IX.-Статистическая-физика-часть-2 (1109682), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Отметим также, что при таком определении элементарных возбуждений их энергия непременно положительна: это есть превыгпение энергии возбужденного уровня над энергией нормального уровня системы. Энергия же квазичастиц, определенная согласно (1.3), может быть как положительной, так и отрицательной. Более того, для жидкости при нулевых температуре и давлении величина ер = р заведомо отрицательна, а потому отрицательны и близкие к еА значения е. Это ясно из того, что при Т = 0 и Р = 0 величина — р совпадает с положительной величиной — предельным значением отнесенной к одной частице теплотой испарения жидкости. 3 2.
Взаимодействие квазичастиц Являясь функционалом от функции распределения квазичастиц, их энергия меняется при изменении этой функции. Изменение энергии при малом отклонении дп от функции распределения от «ступеньки» (1.10) должно иметь вид бе„В(р) = ~От,у(р, р')дп~.,(р') дт' (2.1) или, в более символическом виде, дв(р) = Бр'~Цр, р')бй(р') дт', где Ор означает взятие следа по паре спиновых индексов, отвечающих импульсу р'.
Функцию Г можно назвать функцией езаимодействил квазичастиц (в ферми-газе (т = О). По своему определению эта функция представляет собой вторую вариационную производную от полной энергии жидкости Е и поэтому симметрична по переменным р, р' и соответствующим им парам спиновых индексов: 1,Мр: р') = А-,ю(р' р) (2.2) С учетом изменения (2.1) энергия квазичастиц вблизи поверхности ферми-сферы дается суммой Г(р) — ВА = ия(р — рр) + Бр'~Ц(р, р')бй(р') г1т'. (2.3) В частности, для термодинамически равновесных распределений второй член в формуле (2.3) определяет зависимость энергии 20 ноРмАлънАя ФЕРми-жидкость Гл.
г или ) В явной матричной форме рь.т У, зь = Рб збзь+ Сгг зггзь (2.4а) квазичастицы от температуры. Отклонение бй' заметно отлично от нуля только в узком слое значений р' вблизи поверхности ферми-сферы, и в таком же слое находятся импульсы р реальных квазичастиц. Поэтому функцию г'(р, р') в формулах (2.1), (2.3) фактически можно заменить ее значением на самой этой поверхности, т. е. положить р = р' = рр, так что г" будет зависеть только от направлений векторов р и р'. Спиновая зависимость функции Г' связана как с релятивистскими эффектами (спин-спиновое и спин-орбитальное взаимодействия), так и с обменным взаимодействием. Последнее наиболее существенно.
С его учетом функция взаимодействия квазичастиц имеет (на ферми-поверхности) вид "",„,. У(р., р') = Р(д) + 'С(д), (2.4) где о", ег' матрицы Паули, действующие на соответствующие (т. е. отвечающие переменным р и р') спиновые индексы, а г' и С две функции угла д между р и р' "). Вид этого выражения связан с характерным свойством обменного взаимодействия: оно не зависит от ориентации полного момента системы в пространстве; поэтому операторы двух спинов могут входить в него лишь в виде скалярного произведения. Определенные, согласно (2.4), функции г' и С безразмерны. Введенный для этой цели в левой стороне (2.4) множитель представляет собой число состояний квазичастицы на ферми-поверхности, отнесенное к единичному интервалу энергий: 2Г?т [ 2 4ярРР (г?р1 бз ~з=з~ (2яо)з Абз/р РР РРт (2.5) яЗАЗР яЗЗЗ ' Поскольку след матриц??аули равен нулю, то после взятия следа Бр' второй член в (2.4) исчезает, так что Бр'? не зависит уже и от о'.
Такая независимость имеет место в действительности также и при учете спин-орбитального и спин-спинового взаимодействий. Дело в том, что скалярная функция Бр'у могла бы содержать оператор спина лишь в виде произведения в[рр'[ двух аксиальных векторов Й и [рр'[ (выражения же, квадратичные ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ КВАЗИЧАСТИЦ 21 по компонентам В, можно не рассматривать, так как для спина 1/2 они сводятся к членам, линейным по в и не содержащим в вовсе). Но это произведение не инвариантно по отношению к обращению времени и потому не может войти в инвариантную величину 8р /. Введем удобное для дальнейшего обозначение В.,(р, р') = б В/(р, р'), 7" = — ЯрБр'/т. (2.6) Из выражения (2.4) имеем (2.8) "'~™ 7"(д) = 2Р(д). (2.7) Функция взаимодействия квазичастиц удовлетворяет определенному интегральному соотношению, следующему из принципа относительности Галилея.
Прямым следствием этого принципа является совпадение импульса единицы объема жидкости с плотностью потока ее массы. Скорость квазичастицы есть де/др, так что поток квазичастиц дастся интегралом Яр / й — йт. ,/ др Поскольку число квазичастиц в жидкости совпадает с числом истинных частиц, то ясно, что полный перенос массы квазичастицами получится умножением потока их числа на массу т истинной частицы. Таким образом, получим следующее равенство: Бр~рййт = 8р т — пйт. ар Положив и А = пб А, е А = еб А, варьируем обе стороны (2.8).
