IX.-Статистическая-физика-часть-2 (1109682), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Сближающиеся полюсы могут «зажать» между собой путь интегрирования (см. ниже), что и является источником возникновения особенности в функции Г. Для вычисления точной функции Г надо просуммировать весь ряд теории возмущений. Поскольку наша цель состоит в выделении части, имеющей особенность при К = О, надо прежде всего отделить вклад от всех диаграмм, которые не могут быть рассечены по парам сплошных линий с близкими (отличающимися на К) значениями 4-импульса. Эту часть функции Г, не имеющую особенности при К = О, обозначим посредством Г: в ней можно положить К = О, так что Г будет функцией лишь переменных Р1, Р2 .
Гтб б(Р1, Р2). Что жс касается «опасных» диаграмм, то их можно классифицировать по числу содержащихся в них пар линий с близкими аргументами. Таким образом, полная вершинная часть Г изобразится следующим бесконечным «лестничным» рядом диаграмм: Р, Рг ~ =~Я'Ж. + (17.3) Р1+К Р2 — К Здесь светлому кружку отвечает искомое «Т, а заштрихованные кружки изображают гТ. Внешние линии на этих диаграммах не входят в определение Г и служат лишь для указания числа и значений входящих и выходящих 4-импульсов. Все внутренние линии на диаграммах (17.3) жирные, т.
е. им соответствуют точныс С-функции. Подчеркнем в этой связи, что возможность представления Г в виде этих скелетных диаграмм (а тем самым и все дальнейшие следствия из них) отнюдь не предполагает парности взаимодействия между частицами, поскольку штриховые линии здесь в явном виде отсутствуют; от характера взаимодействия в действительности зависит лишь ) Так, во втором порядке теории возмущений 1по парному взаимодействию) в (17.2) входят диаграммы (15,11а,б,в) и диаграмма (15.11д) с пере- ставленными концами 3 и 4. 90 ГРинсеские Фтнкции ФеРми-системы ИРи т = е гл. и (не интересующая нас здесь) внутренняя структура блоков, изображенных кружками ').
Задача о суммировании ряда (17.3) сводится к решению интегрального уравнения, для получения которого «умножимв весь ряд еще на одно Г, т. с. заменим его рядом Сравнение с исходным рядом (17.3) приводит к равенству Р1 Р2 Р1 Рг — (17.4) Р1+К Рг — К Р1+К Рг — К Это диаграммное равенство, будучи записано в аналитическом виде, и дает искомое интегральное уравнение 1 14 од(К) Р1~ Рг) = Г14 од(Р1~ Рг) — г/Г„~ (Рм Я)С(Я+ К)С(Я)Г й гз(К; Я, Рг) .
(17.5) Согласно сказанному выше, в функциях Г положено Л = 0; использованы введенные вьппе сокращенные обозначения Г и Г, а также положено Сод = Соод. Для исследования этого уравнения рассмотрим прежде всего стоящее в его ядре произведение С(ь„+ К)С(Я). Как уже было отмечено, при малых К полюсы обоих множителей близки друг к другу. Вблизи этих полюсов С-функции представляются полюсными членами (10.2). Обозначив компоненты 4 векторов Л К=(., й), О=(9о, ц), пишем в этой области С(Ц)С(д+ К) = = ~'р7о — пр(9 — рр)+А') '~Чо+ы — пр(!Ч+11~ — рр)+152) ", (17.7) ) Предполагается лишь такое общее свойство, как сохранение числа частиц.
Последнее проявляется в постоянстве разности числа линий, проходящих направо и налево в каждом сечении диаграммы (равной нулю для сечений показанного в (17.3)типа). оз 17 ввгшиннля еонкция пои мллых пвовдлчлх импольсл 91 где бм б2 - бесконечно малые добавки, знак которых (вблизи полюсов) определяется согласно яйп бг = яяп (о7 — рР), (17.8) япп б2 = э(кп (~с~+ 1с~ — рР). Знаки бг и б2 определяют расположение полюсов .— в верхней или нижней полуплоскостях комплексной переменной г7о.
