IX.-Статистическая-физика-часть-2 (1109682), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Будем рассматривать значения Г на ферми-поверхности; тогда а1 = зс = О, так что и у = О. Поэтому в таком пределе равенство (17.18) имеет место, только если и х = О. Другими словами, на ферми-поверхности оно справедливо для Г~: Г,"...(Р, Р,) =О (17.19) (Х.О. Мегпт, 1967). ) При учете лишь обменного взаимодействия между спинами квазичастиц из всех Р Е отличны от нуля лишь 1'„„, . Это утверждение выражает собой неизменность вектора спина при рассеянии. Его можно проверить также и непосредственно по выражению вида (2.4). 95 Функция Взаимодействия кВАзичАстиц З 18. Связь вершинной функции с функцией взаимодействия квазичастиц Подобно тому как в образовании матричного элемента (7.9), определяющего одночастичную функцию Грина, участвуют промежуточные состояния с числами частиц Л ж 1, так и в образовании двухчастичной функции Грина (матричный элемент (15.1)) участвуют промежуточные состояния с 1у', Л' ж 1, Х ж 2 частицами ').
Ввиду наличия промежуточных состояний с Х ~ 1 частицей двухчастичная функция Грина имеет полюсы, совпадающие с полюсами функции С, т. е. с энергией квазичастицы. Соответствующие множители, однако, выделены в (15.7) в явном виде. Поэтому определяемая этой формулой вершинная функция Г имеет лишь полюсы, соответствующие состояниям с Х и 1у' ~ 2 частицами. Момент импульса этих состояний отличается от момента основного состояния на 0 или 1, так что отвечающие этим полюсам элементарные возбуждения имеют целый спин (О или 1) и потому подчиняются статистике Бозе. Другими словами, полюсы вершинной функции определяют бозевские ветви энергетического спектра ферми-жидкости.
Полюсы, возникающие от промежуточных состояний без изменения числа частиц, отвечают элементарным возбуждениям, представляющим кванты нулевого звука. В диаграммной технике промежуточным состояниям отвечают различные сечения диаграмм, разделяющие их на две части между теми или иными из ее внешних концов. В данном случае промежуточным состояниям без изменения числа частиц отвечают сечения диаграмм (17.3) по одной из пар сплошных линий, соединяющих соседние блоки Г., неизменность числа частиц в этих состояниях выражается одинаковостью числа линий, пересекающих сечение в ту и другую стороны. Перенос 4-импульса через такое сечение есть Я+Лб) — сь~ = Л; соответственно этомУ, элементаРным возбУждениям ез изменения числа частиц отвечают полюсы вершинной функции Г(Л; Ры Р2) по переменной Л. Мы видели выше (при выводе (17.10)), что из двух импульсов с1 и с1+1с (входящих в 4-векторы сА и Я+Л ) один должен быть болыпс, а другой меныпе предельного импульса рр.
С другой стороны, при возбуждении из основного состояния вне ферми- сферы могут быть только «частицыь, а внутри нее только ) Состояния с Х частицами возникают при такой, например, последовательности операторов в Т-произведении, как Фв'Р~'РАФе, Состояния же с Х Е 2 частицами отвечают таким последовательностям, как ФАФАФ, Ф 96 ГРинсвские Фхнкции ФеРми-системы ИРи т = о гл. и «дырки». В этом смысле можно сказать, что нулевые возбуждения в ферми-жидкости можно рассматривать как связанные состояния частицы и дырки ').
Элементарныс же возбуждения, отвечающие промежуточным состояниям с Х ~ 2 частицами (им соответствуют полюсы функции Г(К; Р1, Р2) по переменной Р1 + Р2), можно было бы рассматривать как связанные состояния двух частиц или двух дырок. Наличие таких состояний, однако, привело бы (как будет показано в гл. У) к сверхтекучести ферми-жидкости, что, в свою очередь, требует существенного изменения всего математического аппарата диаграммной техники. Таким образом, для определения бозевской ветви энергетического спектра несверхтскучей ферми-жидкости надо исшгедовать полюсы вершинной функции Г(К; Р;, Р2) по переменной К = (п2, 1с).
