IX.-Статистическая-физика-часть-2 (1109682), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Таким образом, окончательно 46 ноРмАльнАН ФЯРми-жидкость Гл. ! имеем Е(2) 2пгкг ~~-~ п;тпг — (пге + пг ) Ргргрг (6.12) Эта сумма (в которой все пр„— + 0 при р — + оо) уже сходится. С помощью полученных формул можно прежде всего вычислить энергию основного состояния. Для этого надо положить все про равными единице внутри ферми-сферы (р < рр = = й(Згг~Л'/'Р')ь~з) и равными нулю вне ее.
Заметим в этой связи, что хотя в исходном гамильтониане собственные значения операторных произведений а~ь„аро дают числа заполнения состояний самих частиц газа, но после диагонализации гамильтониана с помощью теории возмущений мы уже имеем дело с функцией распределения квазичастиц (обозначенной нами, как и в предыдущих параграфах, через про). Замечая, что 2 прт — — 2 нр — — Х/2, получим из (6.11) поправку первого порядка Е( ) = д)г'~/4К (2Е6)" 0(Р1+ Р2 — Р1 — Р2)" Р1с1 Рэс1 ргс1 Р2, так что Н(2) 4пгК р 1 Б(рг+Рг — Рг — Рг)гз,43 (3 ! ~З ! причем интегрирование происходит по области р1, р2, р1 < рр. Вычисление интеграла') приводит к следующему окончатель- ному результату для энергии основного состояния: пз', Г1 а„, Ап-иьг) („, )) 0 = 10т ~ 9к 6 21пг 6 где величина, стоящая перед скобками, - энергия идеального ферми-газа (К.
Ниапо, С.Х. Уапд, 1957). ) Фактически проще производить вычисления в другом поркдке, начав с вычисления функции 1 (см. ниже). В формуле (6.12) заменяем суммирование по трем импульсам с учетом условия р1+ р2 = р~1 + р2 интегрированием по ИОРмАлънАя ФеРми-жидкость Окончательный результат должен быть представлен в виде (2.4), не зависящем от выбора оси квантования спинов. В таком виде он дается формулой 1+ з1п— 1+ 2арг ло+ соз д 1 2 х6 д д 2 «1п — 1 — з1п— 2 2 бодо уд 1+ 1 — — ейп — 1п о дазд (6.16) где д угол между векторами рр и р'р (А.
А. Абрикосов, И. М. Хилатникое, 1957) '). Эффективная масса квазичастиц получается отсюда интегрированием по формуле (2.12) и равна — = 1+ (71п2 — 1) ( ~~) (6.17) Формула же (2.17) позволяет найти скорость звука в газе: 2 рзг ~ 2 орг 8(11 — 21п2) (арг, ')2 Зпгз ( х 6 15хз 1 6 (6.18) ') Функция (6.16) обращается логарифмически в бесконечность при д = л. Это обстоятельство связано со сделанными пронебрежениями. Более точное исследование показывает,что хотя значение д = х действительно является особой точкой функции,но последняя обращается вней ие в бесконечность, а в нуль (см. примечание на с.
285). Неприменимость формулы (6.16) вблизи д = л несущественна для дальнейших приложений, в которых фигурируют интегралы, сходящиеси в этой точке. Интегрируя затем величину и~т(111 (выраженную через )1(('г' вместо рр) по с()у', найдем, согласно (2.13), химический потенциал газа, а еще одно интегрирование по !(1»г приведет к выражению (6.13) для энергии основного состояния.
Формула (6.13) представляет собой первые члены разложения энергии газа по степеням «параметра газовости» з)=рра(6 а(зт('г')1(з. Аналогичными, хотя и значительно более громоздкими вычислениями можно было бы получить еще и несколько следующих членов разложения. Дело в том, что в случае ферми-газа тройные столкновения вносят вклад в энергию лишь в сравнительно далеком приближении. Из трех сталкивающихся ВыРО?кденный почти идеАлъный ФеРми-ГАз 43 частиц по крайней мере две имеют одинаковую проекцию спина; при этом координатная волновая функция системы должна быть антисимметричной по отношению к этим двум частицам.
Это значит, что орбитальный момент относительного движения этих частиц равен по крайней мере 1 (р-состояние). Соответствующая волновая функция содержит лишнюю (по сравнению с волновой функцией э-состояния) степень рф (см. П1, З 33), и, следовательно, вероятность такого столкновения содержит лишнее р, т. е. ослабляется в (ро/6)з 21з рвз по сравнению с вероятностью «лобового» столкновения частиц, неподчиняющихся принципу Паули.
В результате тройные столкновения дадут вклад в энергию лишь в членах, содержащих объем как Ъ' ~$' ~ГА. Другими словами, через характеристики одних только парных столкновений выражаются все члены разложения энергии вплоть до членов порядка 2 й1"— ' 1э включительно (т. е. еще три члена, следующих за выписанными в (6.13)). Однако в числе характеристик парных столкновений будет фигурировать не только амплитуда е-рассеяния для медленных столкновений (как в (6.13)), но и ее производные по энергии, а также амплитуда р-рассеяния. ГЛАВА 11 ГРИНОВСКИЕ ФУНКЦИИ ФЕРМИ-СИСТЕМЫ НРИ Т = 0 8 7.
