IX.-Статистическая-физика-часть-2 (1109682), страница 12
Текст из файла (страница 12)
(12.11) В силу унитарности о по такому же закону преобразуются и операторы ч>~ . Выразим теперь функцию Грина через 1р-операторы в представлении взаимодействия'). Пусть 11 ) 12, тогда Сод(Х1> ХЗ) = — г(Фа(11)Ф13 (12)) = = — '(о ~(11> — Оо)Фоо(11)о(11> — Оо)о ~(12> — со)х х Фод(12)О(с2 ОО)). Согласно (12.9) имеем С(«1> — СО)О (»2> — ОО) = = О(«1> «2)О(«2> — ОО)О («2> — СО) = О(»1>»2)> (11, — ) = У (11, — )~ (, 11)У(ОО, 11) = = о' 1(со, — оо)о(оо, 11) ') Этот вывод повторяет рассуждения в 1»', 3 103.
3 е.м.лф жл.п,п «в в Фе(1) = У(1, — )Ф. (12.10) Установив, таким образом, связь между волновыми функциями в обоих представлениях, мы устанавливаем тем самым и закон преобразования операторов, в том числе ф-операторов: 66 ГРиноеские Функции ФеРми-системы пРи т = е гл. и Подставляя в предыдущее выражение, получим г =г! ., — ! =т,,г (-')' г!Ел(. (12.13) Вычисления при ~! ( 12 отличаются от произведенных лишь обозначениями, и окончательный результат (12.12), (12.13) справедлив при любых 11, 12. Произведенное преобразование нс зависит от того, по какому состоянию системы подразумевается усреднение.
Но если усреднение производится по основному состоянию (как в (12.12)), то преобразование может быть продвинуто еще и дальше. Для этого заметим, что адиабатическое включение или выключение взаимодействия, как всякое адиабатическое возмущение, не может вызвать перехода с изменением энергии квантовой системы (см. П1, з 41). Поэтому система, находившаяся в невырожденном состоянии (каковым и является основное состояние), в этом состоянии и остается. Другими словами, действие оператора Я на волновую функцию Ф = Фо( — сс) должно сводиться к умножению на (несущественный для состояния) фазовый множитель среднее значение с в основном состоянии: сФ = (с)Ф. Точно так же Ф*с 1 = (с) ~Ф*.
Таким образом, окончательно получаем следующую формулу для функции Грина, выраженной через операторы в представлении взаимодействия'): !С л(Х1 Х2) = =(Т(Фее(Х1)ЬОЗ(Х2)Я (12.14) (Ж ) Отметим некоторую условность обозначений в (12.14): хотя символ Т в нем фигурирует дважды (в явном виде и в определении Я), в действительности же все множигелн в произведении дм!жны расставляться в единой хронологической последовательности. с„„(х, х ) = — 1(с (ОО, — СО)с(СО, г1)те (ь1)с(г1, г2) иод(12)®12 — СС)).
Понимая операторы о как произведения (12.7), мы видим, что все множители в усрсдняемом выражении, начиная со второго, расположены в хронологическом порядке справа налево от ~= — оо до 1=ос. Поэтому можно написать С 11(Х1, Хг) = — !(С' Т(чгоо(г1))Егер(~2)Я)), (12.12) где обозначено 1 13 дилггАммвля твхникл для эками-снствм По смыслу этого представления усреднение в (12.14) производится по основному состоянию системы свободных частиц. Действительно, свойства операторов Фо совпадают со свойствами гейзенберговских операторов Ф в отсутствие взаимодействий, а гейзенберговская волновая функция Ф от времени не зависит, так что совпадает со своим значением при 1 = †, когда взаимодействие отсутствует. Поэтому, в частности, (ТФе (Х1)В~од(Хз)) = гС з(Хы Хз) (12.15) есть функция Грина системы невзаимодействующих частиц.
