подынтегрального выражения снова находятся в разных полуплоскостях гге.
При подстановке же второго члена из (21.13) от сге будет зависеть только множитель СО(сВ), интегрирование по с(дс осуществляется формулой (7.23) и дает 41!( г(с1) функцию распределения частиц в идеальном газе, т. с. ступенчатую функцию д(с1). В результате получим (собрав вклады от всех диаграмм (21,1аге)) 1'(пг, р) = — п((4)а+ 2.(~г(пг, р), (21.15) где Я(2) (г,! р)— 4еп'~2 /( [1-В(р')-В(р4-Ч-р'))(В(Ч)-В(р')) т I,г' ( гР+14+(1/2т) ~дг — р'г — (р+с1 — рг)г)+го егеп (рг — рР) =( )'И р 2тВ(ч) ) г( ягг Р (21 1б) рг !!!2 рг2+(р !41 рг)2 ) (2е)6 (множитель 0(с() — 0(р') в числителе первого члена под знаком интеграла заменяет собой — егин (г! — рг) при условии (21.14)).
Заметим прежде всего, что Е имеет мнимую часть. Она выделяется из (21.16) с помощью правила (8.11) и дается почти идеАльный Фетми-ГАЗ выражением 1птЕ(ы, р) = — ( — ) к/[0(с1)[1 — 0(р')][1 — 0(р+ с1 — р')]— — [1 — 0(с1)]0(р') 0(р + с1 — р') ) х х О[оз+ 1А+ — (д~ — р' — (р+ с1 — р') )] (21.17) 2т (2Е)А (выражение в фигурных скобках преобразовано с учетом того, что 02(р) = В(р)). Спектр энергий квазичастиц вычисляется., согласно (14.13), как е(р) = ~ + — п(р)а+ Е(~) ~ — д, р (21.18) 2т т 'Х 2т (в Е12~ можно, с требуемой точностью, положить е = р2/2т). Комплексность Е означает наличие затухания у возбуждений (1пт е у'= 0).
Появление этого затухания выражает неустойчивость квази- частиц, связанную с возможностью реального процесса их распада. Квазичастица может отдать часть своей энергии, за счет которой рождается пара квазичастиц (частица и дырка). Рассмотрим, например, первый член в фигурных скобках под интегралом в (21.17). По свойствам ступенчатой функции этот член отличен от нуля, если р'>рг, ]Ч+р — р'[>рг, 0<рай. Эти неравенства отвечают процессу, в котором квазичастица с начальным импульсом р (р > рР) переходит в состояние р' (р > р > рг), причем импульс р — р передается частице внутри ферми-сферы (импульс д < РР), возбуждаемой до состояния с импульсом с1+ р — р' вне ферми-сферы; такой переход эквивалентен появлению двух новых элементарных возбуждений с импульсами — с1 (дырка) и Ч+ р — р .
Закон сохранения энергии в этом процессе выражается б-функцией в (21.17), в которой ы + р играет роль начальной энергии квазичастицы е(р): я(р) = е(р ) + [с(с1 + р — р ) — е(с1)] (здесь достаточно положить, в первом приближении, е(р)=р~/2ГП). В соответствии с указанным смыслом, определенная этим равенством энергия е(р) действительно отвечает квазичастице вне ферми-сферы (е > р).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
