IX.-Статистическая-физика-часть-2 (1109682), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Остается лишь перейти к импульсному представлению. Для этого умножим равенство (15.12) на ехр(4Р(Х1 — Х2)) и проинтегрируем по с(4(Х1 — Хз), представив Лз1 зз в виде (15.5), а (71з в виде (13.9). Тогда интегрирование по 4-координатам дает б-функции, которые устраняются интегрированием по 4-импульсам. В результате получим (С(0) — 1(Р)С(Р) 1)о АР АР = — к~К„о 7Р(Рз! Р4, 'Рз+Р4 — Р, Р)(7(Р— Р4) ' (15.13) (2к)э с С(0)(Р) из (9.7). Теперь осталось выразить К через Г. Подставив (15.7) в (15.13), получим окончательно уравнение Дайсона в виде . (С(0)-1(Р) — С-1(Р)! = . В(Р) = = Т1(0)п()!)6 и+16 З~Б(Р— Р1)С(Р1) '+ (2к) 4 +~Гуо,тз(Рз, Р4, Рз + Р4 — Р, Р)С(Рз)С(Р4)С(Рз + Р4 — Р) х х (7(Р— Р ) э 4 (Гб 14) (2к)э ) Оно аналогично уравнению Дайсона в квантовой электродинамике (см.
1У, ~ 107). 85 АмплиттдА РАссеяния квлвичАстиц Здесь п(д) - точная плотность системы как функция ее химического потенциала; этот множитель возникает от интегрирования С-функции по формуле (7.24) (при этом учитывается, что данная С-функция возникла от свертки, в которой Ф+ стоит слева от Ф). Отметим, что первый член в правой части уравнения (15.14) есть Е, (14.11).
8 16. Связь вершинной функции с амплитудой рассеяния квазичастиц Математический аппарат, развитый в предыдущих параграфах, дает возможность строго обосновать и более глубоко понять смысл основных соотношений теории ферми-жидкости Ландау, которые были введены в гл. 1 до некоторой степени интуитивным образом. Этому посвящены 8 16 - 20'). Существует тесная связь между вершинной функцией и амплитудой взаимного рассеяния квазичастиц.
Для лучшего уяснения этой связи рассмотрим ее сначала в рамках чисто квантовомеханической задачи о рассеянии двух частиц в вакууме. В квантовой механике «четыреххвостикин - диаграммы с четырьмя вне|пними концами (двумя входящими и двумя выходящими) отвечают процессу столкновения двух частиц, при этом в аналитическом выражении диаграммы ее внешним концам сопоставляются амплитуды волновых функций (плоских волн) свободных частиц (см.
1Ъ',8106). Проследим, каким образом такие диаграммы различных порядков действительно дают последовательные члены обычного нерелятивистского борновского разложения амплитуды рассеяния. Прежде всего в случае вакуума большое число диаграмм вообще обращается в нуль. Это проще всего понять в координатном представлении, заметив, что в вакууме равны нулю все свертки вида (Ф'РФ), в которых оператор уничтожения стоит справа и действует на вакуумное состояние первым, остаются только свертки вида (ФФ ~). Поэтому обращаются в нуль все диаграммы с замкнутыми петлями сплошных линий - — они всегда содержат свертку вида (Ф+Ф). По той же причине равны нулю все поправки к гриновской функции, т.
е. к внутренним сплошным ') Содержание 816 — 18 принадлежит Л.Д. Ландау (1988), н содержание 119> 20 -- Л.Д. Ландау и Л. П. Питаевсному (1989). 86 ГРиноеские Функции ФеРми-системы пРи т = е ГЛ. П линиям диаграмм'). Наконец, равны нулю диаграммы с перекрещивающимися штриховыми линиями; так, в диаграмме 1 2 2 1 (здесь цифры 1 и 2 означают аргументы гг и 1э) при 1э ) г! верхней внутренней линии отвечает свертка (2РЕ 2Р!) = О, а если 1э ( 1!, то свертка (2РТ 2РЕ) = 0 отвечает нижней линии. Таким образом, для двух частиц в вакууме остаются только следующие диаграммы, образующие, как говорят, к!лестничный ряда: Р 1 ч.— Р ч — 2 ч — м — ч — 2- !в + + + +(3еэ4) (161) Р4 -Рз Внутренним сплошным линиям в них отвечают вакуумные функ- ции Грина ! С2'~~~(!о, р) = ц! — Р + 40~ 2т (16.2) ) Исчезновение всех поправок к гриновской функции в вакууме выражает собой просто тот факт, что одной частице не с чем взаимодействовать.
Напомним в этой связи, что существование вакуумных поправок к функции Грина частицы в релятивистской теории связано с возможностью появления в промежуточных состояниях виртуальных электронных пар и фотонов. (формула (9.7) с р = 0). Обратим внимание на то, что (ввиду отсутствия слагаемого !г в знаменателе) полюс этой функции всегда находится в определенной (нижней) полуплоскости комплексного ш, Обращение в нуль перечисленных выше диаграмм возникает, с математической точки зрения, именно вследствие расположения всех полюсов подынтегральных выражений в одной пслуплоскости; обращение интегралов в нуль становится очевидным при замыкании пути интегрирования в другой полуплоскости. Лестничный ряд (16.1) можно просуммировать, сведя его к интегральному уравнению (ср.