Использовав (2.1) и обозначение / из (2.6), получим / = И рбпйт = т 1 — бпйт+т / Р' Р пбп'йтйт' = ,/ др ,/ др = тп~ — бпйт — т ( /"(р, .р ) — бпйтйт, /' а. / ~ дп' / ,/ др др' где и' = п(р') (во втором интеграле заменено обозначение переменных и произведено интегрирование по частям). Ввиду произвольности бп отсюда следует искомое соотношение д (2.9) др,/ др' Для ступенчатой функции п(р ) = д(р) 22 ИОРмАлънАя ФеРми-жидкость производная дп'/др' сводится к б-функции: (") = — Р б(р — рР).
(2.10) др р Подставив в (2.9) функцию е(р) из (1.12), заменив затем везде импульс р = рп значением рр = ррп на ферми-поверхности и умножив обе стороны равенства на рр, получим следующее соотношение между массой т истинных частиц и эффективной массой квазичастиц; — = — + РР / т"(д) соэдс1о', (2.11) т тп" (2яй)з у где йо' элемент телесного угла в направлении р'.
Если подставить сюда для /(д) выражение (2.7), то это равенство прини— = 1+ Р(д) сов д, (2.12) где черта означает усреднение по направлениям (т. е. интегрирование по до'/4я = эшд с1д/2). Вычислим еще сжимаемость ферми-жидкости (при абсолютном нуле), т. е.
величину и2 = дР/др'). Плотность жидкости р = тЛ/'Р', так что Ъл дР 2 и тЛ' ди Для вычисления этой производной удобно выразить ее через производную от химического потенциала. Заметив, что последний зависит от Х и Р' только в виде отношения Л/Ъ', а также, что при Т = сопэ1 = О дифференциал с1р = Ус1Р/1т', имеем дд Ъ' дд $'~ дР до' Х ди Лз дЪ' так что 2 Д Хд и вь дЖ Поскольку р = ЕР при Т = О, то изменение бд при изменении числа частиц на бЛ равно бд =~/(рр, р')бп'с1т'+ Ебрр.
(2.14) дрх Первый член в этом выражении изменение величины е(рР) благодаря изменению функции распределения. Второй же член (2.13) ) При Т = О также и о' = О, так что нет необходимости различать изотермическую и адиабатическую сжимаемости. Величина и определена как известное выражение скорости звука в жидкости. Следует, однако> иметь в виду, что фактически при Т = О обычный звук вообще не может распространяться в ферми-жидкости — см. 14. 23 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ КВАЗИЧАСТИЦ связан с тем, что изменение полного числа частиц меняет также и значение предельного импульса: в силу (1.1) имеем 6М = = 1гЯдрл/я265. Поскольку бп' заметно отлично от нуля лишь при р' — ру, то, заменив в интеграле функцию / ее значением на ферми-поверхности, можем написать У ' — '" =-' —" Яп'дт' — — I ~ с/о' / дп' — = -4 г/' —.
2,/,/ 4е 2 4ЗЪ' Подставив это выражение в (2.14) и введя т* согласно деу/дру = = ру/т*, получим ю А + (2.15) Наконец, взяв 1/т* из (2.11) и снова учтя (1.1),получим окончательно и2 = ~~, + — ( ~~ ) 4/ /(д)(1 — сов д) до'. (2.16) С функцией 7(д) из (2.7) и с использованием (2.12) это выражение можно привести к виду и = Уг (1 + Г(д)).
(2.17) зтт* Функция 7" должна удовлетворять определенным условиям, возникающим из требования устойчивости основного состояния жидкости. Последнему отвечает заполнение всех состояний квазичастиц внутри ферми-сферы, и энергия этого состояния должна быть минимальна по отношению к произвольной малой деформации сферы.
Не приводя всех вычислений, укажем здесь лишь их окончательный результат"). Его удобно сформулировать, разложив функции Г(д) и С(д) из (2.4) по полиномам Лежандра, т. е. представив их в виде Г(д)= ~(21+1)Г/Р/(сов д), С(д)= ~ ~(21+1)С/Р/(сов д) (2.18) (при таком определении коэффициентов Г/ и С/ они совпадают со средними значениями произведений ГР/ и СР/). Тогда условия устойчивости записываются в виде неравенств Г/+1 > О, (2.19) С/+1 > О. (2.20) Сравнив условие (2.19) при 1 = 1 с выражением (2.12) для эффективной массы, убеждаемся в положительности последней.
Условие же (2.19) при 1 = 0 обеспечивает положительность выражения (2.17). 1) См. Померавчуе //. Я. // ЖЭТФ. 1958. Т, 35. С. 524, ноРмАльнАН ФеРми-жидкость 3 3. Магнитная восприимчивость ферми-жидкости Квазичастица с отличным от нуля спином обладает, вообще говоря, также и магнитным моментом. Для спина 1/2 оператор этого момента имеет вид )згг (е-проекция магнитного момента равна шр). Постоянная 2)3/й, определяющая отношение магнитного момента квазичастицы к механическому (гг/2), совпадает со значением такой же постоянной для истинных частиц: очевидно, что величина этого отношения не меняется при любом способе сложения спинов частиц в спин квазичастицы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
