IX.-Статистическая-физика-часть-2 (1109682), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Неотъемлемую часть математического аппарата современной статистической физики составляет аппарат грнновских функций. Это связано отнюдь не только с теми вычислительными удобствами, которые предоставляет диаграммная техника вычисления гриновских функций. Дело прежде всего в том, что гриновские функции непосрсдственно определяют спектр элсментарных возбуждений тела и потому являются тем языком, на котором свойства этих возбуждений наиболее естественно описывать. Поэтому в настоящем томе методическим вопросам теории гриновских функций макроскопических тел ..
уделсно значительное внимание. Хотя основные идеи метода одни и те же для всех систем, конкретный вид диаграммной техники различен в разных случаях. Представляется естественным в этой связи развивать эти методы на примере тех же изотропных квантовых жидкостей, где сущность метода выявляется в чистом пгвдисловик к пвгвомг издлнию виде, без усложнений, вносимых пространственной неоднородностью, наличием нескольких сортов частиц и т. п. По аналогичным причинам макроскопическую теорию сверхпроводимости мы излагаем на простой модели изотропного ферми-газа со слабым взаимодействием, отвлекаясь от усложнений, связанных с наличием кристаллической решеткии кулоновским взаимодействием. В связи с главами, посвященными электронам в кристаллической решетке и теории магнетизма, подчеркнем лишний раз, что предлагаемая книга — часть курса теоретической физики и ни в коей мере не призвана заменить собой курс теории твердого тела.
В соответствии с этим здесь рассматриваются лишь вопросы наиболее общего характера и не затрагиваются как вопросы, требующие использования конкретных экспериментальных данных, так и те из расчетных методов, которые не имеют под собой ясной теоретической базы. Напомним также, что к данному тому нс относятся кинетические свойства твердых тел, которые мы предполагаем рассмотреть в следующем, заключительном томе курса. Наконец, в этой книге излагаются также теория электромагнитных флуктуаций в материальных средах и теория гидродинамических флуктуаций.
Первая их них входила ранее в Ч1П том. Ее перенесение в настоящий том вызвано необходимостью применения гриновских функций, что позволяет придать всей теории более простой и удобный для применения вид. Кроме того, естественно рассматривать электромагнитные и гидродинамические флуктуации в одном томе. Л. Д. Ландау отсутствует среди фактических авторов этой книги. Но читатель легко заметит, сколь часто встречается его имя в тексте книги: ему лично или ему в сотрудничестве с его учениками принадлежит значительная доля излагаемых здесь результатов.
Многолетнее общение с ним дает нам основание надеяться, что нам удалось верно отразить его точку зрения по этим вопросам -- разумеется, с учетом также и того нового, что было внесено в них за 15 лет, прошедших со дня, когда так трагически прервалась его деятельность. Мы хотели бы поблагодарить А. Ф. Андреева, И. Е. Дзялошинского и И. М. Лифшица за постоянное обсуждение вопросов, рассмотренных в этой книге. Мы извлекли также много пользы из известной книги А. А. Абрикосова, Л. П. Горькова и И.
Е. Дзялошинского одной из первых книг в физической литературе, посвященных новым методам статистической физики. Наконец, мы благодарны Л. П. Горькову и Ю. Л. Климонтовичу, прочитавшим книгу в рукописи и сделавшим ряд замечаний. Е. М. Лифшиц, Л. П. Питаевский Апрель 1977 г. ГЛАВА 1 НОРМАЛЬНАЯ ФЕРМИ-ЖИДКОСТЬ й 1. Элементарные возбуждении в квантовой ферми-жидкости При температурах настолько низких, что де-бройлевская длина волны, отвечающая тепловому движению атомов жидкости, становится сравнимой с мсжатомными расстояниями, макроскопические свойства жидкости определяются квантовыми эффектами. Теория таких квантовых жидкостей представляет значительный принципиальный интерес, хотя в природе существуют ляттть два объекта такого рода, являющиеся жидкостями в буквальном смысле этого слова; это - жидкие изотопы гелия ('Не и 4Не) при температурах 1 — 2 К.
Все другие вещества затвердевают значительно раньше, чем становятся существенными квантовые эффекты в них. Напомним в этой связи, что, согласно классической механике, все тела должны были бы быть твердыми при абсолютном нуле (см. Ч, ~ 64); гелий же, благодаря особой слабости взаимодействия его атомов, остается жидким вплоть до температур, когда вступают в силу квантовые явления, после чего затвердевание уже перестает быть обязательным.
Вычисление термодинамических величин макроскопического тела требует знания спектра его уровней энергии. Разумеется, в случае системы сильно взаимодействующих частиц, каковой является квантовая жидкость, речь должна идти именно об уровнях, соответствующих квантовомеханическим стационарным состояниям всей жидкости в целом, а отнюдь не состояниям отдельных атомов. При вычислении статистической суммы в области достаточно низких температур должны учитываться лишь слабо возбужденные уровни энергии жидкости . уровни, расположенные не слишком высоко над основным.