Особенность в ядре интегрального уравнения (а с ним и в его решении) возникает в результате зажатия контура интегрирования ддс (вещественная ось) между полюсами, для чего последние должны находиться по разные стороны этого контура, т. е. в разных полуплоскостях. Предположим сначала, что с(1г > О, т. е. соэ д > О, где О -- угол между г1 и 1с. Тогда ~о1+ 1с~ > д, и б1 и б2 имеют различные знаки (бг < О, б2 > О), если г7 < рР, ~с1+ Ц > рР, что ввиду малости л.
эквивалентно условиям рР— (осоэд < д < рР. При дальнейшем интегрировании по ддо в (17.5) путь интегрирования можно замкнуть бесконечно удаленной полуокружностью (все равно — сверху или снизу), и тогда интеграл определится вычетом подынтегрального выражения в соответствующем полюсе. При этом ввиду узости интервала (17.9) (при малом к) в множителях Г и Г под знаком интеграла можно будет положить го = О и соответственно для положения полюсов (при малых й, ш): 9о - -О.
Другими словами, в смысле своей роли в ядре интегрального уравнения (17.б) произведение полюсных множителей (17.7) эквивалентно д-функциям А б(9о) б(г7 — рР) с коэффициентом А, определенным как интеграл А= х огяо~Ч (Чо — ов(Я вЂ” Рг) + гбгПЧо + ог — ог(~Ч+ 1с~ — Рг) + гдг) Когда д лежит вне интервала (17.9), оба полюса лежат в одной полУплоскости комплексного 9о, и, замкнУв пУть интегРиРованиЯ по г1до через другую полуплоскость, убедимся, что интеграл обращается в нуль. В области жс (17.9), замкнув путь через одну из полуплоскостей и вычисляя интеграл по вычету в расположенном в этой полуплоскости полюсе, найдем 2хгЯ~дд м — ов(~Ч -~- Ц вЂ” д) -~- гО 92 ГРинсеские ФРнкции ФеРми-системы ИРи т = е ГЛ.
П (учтено, что в области (17.9) д1 < О, Б2 > 0). Поскольку в силу (17.9) д рг » е, то можно положить ~с1+1с~ — 11 — йсовд, после чего (с учетом пределов (17.9)) 2ЕЫ~ЙССЕВ Ы вЂ” ЕРР СОЕ д Легко показать тем же способом, что такое же выражение для А (но с другим знаком у 10) получается и при соед < 0 (когда интегрирование должно производиться по области д > р Р, ~с1+ Ц < рР). Таким образом, в ядре уравнения (17.5) имеем СЯ)С(Я+ Х) = (д') (~ ~~) + ~р(ф, (17.10) ы — РРП1-~-10 Р1впо~ где написано 111 вместо 11 сое д (1 = 11/д), а функция 1д не содержит (при малых Л) б-функционной части, и потому в ней можно положить Х = О. Подставив (17.10) в (17.5), получим основное интегральное уравнение в виде Губ,сд(Х; Ры Р2) = 1тб,ад(РО Р2)— — г~Г 1 .
(Р1, Я)1д®)Г 1Гз(Х; б), Рз) + В послеДнем члене поДставлено д~Я = Д~ 1117 11о~ дде (гДе 11оп. элемент телесного угла в направлении 1) и интегрированием по аудио устранены с-функции. В этом члене в функциях Г и Г аргумент Я берется на ферми-поверхности: ЯР = (О, рР1). Обратим внимание на специфический характер множителя 11С/(а1 — ср11с) в ядре уравнения (17.11): его предел при 1с — Р О, с1 — + О, зависит от предела, к которому стремится при этом отношение 1с/1Г. Таким же характером будет обладать, следовательно, и решение уравнения: предел функции Г(Л; Ры Рз) при Х вЂ” Р О, зависит от способа стремления к нулю Е1и 1с. Обозначим через Г (Р1, Р2) предел Г.,~,„д(Рм Рз) = 1пп Гтю,„р(Х; Ры Рз) пРи И/и -э 0 (17.12) к- а (мы увидим в ~ 18, что именно с этой величиной связана функция взаимодействия квазичастиц).
