IX.-Статистическая-физика-часть-2 (1109682), страница 9
Текст из файла (страница 9)
д. взаимодействия (см. П1, (64.25)). Для простоты предполагаем все взаимодействия не зависящими от спинов частиц. Гейзенберговское и шредингеровское представления тождественны для оператора всякой сохраняющейся величины (т, е. оператора, коммутативного с гамильтонианом). Это относится, в частности, к самому гамильтониану, а также к оператору числа частиц -.
тоже, разумеется, сохраняющейся величины. Выражения этих операторов через шредингсровские или гейзенбсрговские ф-операторы одинаковы. Так, оператор числа частиц ФУНКЦИЯ ГРИНА МАКРОСКОПИЧВСКОЙ СИС'ГВМЫ Коммутатор Й' и Ф в (7.5) вычисляется с помощью правил (7.3), (7.4); возникающие при этом б-функции устраняются интегрированием. В результате получим «уравнение Шредингера» для Ф (1, г) в виде — 'Ф.(1, г) = ( — — 'Ь - р+ 77(1)(г)) Ф.(1, г)+ +/Ф'(1, г') 77(2)(г — г')Ф,,(1, г') с(зх' Ф (1, г) +... (7.8) Основную роль в излагаемом методе играет понятие функции Грина макроскопической системы. Она определяется следующим выражением '): С д(Х1, Хэ) = — 4(ТФ (Х1)ФРФ(Х2)). (7.9) Здесь и ниже Х обозначает, для краткости, совокупность момента времени 1 и радиус-вектора точки г. Угловые скобки (...) означают усреднение по основному состоянию системы (вместо более громоздкого символа диагонального матричного элемента (0~...~0)).
Символ же Т есть знак хронологического произведения: следующие за ним операторы должны быть расположены справа налево в порядке возрастания времен 11, 1э.. При этом в случае фермионов перестановка пары гд-операторов (по сравнению с их расположением в первоначальной записи произведения) должна сопровождаться изменением знака произведения. В явном виде это значит, что / — г(Ф (Х1)Фл~(Хз)), 11 ) (з, г(Ф~~(Х2)Ф (Х1)), 11 ( 12. Отметим некоторые очевидные свойства функции Грина. Если система нс ферромагнитна и не находится во внешнем поле, то спиновая зависимость функции Грина сводится к единичной С й(Х1, Хэ) = борС(Х1, Х2) (7.11) (всякая другая форма зависимости выделяла бы избранное направление в пространстве — ось з квантования спина) '). В силу ) Это определение аналогично определению точных функций Грина (пропагаторов) в квантовой злектродинамике (см. 11Г, 1103, 105).
2 ) Это утверждение требует пояснения. Спиновые компоненты т составляют контравариантный спинор первого ранга (и в этом смысле более правильным было бы обозначение е с индексом о сверху). Компоненты же Фт е составляют коварнантный спннор. Поэтому С„Е есть смешанный спвнор второго ран~в. Единичным же смешанным спинором второго ранга является именно 6 Е. 48 ГРинсвские Функции ФеРми-системы пРи т = е ГЛ. П Подчеркнем, что макроскопическая однородность означает, что тело предполагается однородным не только по своей средней (макроскопической) плотности, но и Гю плотности вероятности различных (микроскопических) положений его частиц в пространстве.
Именно таковы жидкости и газы (но не твердые кристаллы). В силу их изотропии С(т, г) = С(Г, — г). В этой связи подчеркнем лишний раз, что в то же время функция С(Г, г), по самому своему определению, отнюдь не четна по переменной 1. В этом смысле порядок 1! и 12 в разности 1 = 1! — 12 существен. Координатная матрица плотности частицы в системе определяется как среднее значение р-р(г!, ) = — (Р~РИ, г )Р (1, г )) (718) Знание этой матрицы позволяет определить среднее значение любой величины, относящейся к отдельной частице.