ниже суммирование аналогичного ряда (17.3)). Если сначала опустить диаграммы с псрсставленными концами 3 и 4, это уравнение окажется эквивалентным 87 АмилитэдА РАссвяния НВАзичАстиц уравнению Шредингера для двух частиц без учета их тождественности, записанному в импульсном представлении (уравнение (130.9) (см. П1)). Соответственно, вершинная функция Г выразится через амплитуду рассеяния / двух частиц формулой (16.3) Гтд,„д(Рз, РА, Рм Рз) = Б .„б,и — /. Прибавление же диаграмм с переставленными концами 3 и 4 приводит к антисимметризации амплитуды, как это и должно быть для фермионов. В первом приближении теории возмущений остаются лишь первая диаграмма (16.1) и диаграмма с пере- ставленными концами, в которые С1'~") вообще не входит.
Для амплитуды рассеяния тогда получится обычная формула первого борновского приближения. Последующие диаграммы после проведения интегрирования по промежуточным частотам, дают известные выражения для поправок к амплитуде в следующих борновских приближениях. В ферми-жидкости взаимодействие сталкивающихся частиц с частицами среды приводит к их эффективной замене квази- частицами. Все связанные с этим взаимодействием поправки к внутренним линиям диаграммы автоматически учитываются определением функции Г. Дополнительного учета требуют, однако, поправки к внешним линиям. В квантовой теории поля показывается, что уже в силу общих требований унитарности матрицы рассеяния зти поправки приводят к появлению в амплитуде рассеяния по множителю А/2 на каждый свободный конец, где У вЂ” перенормировочная постоянная функция Грина (см.
1Ч,3110); для диаграмм с четырьмя концами это означает умножение на У~. Хотя изложенный там вывод справедлив и для квазичастиц в ферми-жидкости, поясним здесь происхождение этого множителя также и с помощью более простых (хотя и не строгих) рассуждений. Дело в том, что гриновская функция жидкости вблизи своего полюса (первый член в (10.2)) отличается от гриновской функции идеального газа только множителем Я. Если ввести вместо Ф и Ф Р операторы Ф, = Ф/ъ~2, Ф~, = Ф Р/А/Т, то составленная из них гриновская функция С = С/Я будет выглядеть вблизи полюса в точности как для идеального газа.
В этом смысле эти операторы можно рассматривать как 4-операторы идеального газа квазичастиц. Определенная по ним двухчастичная функция Грина будет К, = К/Я~, и, следовательно (согласно определению (15.7)), вершинная часть Г, = ГЯз, что и требовалось. 88 ГРиновские Функции ФеРми-системы ИРи т = В ГЛ.
И В применении к квазичастицвм представляет интерес не столько сечение рассеяния, сколько число столкновений (в 1 с в 1 ем жидкости). Для столкновений с заданным изменением импульсов и проекций спинов частиц (р1а, р211 — Р рзт! р4Б) такое число дастся формулой 12444!3(~ 3! Р4! ! 1! "2)~ В(43 + е4 41 е2) х (2!1)2 причем р1+ р2 = рз+ р4! а пр — функция распределения квази- частиц.
Множители пр! и пр2 выражают собой просто тот факт, что число столкновенйй квазичастиц с заданными начальными импульсами и (проекциями спинов) пропорционально числам таких кввзичастиц в единице объема. Множители же (1 — пр ) и (1 — пр4) связаны с тем, что, согласно принципу Паули, столкновение может произойти, только если конечные состояния свободны. З 17. Вершинная функция при малых передачах импульса Я+К Р,+К Я Р2 (17.2) Важную роль в теории ферми-жидкости играет вершинная функция при близких значениях пар переменных Р1, Рз и Р2, Р4 (мы увидим, в чаСтнОСти, чтО Она тЕСнО СвяЗана С функциЕй взаимодействия квазичастиц). Имея в виду связь Р1 + 1 2 = 1 3 + 1 4.! положим Рз = Р, + К, Р4 = Р2 — К и введем упрощенное обозначение Р 4 В(Р +К, .Р2 — К; Р1, Р2) = Р 4 1З(К:, Р1, Р2); (17.1) мы будем рассматривать зту функцию при малых значениях К.
В терминах процессов рассеяния квазичастиц это значит, что рассматриваются столкновения с малой передачей 4-импульса, близкие к «рассеянию вперед>. При К = 0 функция Г имеет, как мы увидим, особенность; нас будет интересовать именно та часть функции, в которой заключена эта особенность. Происхождение последней легко понять из рассмотрения скелетной диаграммы г 217 ни»шинная еункция пги МАлых пвгвдачАХ импульсА 89 заключающей в себя ту совокупность диаграмм двухчастичной функции Грина, которые могут быть рассечены между парами концов Р1, Ра и Р2, Р«на две части, соединенные между собой двумя сплошными линиями'). Двум соединительным жирным линиям отвечают точные одночастичные гриновские функции С(Я) и СЯ + К), причем по 4-импульсу Я в диаграмме производится интегрирование. При К -+ О аргументы этих двух функций сближаются, а потому сближаются и их полюсы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