Функция Грина макроскопической системы Примененный в предыдущем параграфе метод становится громоздким и практически неприменимым в высших приближениях теории возмущений. Этот недостаток тем более существен, что в реальных физических задачах взаимодействие между частицами отнюдь не является слабым, так что для выяснения различных общих свойств макроскопических систем требуется рассмотрение бесконечных совокупностей членов ряда теории возмущений. Для преодоления подобных трудностей существует математическая техника, подобная той, которая применяется в квантовой теории поля.
Конкретная форма этого математического аппарата существенно зависит от характера макроскопической системы, к которой она должна применяться. Последующие параграфы этой главы посвящены развитию аппарата для ферми-жидкости при абсолютном нуле температур '). При этом изложение имеет своей целью не только фактическое применение метода к данному объекту, но и демонстрацию того, каким образом вообще строится такой аппарат. Исходным материалом в нем являются вторично-квантованные у-операторы, свойства которых известны из квантовой механики (см. 1П, 864, 65). Нам сейчас понадобятся эти операторы в гейзенберговском представлении, в котором они зависят явно от времени.
Поэтому мы начнем с выяснения некоторых свойств ф-операторов в этом представлении. Мы будем рассматривать системы, составленные из частиц со сливом 1/2. Соответственно этому, у)-операторам должен быть приписан индекс, указывающий значение проекции спина и пробегающий значения ~1/2; сливовые индексы будем по-прежнему обозначать буквами греческого алфавита, а по дважды повторяющимся индексам подразумевается суммирование.
По общему правилу (см. 1П, 8 13) оператор Д~) любой физической величины в гейзенберговском представлении выражается через не зависящий от времени (шредингеровский) оператор 1 ) Систематическое построение этого аппарата принадлежит В.М. Галицкому и А.Б.
Мигдалу (Г9о8), Функци55 ГРинА мАкРоскопичвской систвмы той же величины согласно '). Д(Г) = е' ~е ' где Й гамильтониан системы. Здесь, однако, будет целесообразно несколько изменить зто определение. Дело в том, что в квантовой статистике удобнее рассматривать состояния системы не при заданном числе частиц Х в ней, а при заданном химическом потенциале 55. При этом основное состояние системы, в котором она находится при Т=О, можно определить как состояние с наименьшим собственным значением оператора Й' = Й вЂ” )55"э' (7.1) (а не Й, как при заданном 55').
Действительно, вероятность системе находиться (при заданном значении 15) в состоянии с энергией Я„и числом частиц 55г„равна (см. у', (35.1)), йе -- собственные значения оператора Й', и мы видим, что прй Т=О остается только состояние с наименьшим я„э). Таким образом, определим гейзенберговские у5-операторы о м лами ФР У р (1 ) 5Н 55гя ( ) — ГНч (7.2) 515+(1 г) 'йч5р+(г) — Гйч Мы будем обозначать гейзенберговские 5))-операторы заглавной буквой Ф, а шредингеровские строчной буквой 5)5.
Шредингеровские ф-операторы удовлетворяют известным правилам коммутации. Коммутаторы же гейзенберговских операторов, взятых в различные моменты времени 1 и Г', нельзя вычислить в общем виде. Однако при 1 = 1' их правила коммутации совпадают с правилами для шредингеровских операторов. Так из правила фо(г)ф+(г') + ф+(г')4о(г) = до„б(г — г') ') С целью упрощения записи формул мы будем широко пользоваться сиСтемой единиц, в которой квантовая поСтОянная 6 = 1 (так что импульс имеет размерность см, а энергия — с ). Для перехода от этой системы к обычным единицам все импульсы р и энергии Е в формулах надо заменить на р556 и Е/6.
Такие единицы используются, в частности, в этой главе. ~) Мы будем называть оператор Й', как и Й, гамильтонианом. 46 ГРинсвские Функции ФеРми-системы НРи т = е ГЛ. Н следует аналогичное правило !Р (1, г)!Р "(1, г') + !Рд (1, г')!е (1, г) = = е!~ Я„(г)фд+(г') + !)!дт(г')ф,(г))е !~ ! = б дб(г — г'). (7.3) Таким же образом; (7.4) !Р (1, г)!Рд(1, г')+Ьд(1, г')Ф (~, г) = О, !р~(1, г)!р~(1, г ) + !рт(1, г )!р (», г) = О. Дифференцируя определение (7.2) по времени, найдем, что гейзенберговский у)-оператор удовлетворяет уравнению — ! — Ф (1, г) = Й'Ь (Ф, г) — !р (1, г)Й' э! (7.5) (см.
П1, (13.7)) Х = !)!~(г)!)! (Г) !1 х = Ф~(1, г)!р (1, г) !1зх. (7.6) Гамильтониан же системы взаимодействующих частиц имеет вид Й! й'Я + 1Г(1) + 1Г12) + Й (е) = — — ~!Р (1, г)ь!Р (~, г) !1~х — )тх, 1ГО) =/!р+(~, г)17!!)(г)!Р (~, г)!1"х, (77) 1, 1') = ' ~Р'(~, г)Р'(~, г')171з)(г — г')Р (~, г')Рд(~, г)!1зхс1зх!. "о' Здесь Н 1е) гамильтониан системы свободных частиц; 1Г!!) оператор их взаимодействия с внешним полем с!1 )(г); у'( ) оператор парного взаимодействия частиц, причем с!1 )(г — г') энергия взаимодействия двух частиц; опущенные члены †. тройные и т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