Действительно, пусть Р р — некоторый «одночастичный» оператор, т. е. оператор вида (7.14) гДе 7' р — опеРатоР, ДействУюЩий на кооРДинаты и спин лишь -)о) одной (а-й) частицы, а суммирование производится по всем частицам в системе. В аппарате вторичного квантования такой оператор записывается (в гейзенберговском представлении) как К Р) =/Р'(1 )У Р (1 )1з* (7.15) (см. Ш, (64.23)). Отсюда ясно, что среднее значение величины Г может быть выражено в терминах матрицы плотности в виде (Е) = М(Д = Л (~ ррах~(г!, Гг))Г, „Г1"х!, (7.16) где 1 р оператор, действующий на координаты г! (поло(!) жить гэ = г! надо после воздействия оператора, но перед интегрированием). однородности времени моменты 1т и 12 входят в функцию Грина лишь в виде разности 1 = 1! — ~э.
Если, сверх того, система микроскопически однородна в пространстве, то лишь в виде разности г = г! — ГР входят также и координаты двух точек. Другими словами, в этом случае С.„(~„~,) = 5.,С(А.), ~ = ~, — А;. (7.12) С УНКЦИ55 ГРИНА МАКРОСКОПИЧВСКОЙ СИС'ГЕНЫ Согласно (7.10), матрица плотности может быть выражена через гриновскую функцию Роз(ГГ, ГЗ) = — — 'Соз(11, ГГ, 11+ О, ГЗ). (7.17) Здесь (как и везде ниже) обозначение аргумента функции в виде (л + 0 означает, что имеется в виду предел при стремлении аргумента к значению 11 сверху. Взятием этого предела обеспечивается правильная расстановка 5)5-операторов, совпадающая с их расстановкой в произведении (7.13).
Для микроскопически однородной системы матрица плотноСтн ЗаВИСИт ТОЛЬКО От РаЗНОСтИ Г = Г1 — Гз., а ПРИ НЕЗаВИСИМОСтИ от спинов р з = о,зр, причем р(г) = — — С(1 = — О, г), (7.18) гдс вместо С д(Хы Хз) введена функция С(Хà — Хз): С(Х), согласно (7.12). При г1 = гз и после взятия следа по спиновым переменным произведение операторов в (7.13) превращается в 5Р~т5Р— оператор плотности числа частиц в системе. Поэтому средняя плотность тела Ъ' — = 2й1р(0) = — 2(С(1= — О, г = 0) (7.19) (1 стремится к нулю снизу) .
Это равенство связывает химический потенциал )5 при Т = 0 (от которого С зависит как от параметра) с плотностью числа частиц 5у55$'. Фурье-разложение функции р(гм гз) определяет распределение частиц по импульсам ') 5у(р) = м/р(г1, гз)е 'р(" ') Й (хг — х2) = = — г/С(1, г) е ГР" с(~х. (7.20) 5= — О ) Напомним (см. 1П, з 14), что одночастичнан матрица плотности есть ин- теграл Р(г„гз) = /5Р" (гм й)5Р(ГГ, д) ий, где 5г'(г, о) волновая функция системы в целом, причем г обозначает радиус-вектор одной частицы, а е — совокупность координат всех осталь- ных частиц; по пос55едним производится интегрирование. Фурье-компоненты матрицы плотности совпадают с выражением / Р(г, д)е*п'5(~х 51е, откуда и следует се связь с распределением частиц по импульсам.
50 ГРинсвские Функции ФеРми-системы НРи т = з ГЛ. Н Это есть число частиц (в единице объема) с определенным значением проекции спина и с импульсами в интервале г(зр/(2зг)з. Подчеркнем, что речь идет здесь об истинных частицах, а не о квазичастицах (последние в излагаемом аппарате еще нс появились!). Обозначение Лг(р) введено в отличие от функции распределения квазичастиц п(р). В дальней!нем мы будем обычно иметь дело с функцией Грина в импульсном представлении, определенной как компонента фурье-разложения функции С(1, г) по Г и г: (з С(4 г) /С(! ! р) еа(Рà — гз!) ~ Р (24Г)4 (7.21) С(цг, р) = /С(~, г) е '(РГ ~!) газ(зт (7.22) Распределение частиц по импульсам выражается через эту функцию формулой 14г(р) = — з 1пп С(ы, р)е Ри —, з-4-О У 24Г (7.23) получающейся подстановкой (7.21) в (7.20).