При каждом значении 1с полюсу отвечает определенная знергия о2 = о2()с), чем и определяется закон дисперсии зтих возбуждений. Для слабо возбужденных состояний п2 и )с малы, так что можно использовать уравнения, полученные для функции Г(К; Р1, Р2) в области малых значений К. Вблизи полюса функции Г левая сторона и интеграл в правой стороне уравнения (17.15) сколь угодно велики; член же Гм(Р12 Р2) ОСтаЕтСя кОнЕчным и пОтОму мОжЕт быть ОпущЕн. Далее замечаем, что переменная Р2., а также индексы )2' и о не затрагиваются операциями, производимыми в уравнении (17.15) над функцией Г, т.
е. играют в нем роль несущественных параметров. Наконец, мы будем рассматривать функцию Г на поверхности ферми-сферы, т. е. положим Р1 = (О, рри), где и переменный единичный вектор. Имея все это в виду., делаем вывод, что определение возбуждений в ферми-жидкости сводится к задаче о собственных значениях интегрального уравнения а2 2 Г п1с 12 1а (и) Хз (и) »2 — егп1с (18.2) ) В такой постановке задача формально имеет много общего с задачей об определении уровней связанных состояний электрона и позитрона в квантовой злектродинамике (см. 12', 5 125). В частности, уравнение (17,4), (17.5) аналогично уравнению Бете — Солпитера (см.
1У, (125.10), (125.11)). ГДЕ Хта(И) -- ВСПОМОГатЕЛЬНаЯ ФУНКЦИЯ. Преобразуем это уравнение, введя вместо Х новую функцию 97 9 18 ФУНКЦИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ КВАЗИЧАСТИЦ Тогда уравнение (18.1) примет вид 2 т2 (ш — пуп)с)и, (и) = 1спР—" Г 4 (п, и')77 4(п') с(о' (18.3) (обозначение 1 заменено на п'). Это уравнение по форме в точности совпадает с кинетическим уравнением (4.10) для колебаний ферми-жидкости. Сравнение обоих уравнений приводит к следующему соответствию между функцией взаимодействия квазичастиц и функцией Г 174 од(ррп7 ррп ) = Я Г74 72(п7 п').
(18.4) Тем самым выясняется связь между функцией 7 и свойствами рассеяния квазичастиц'). Равенство (18.4) связывает у с амплитудой нефизического процесса рассеяния. Воспользуемся теперь формулой (17.17) и получим с ее помощью явное соотношение между 7 и «физической» амплитудой рассеяния вперед для квазичастиц на ферми- поверхности, которую обозначим как Атз о72(П27 П2) = Я Г"4 о,~(П27 П2).
(18.5) Соотношение (17.17) на ферми-поверхности принимает вид А 4, о,~(П27 П2) = до' (18.6) =774 о73(П17 П2) Дс' ГГЯ(П1, П )А774 ~7з(П 7 П2) —. (2х) 2 ох,/ 477 Сливовая зависимость функций А и 7' может быть выражена с помощью матриц Паули о'. В общем случае эти функции могут содержать любые скалярные комбинации четырех векторов Пм П2, Гтм о2. Но если взаимодействие между частицами является обменным, то допустимыми скалярными произведениями являются лишь п4п2 и сг7 о2. Тогда функции А и у можно представить (как это было уже сделано для у в (2.4)) в виде 2 Д«,о77(П77 П2) = ь'(д)Аотб77«+ С(д)сг Гопбд7 7Г ЕГ (18.7) 2 ~У А.4 од(П27 П2) = В(д)71 бд4+ С(д)гг о4д, 7Г ЕУ ") Изложенный обпгий вывод принадлежит Л.