3 13. Диаграммная техника для ферми-систем Смысл символических выражений типа (12.14) состоит в том, что они дают возможность легко написать последовательные члены разложений по степеням Р. Так, (ТФо (Х)Фод(Х )~) = 00 00 =Е( ) ~., ~..(ТФ..(Х)Ф~(Х) Б(п). Ъ(~.)), — 00 — 00 (13.1) а выражение для (о') отличается от написанного лишь отсутстви- ем множителей ФоОФ+~ под знаком Т-произведения. Как уже было указано, оператор 1ге(г) в представлении взаимодействия получается из (7.7) заменой всех Ф на Фо. Вычисление последо- вательных членов разложения (13.1) сводится, следовательно, к вычислению средних по основному состоянию от Т-произведения различного числа ф-операторов свободных частиц. Эти вычисления в значительной степени автоматизируются с помощью правил диаграммной гпехники, которые, однако, суще- ственно зависят от характера исследуемой физической системы.
Излагаемая в этом параграфе техника относится к несверхте- кучим ферми-системам, причем взаимодействие частиц предпо- лагается парным и не зависящим от спинов. Соответствующий оператор взаимодействия: ~'а(г) = = -/ Фд,„(1, г1)Ф<ц(1, гз) У(г1 — гз)Фод(1, г2)Фот(1, г1)п *1п тз, (13.2) 68 ГРиновские Функции ФеРми-системы ИРи т = е Гл. и где 11'(г! — гэ.) энергия взаимодействия двух частиц (индексы (2) у »1 и 5! опускаем). Среднее значение произведений 1)1-операторов вычисляется с помощью тпеоремы Вина, которая гласит '): Среднее от произведения любого (четного) числа операторов з! и 1Р~ равно сумме произведений всех возможных попарных средних (сверток) этих операторов. В каждой паре операторы стоят в той же последовательности, что и в первоначальном произведении.
Знак каждого члена в сумме определяется множителем ( — 1), где Р число перестановок операторов, которые надо произвести, чтобы поставить рядом все усредняемые операторы. Отличны от нуля лип!ь свертки, в которые входит один оператор 1Р и один 1Р+: в диагональном матричном элементе все частицы, уничтожаемые оператором 1Р, должны быть вновь рождены оператором 1Р+.
Ясно поэтому, что среднее от произведения нескольких 1)1-операторов может быть отлично от нуля, только если в нем содержится одинаковое число операторов 1Р и !Р+. В применении к среднему от Т-произведения теорема Вика позволяет выразить его через средние от попарных Т-произведений, т. е., согласно (12.15), через гриновские функции свободных частиц. Сделаем это для поправки первого порядка в функции Грина системы взаимодействующих частиц. Предварительно отметим, что при раскрытии по теореме Вика выражения в числителе формулы (12.14) возникают, в частности, члены вида (ТФе (Х!)Ф,+„,(Хз))(Я) = »С,~(Хз! Хз)(5), (13.3) в которых пара «внешних» (по отношению к с) 1)1-операторов сворачивается между собой; выражение же (о) содержит (в каждом члене его разложения) лишь свертки «внутренних» операторов между собой.
Множитель (с) целиком сокращается со знаменателем в (12.14), и, таким образом, все эти члены дают просто «невозмущенную» гриновскую функцию »С,~. <о) Оставив в (13.1) два первых члена разложения, подставив (13.2) и переобозначив переменные, получим »С,~(Х!, Хэ) = »С,~ + гС,~, (о), (ц 1 ) Чтобы не разбивать изложения, доказательство этой теоремы отложим на конец параграфа. 11З ДИАГРАММНАЯ ТЕХНИКА ДЛЯ ФЕРМИ-СИСТЕМ где 4С~,~ —— — -'(ТФоо(Х1)Ф,,3(Х2) х х ~ М~й хзгб х4ФО (б, гз)Фо~з(б, Г4)ср (гз — Г4)Фоз(бр г4)ФОТ(б, гз)).
Для большей компактности записи формул введем обозначение ьг(Х1 Х2) = У(Г1 Г2)о(11 г2) ° (13.4) Тогда ') гС12 = — — (™2Ф Фз Ф4 Ф4Ф3) бр34 ср Хзср Х4р 2,/ где г14Х = Жб13х. Чтобы усреднить по теореме Вика, выпишем р р р бр, у . р р (тбзб,р,рбО бб1т1~~э, эртелю,аб, ° +т,б1б,'е,'б,б, рбИИЯт,рр Согласно сказанному выше опущены члены, содержащие свертку Ф~Ф2 . Попарно сворачиваемые (соединенные дугами) операторы надо переставить к соседству друг с другом.