Ее нормировка вы- ражается формулой И из — 21 1пп С(ы,р)е ' " 1-4 — а У' (2К)4 Ъ' (7.24) представляющей собой условие (7.19), выраженное в импульсном представлении. Таким образом, распределение гг'(р) автоматиче- ски правильно нормировано: / ( ) гз~Р 1У Отметим, что предел, в котором берутся интегралы (7.23)! (7.24), эквивалентен определенному правилу обхода в плоскости комплексной переменной гс. Наличие множителя е '"! с Г ( 0 позволяет замкнуть путь интегрирования (вещественная ось) бесконечно удаленной полуокружностью в верхней полуплоскости гс, так что интеграл определяется вычетами функции С(гс,р) в ее полюсах, лежащих в этой полуплоскости.
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР И ФУНКЦИИ ГРИНА 3 8. Определение энергетического спектра по функции Грина Для микроскопически однородной системы легко определить зависимость от времени и координат матричных элементов гейзенберговского 4-оператора по отношению к стационарным состояниям с определенными значениями энергии и импульса. Зависимость от времени дается обычным экспоненциальным множителем (П~4„(Г, Г)~т) = Е'Фп (П~ф,„(Г)~т), (8.1) шпт = Еп Ет = Еп Ет д(А1п 11~т) ° Согласно общим свойствам ф-операторов оператор Ф уменыпает (а Ф Р увеличивает) число частиц в системе на 1.
Поэтому в матричном элементе (8.1) ЛГ„= Л вЂ” 1, так что ып = Е„(Х) — Ет(Х + 1) + 1А, (8.2) где в виде аргументов указаны числа частиц в соответствующих состояниях. Для определения координатной зависимости замечаем,что в силу однородности системы матричные элементы ее ф-операторов не могут измениться при смещении на любое расстояние г относительно системы. Это, однако, не означает, что матричные элементы вообще не зависят от координат. Дело в том, что отличие ф„(г) от значения ф„т(0) в некоторой заданной точке г = 0 связано с двумя причинами: со смещением на расстояние г относительно самой системы и с перемещением точки наблюдения в другое место пространства, что также меняет фазы волновых функций.
Чтобы исключить последнее изменение, сместим систему на вектор — г, т, е, применим к ее волновым функциям оператор параллельного переноса Т( — г)=е '" (Р— оператор полного импульса системы; см. П1, (15.13)). В результате этих операций точка наблюдения вернется в исходное место пространства, но останется смещенной относительно системы на вектор г. Инвариантность матричных элементов по отношению к такому преобразованию выразится равенством (п~ф„(0)~т) = (п~е'"~ф„(г)е "~~т). (8.3) но поскольку гейзенберговский ф-оператор определен с помощью гамильтониана Й', то 52 ГРиновские Функции ФеРми-системы ИРи т = е ГЛ.
Н Если в состояниях и и т система обладает определенными им- пульсами Р„и Р, то (п(ф„(0)~т) = е'~" ~(п~ф (г)~т), откуда (п~!и' (1, г))т) = ей " ! ~" ~)(п~г1! (0))т), (и)!Р+(1! г)/т) = (т!ге' (й, г)!и)*, где 11„= Р— Рен С помощью этих формул можно получить важное разложение для функции Грина в импульсном пространстве, проясняющее ее физический смысл. Ввиду «разрывного» определения функции С(1, г), при вычислении С(!е, р) надо разбить интеграл по Ж в (7.22) на два интеграла: от — сс до 0 и от 0 до оо. Во втором из них (т.
е. при 1 = 1! — 12 > 0) имеем, раскрывая определение (7.10) по правилу умножения матриц; С(1, Г) = — С„о = — — ~~! (0~!Р„(Х!)~т)(т~гР~~(Х2)~0) (суммирование по всем квантовым состояниям системы). Подставив сюда (8.4) и учтя, что в основном состоянии Ро = О, находим С(1, г) = — -' ~)(0~4 (0))т))~е'( ' '»~ '), (8.5) гн гдео!а =ЕоР~) — Е (1у+1)+)г.
Интегрирование по пространству в (7.22) (с С(1, г) из (8.5)) дает в каждом члене суммы б-функцию б(р — Р ). При интегрировании же по Ж(1 > 0) для обеспечения сходимости надо добавить к !и бесконечно малую положительную мнимую часть, т. е. заменить о! -» о! + 10 1). Тогда получим /С(1 г)е!(ы! — Р ) !1зт!11 ( ")' ~~, ')(о~г)! (0))т)~г (Р— ) о 2 .+ .„+ о' !н ') Эта процедура аналогична способу вычисления функций Грина в квантовой алектродинамикс (ср.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