Д. Ландау (1958). Для слабо неидеальнОго ферми-газа вывод кинетического уравнения путем суммирования конкретных диаграмм типа (17.3) был ранее произведен А. Б. Мигдалом и В. М. Галицким (1958). Заметим, что в случае газа в С-функциях (в нулевом приближении) отсутствуют неполюсные члены, и потому вопрос об их исключении не возникает. 4 е.м.л ф юл,п,п 7 с в 98 ГРинсеские Функции ФеРми-системы ИРи т = е ГЛ. И где коэффициенты Г, С, В, С функции только от угла д между п1 и пз. Эти функции разлагаем по полиномам Лежандра В(с) = ~(21+ 1)В!Р!(сов д),... (18.8) г=е Подставив (18.7), (18.8) в (18.6) и вычислив интеграл, используя при этом теорему сложения для полиномов Лежандра, получим В! = У)(1 — В!), С! = С1(1 — С1).
(18.9) Этими формулами устанавливается простая алгебраическая связь между коэффициентами разложений 1 и А. Условия устойчивости (2.19), (2.20) приводят к аналогичным неравенствам для коэффициентов В1! С1! В, < 1, С, < 1. (18.10) Кроме того, эти коэффициенты удовлетворяют соотношению, являющемуся следствием формулы (17.19): В(0)+С(0)=0 или ~(21+1)(В!+ С1) = О. (18.11) !=а Равенства (18.9) и (18.11) вместе с условиями (18.10) достаточны для доказательства интересного утверждения: во всякой устойчивой ферми-жидкости существует по крайней мере одна ветвь (обычная или спиновая) аксиально-симметричного нулевого звука').
9 19. Тождества для производных от функции Грина В математическом аппарате функций Грина существенную роль играют некоторые тождественные соотношения между производными от этих функций и амплитудой рассеяния квазичастиц. Вывод этих соотношений однотипен: вычисляется изменение гриновской функции под влиянием некоторого фиктивного «внешнего поля», результат воздействия которого на систему известен заранее. Поэтому прежде всего вычислим изменение сС гриновской функции под влиянием «внешнего поля» произвольного вида.
Такому полю соответствует в гамильтониане член (19.1) ) См. Я. В.Мегт!П,~~ РЬуе. Кеу. 1967. У. 159, Р. 161. тождестВА для пРОизВОдных От Функции ГРинА 99 Рг Р1 причем такой линии сопоставляется множитель ОГОГГ(Р Р ) ° 1РЗХГ(т — 1Р1Х (4Х (Гй 2) В первом порядке по внешнему полю поправка к точной функции Грина изображается суммой двух скелетных диаграмм Р, Юг гбС(Р1 Рг) = Рг е ' и РГ ('11 г (19.3) где все сплошные линии - жирные (точные С-функции), а кружок точная вершинная функция (гТ). В аналитическом виде это равенство записывается как бСЗ (Рг, Р1) = СР (Рг)б~1(Ръ Р )Сто(Р )— — газ(Р2)СОХ(Р1) Губ,ео(Р2, (у1, 'Р1, (ег) Х х бсгфг, 91)Сснфг)С. уЯ1), (19.4) причем 92+ Р1 = Р2+ Я1.
Первые два из интересующих нас тождеств связаны с сохранением числа частиц в системе. В гамильтониане системы это свойство выражается тем, что гр-операторы входят в него парами: по одному 1р+(Х) и 1р(Х) для каждого аргумента Х. Произведем калибровочное преобразование ф-операторов: Фо(Х) = 1р' (Х)е 'х(Х) 1кт = 1Р Фе'х(Х) (19.5) где Х(Х) вещественная функция'). В силу указанного характера гамильтониана, если 1р удовлетворяет «уравнению ') Это преобразование аналогично калибровочному преобразованию в квантовой злектродинамике (см. 111,(111.8), (111.9)). где 60 . - некоторый оператор, действующий на функции от г (и могущий зависеть также от времени 1). При наличии внешнего поля функция Грина зависит уже от двух 4-импульсов Р1 и Рг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