Так, первый из написанных членов означает произведение (ТФ1ФЗ ) (ТФ 2 Ф4) (ТФ4 ФЗ) р а последний (ТФ1Ф4 ) (ТФ2 Ф4) (ТФз ФЗ). Свертки произведений б)-операторов различных аргументов заменяются согласно ""+ . О + . О Ф1Ф1 — (ТФ1ФЗ ) 1СН Ф2 Ф4 1642 и т п ) Здесь и ниже для упрощения записи особенно громоздких выражений условимся опускать индекс у рге, а цифровыми ицдексами 1, 2,... обозначать совокупность значений аргумента Х и спинового индекса: й, = й.(х,), й, = р,(х,),...
См = С Е(ХИ Хз), Ум = У(Хб — Хз). 70 ГРинсвские Функции ФеРми-системы ИРи т' = о гл. и Свертки же гр-операторов одинаковых аргументов представляют собой пространственную плотность числа частиц в идеальном газе (обозначим ее через п(о)), понимаемую как функцию химического потенциала '): (13.5) Таким образом, получим 4~12 = / с' Хзс~ Х4 ' ~34! ~13 ~34 ~42 ~14 ~43 ~32 + (Ц 1 / 4 4 (О) (О) (О) (О) (О) (О) 2,/ + (О)С(~)С( ) + (о)С(~)С(~)) Эти четыре члена попарно равны друг другу — они отличаются лишь обозначением переменных интегрировании Хз и Х4. В результате множитель 1/2 исчезает и, таким образом, поправка первого порядка в функции Грина содержит всего два члена: (сг12 = ~ с!34(тн сг14 сг42 — сг13 сг34 сг42 )с! ХЗ с! Х4.
(13.0) (1) ! (О) (О) (О) (О) (О) (О) 4 4 Структуру этих членов удобно изобразить графически с помощью следующих диаграмм Фейнмана: (13.7) 1 4 2 1 3 4 2 На этих диаграммах сплошная линия 4 4 — 2 означает свертку + ггзгг2 (т. е. функцию 4С42 ); цифры указывают номера перемен- (О) ных Х4 и Х2, от которых зависят свертываемые операторы, а направление стрелки отвечает направлению от гр+ к гг в свертке.
Свертка !е ' !Р двух операторов, зависящих от одних и тех же поременных (т, е, плотность н(о)), изображается соответственно петлей — сплошной линией, «замкнутой на себя». Штриховая линия 34 означает множитель 1134. По всем переменным, обозначенным у внутренних точек диаграммы (точки пересечения линий), подразумевается ) Такие свертки всегда происходят от !)!-операторов, входящих в состав одного и того же оператора взаимодействия )г. Поэтому в таких членах !р~ всегда стоит слева от !р.
б 13 71 ДИАГРАММНАЯ ТЕХНИКА ДЛЯ ФЕРМИ-СИСТЕМ интегрирование. Переменные (Х1 и Хо), обозначенные у «внешних концов» диаграммы, остаются свободными. Члены первого порядка, происходящие из (13.3), изобразились бы диаграммами, распадающимися на две отдельные части прямой отрезок (4С д) и фигуру с замкнутыми петлями (о) сплошных линий, например, Вдумавшись в способ свертывания операторов и структуру соответствующих диаграмм, можно понять происхождение общего правила; во всех порядках теории возмущений роль множителя (с) 1 в (12.14) сводится к тому, что должны учитываться лишь «связные» диаграммы с двумя внешними концами, не содержащие «отсоединенных» петель без внешних концов, не связанных с другими частями диаграммы ни сплошными, ни пггриховыми линиями (ср. аналогичную ситуацию в квантовой электродинамике см. 1Ъ', З 100).
Сокращение коэффициента 1,12 в (13.6) есть проявление общего правила: не надо учитывать (в членах и-го порядка) множитель 1,1п), происходящий от разложения (13.1), и множитель 2 ", возникающий от коэффициентов 1112 в (13.2). Действительно, диаграммы п-го порядка содержат по п штриховых линий 1й.
Множитель 111п! сокращается от приведения членов, отличающихся перестановками пар чисел г, Й между всеми и штриховыми линиями. Множитель же 2 " сокращается от перестановок чисел г, )с между концами каждой из этих линий. Окончательные правила диаграммной техники мы сформулируем для вычислении функции Грина не в координатных, а сразу в импульсном представлении, наиболее важном для физических применений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