Следующее обстоятельство имеет фундаментальное значение для всей теории. Всякое слабо возбужденное состояние макроскопического тела можно рассматривать в квантовой механике как совокупность отдельных злементпарных возбузтсдений. Эти элементарные возбуждения ведут себя как некоторые квазичастицы, движущиеся в занимаемом телом объеме и обладающие определенными энергиями з и импульсами р. Вид зависимости з(р) (или, как говорят, закон дисперсии элементарных возбуждений) является важной характеристикой энергетического спектра тела. Подчеркнем лишний раз, что понятие элементарных возбуждений возникает как способ квантовомеханического 12 ногмллънля евами-?кидкость описания коллективного движения атомов тела и квазичастицы отнюдь не могут быть отождествлсны с отдельными атомами или молекулами.
Существуют различные типы энергетических спектров, которыми могут, в принципе, обладать квантовые жидкости. В зависимости от типа спектра жидкость будет иметь также и совершенно различные макроскопические свойства. Мы начнем с изучения жидкости со спектром типа, который можно назвать фермиевскилг. Теория такой ферми-жидкости была создана Л.Д. Ландау (1956 1958 гг.); ему принадлежат результаты, излагаемые в 81.4'). Энергетический спектр квантовой жидкости фермиевского типа строится в известном смысле аналогично спектру идеального ферми-газа (из частиц со спином 1??2). Основное состояние последнего соответствует заполнению частицами всех состояний внутри фермиевской сферы сферы в импульсном пространстве с радиусом рр, связанным с концентрацией газа ХггЪ' (числом частиц в единице объема) формулой М 2 4кРг Рг 1' 3(2 гй)з Зязггз (1.1) ) Забегая вперед, сразу же уточним, во избежание недоразумений, что речь идет о несверхтекучей (или, как говорят, нормальной) ферми- жидкости.
Таковой является жидкий изотоп ?Не (с оговоркой, которая будет сделана в примечании на с. 28ог. (см. 'Ч, 8 57). Возбужденные состояния газа возникают, когда частицы переходят из состояний заполненной сферы в какие-либо состояния с р > рр. В жидкости, разумеется, не существует квантовых состояний для отдельных частиц. Однако исходный пункт для построения спектра ферми-жидкости состоит в утверждении, что классификация уровней энергии остается неизменной при постепенном «включении» взаимодействия между атомами, т. е.
при переходе от газа к жидкости. В этой классификации роль частиц газа переходит к элементарным возбуждениям (квазичастицам), число которых совпадает с числом атомов и которые подчиняются статистике Ферми. Сразу же отметим, что спектром такого типа может обладать, очевидно, только жидкость из частиц с полуцслым спином --.
состояние системы из бозонов (частиц с целым спином) не может описываться в терминах квазичастиц, подчиняющихся статистике Ферми. В то же время следует подчеркнуть, что спектр этого типа не может быть универсальным свойством всех таких жидкостей. Тип спектра зависит также и от конкретного 1 элззментАРные ВОЗБеждени55 В кВАнтОВОЙ ФеРми-жидкОсти 13 характера взаимодействия между атомами. Простое соображение делает это обстоятельство очевидным: если взаимодействие таково, что в результате его атомы стремятся ассоциироваться в пары, то в пределе мы получили бы молекулярную жидкость, состощцую из частиц (молекул) с целым спином, для которой рассматриваемый спектр заведомо невозможен.
Каждая из квазичастиц обладает определенным импульсом р (мы еще вернемся к вопросу о справедливости этого утверждения). Пусть п(р) есть функция распределения квазичастиц по импульсам, нормированная условием ,1з пс1т = —, 51т = р (2лй)з (зто условие будет уточнено ниже). Упомянутый выше принцип классификации состоит в предположении, что задание этой функции однозначно определяет энергию Е жидкости и что основное состояние соответствует функции распределения, в которой заняты все состояния внутри ферми-сферы с радиусом рг, связанным с плотностью жидкости той же формулой (1.1), что и в случае идеального газа. Важно подчеркнуть, что полная энергия жидкости Е отнюдь не сводится к сумме энергий е квазичастиц. Другими словами, Е представляет собой функционал от функции распределения, не сводящийся к интегралу ) пе 5зт (как это имеет место для идеального газа, где квазичастицы совпадают с истинными частицами и не взаимодействуют друг с другом).
Поскольку первичным понятием является именно Е, то возникает вопрос об определении энергии квазичастиц с учетом их взаимодействия. Для этого рассмотрим изменение Е при бесконечно малом изменении функции распределения. Оно должно, очевидно, определяться интегралом от выражения, линейного по вариации бп, т. е. иметь вид — =~1 е(р) сп51т. 6Е Величина е есть вариационная производная от энергии Е по функции распределения. Она соответствует изменению энергии системы при добавлении одной квазичастицы с импульсом р, и именно эта величина играет роль гамильтоновой функции квазичастицы в поле других частиц. Она тоже является функционалом функции распределения, т.
е. вид функции е(р) зависит от распределения всех частиц в жидкости. Отметим в этой связи, что элементарное возбуждение в рассматриваемом типе спектра можно в известном смысле трактовать как атом в самосогласованном поле других атомов. Эту ноРмАльнАя ФЯРми-?кидкость самосогласованность нельзя, однако, понимать в обычном в квантовой механикс смысле. Она имеет здесь более глубокий характер; в гамильтониане атома учитывается влияние окружающих частиц не только на потенциальную энергию, но меняется также и зависимость оператора кинетической энергии от оператора импульса. До сих пор мы отвлекались от наличия у квазичастиц спина. Так как спин является квантовомеханической величиной, то он не может рассматриваться классически, ввиду чего мы должны считать функцию распределения статистической матрицей в отношении спина.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