При таком способе перехода к пределу ядро последнего интегрального члена в (17.11) обращается з »17 вв»шинн»я «.»нкция пгн м»лых пвгвдлчлх имп»льсА 93 в нуль,так что Г'« удовлетворяет уравнению Г„,д(Ры Р,) = = 1 уб,~д(Рм Р2) — г/Г~~ (Рм»»')ФЯ)Г б ~д(ф Р2) 2 (17.13) Отметим, что ввиду (15.8) Г, „д(Р„Р2) = Г д.(Р2, Р1).
(17.14) Из двух уравнений (17.11) и (17.13) можно исключить Г. Результат исключения: Г.,й,„,~(Х; Р„Р2) = Гтй„д(Р„Р2)+ ~»» г + ~"",~Г"„..(Р„О,)Г „~(Х; Ок, Р,) '""" . (17.15) Действительно, если формально записать (17.13) в виде Г=ХГ'", то (17.11) запишется как у2 2 г ХГ = Г+ '~/ ГГ с~оп (2к)» ю — »»Пс Подставив сюда Г = ХГ и применив к обеим сторонам равенства оператор Х 1, получим (17.15). Введем теперь функцию Г согласно Г"«д(Рм Р2) = оп Гт~ „д(К; Ры Р2) при ы/к — » О.
(17.16) к- а Именно эта функция, умноженная на У2, представляет собой амплитуду рассеяния вперед (т. е. перехода Рм Р2 — + Рм Р2), отвечающую реальным физическим процессам, происходящим с квазичастицами на ферми-поверхности: столкновения, оставляющие квазичастицы на этой поверхности, сопровождаются изменением импульса без изменения энергии, и потому переход к пределу нулевой передачи импульса (1« -+ О) должен производиться при строго равной нулю передаче энергии (ы = О).
Введенная же вып1е функция Г'«отвечает нефизическому предельному случаю «рассеяния» с малой передачей энергии при строго равной нулю передаче импульса (1г = О). 94 ГРиновские Фянкции ФеРми-системы НРи т = е гл. и Положив в (17.15) о1 = О, перейдя к пределу 11 — ~ О и умножив обе стороны равенства на Я2, получим г'Г,",,(Р„Р,) = г'Г,,(Р„Р,)- 2 ек(2 1) з — У~Г., (Ры Яр) Я~Г~~ СЕЯЕ1 Р2) г)оь (17.17) Таким образом, существует общее соотношение, связывающее обе продольные формы амплитуды рассеяния вперед.
Свойства антисимметрии (15.8) для Г дают некоторую информацию о поведении ГЬ и Г при Р1 — Р Р2. Положив в этом равенство Р1 — — Р2 и се = )з, получим 7.д (Р1 + К, Р1 — К; Ры Р1) = О (17 18) (суммирования по се здесь нет)) '). Переход к Г~ или Г в этом равенстве надо производить с осторожностью, так как в Г, Г сначала положено К = О, а в (17.18) -- сначала Р1 = Р2. Пусть одновременно малы .К и Р1 — Р2 = Я = (зв, в). Тогда помимо диаграмм (17.2) будут опасными также и диаграммы Р1 О+ с+К Р2 Р2 — К Р1 +К При К, Я вЂ” ь О функция Г 1 „будет зависеть, следовательно, от двух «особых» аргументов: а1 Во .~- Ы х= —, р= й' ' )в-~11)' и (17.18) означает обращение этой функции в нуль при я = р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
