IX.-Статистическая-физика-часть-2 (1109682), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Это изменение должно быть отрицательным, поскольку энергия движущейся жидкости должна уменьшаться е+ру (О. Квантовая жидкость с энергетическим спектром описанного типа обладает замечательным свойством так называемой сверхтекучести свойством протекать по узким капиллярам или щелям, не обнаруживая вязкости. Начнем с рассмотрения жидкости при абсолютном нуле, когда она находится в своем нормальном, невозбужденном состоянии. Рассмотрим жидкость, текущую по капилляру с постоянной скоростью ч. Наличие вязкости проявилось бы в том, что благодаря трению о стенки трубки и трению внутри самой жидкости происходила бы диссипация кинетической энергии жидкости и постепенное замедление потока.
Нам будет удобнее рассматривать течение в системе координат, движущейся вместе с жидкостью. В этой системе гелий покоится, а стенки капилляра движутся со скоростью — ч. При наличии вязкости покоящийся гелий тоже должен был бы начать двигаться. Физически очевидно, что увлечение жидкости стенками трубки не может привести с самого начала к движению жидкости как целого.
Появление движения должно начаться с постепенного возбуждения внутренних движений, т. е. с появления в жидкости элементарных возбуждений. Предположим, что в жидкости появляется одно элементарное возбуждение с импульсом р и энергией е(р). Тогда энергия Ее жидкости (в системе координат, в которой она первоначально покоилась) сделается равной энергии этого возбуждения е, а ее импульс Ро — импульсу р. Перейдем теперь обратно к системе координат, в которой покоится капилляр. Согласно известным из механики формулам преобразования энергии и импульса, имеем для энергии Е и импульса Р жидкости в этой системе 118 сеегхтекучесть При заданном значении р величина, стоящая в левой стороне неравенства, имеет наименыпее значение при антипараллельных р и у; поэтому во всяком случае должно быть е — ре ( О, т.
е. (23.3) Это неравенство должно выполняться хотя бы для некоторых значений импульса р элементарного возбуждения. Поэтому окончательное условие возможности появления возбуждений в движущейся по капилляру жидкости мы получим, найдя минимум величины е/р. Геометрически отношение е/р есть тангенс угла наклона прямой, проведенной из начала координат (в плоскости р е) в некоторую точку кривой е = е(р). Его минимальное значение определится, очевидно, точкой, в которой проведенная из начала координат прямая касательна к кривой. Если это минимальное значение отлично от нуля, то при не слишком больших скоростях течения в жидкости не смогут появиться возбуждения. Это значит, что ее течение не будет замедляться, т.
е. жидкость обнаружит явление сверхтекучести. Полученное условие наличия сверхтекучести по существу сводится к требованию, чтобы кривая е = е(р) не касалась оси абсцисс в самом начале координат (отвлекаясь от маловероятной возможности касания ею этой оси в дальнейшем своем ходе). Поэтому к сверхтекучести приведет по существу всякий спектр, в котором достаточно малые возбуждения являются фононами. Рассмотрим теперь ту же жидкость при температуре, отличной от абсолютного нуля (хотя и близкую к нему).
В этом случае жидкость не находится в основном состоянии она содержит возбуждения. Приведенные выше рассуждения сами по себе остаются в силе, поскольку в них не было использовано непосредственно то обстоятельство, что жидкость находилась первоначально в основном состоянии. Движение жидкости относительно стенок трубки при выполнении указанного условия по-прежнему не сможет привести к появлению в ней новых элементарных возбуждений. Необходимо, однако, выяснить, каким образом будет проявляться наличие возбуждений, уже существующих в жидкости.
Представим себе для этого, что «газ квазичастиц» движется как целое относительно жидкости поступательно со скоростью м. Функция распределения для движущегося как целое газа получается из функции распределения п(е) неподвижного газа путем замены энергии е частицы величиной е — ръ, где р - импульс частицы. Для обычного газа это обстоятельство является непосредственным следствием принципа относительности Галилея и доказывается просто путем перехода от одной системы координат 119 свеехтекучвсть Е = Ео — Ра»' + 2 Пусть в жидкости появляется элементарное возбуждение с энергией е(р) (в системе Ка). Тогда дополнительная энергия жидкости в системе К будет е — ртг, чем и доказывается сделанное утверждение ') .
Таким образом, полный импульс газа квазичастиц (отнесенный к единице объема) будет Р =~рп(е — рп) г)т. Предположим, что скорость тг мала, и разложим подынтеграль- ное выражение по степеням ртг. Член нулевого порядка исчезает (при интегрировании цо направлениям вектора р), и остается Р = — /р(ртг) Нт, Ж или, после усреднения по направлениям р, Р =.=1(-.—.) р2 т (23.4) Прежде всего мы видим, что движение газа квазичастиц сопровождается переносом некоторой массы: эффективная масса единицы объема газа определяется коэффициентом пропорциональности между импульсом Р и скоростью зг в (23.4). С другой стороны, при течении жидкости, скажем, по капилляру ничто не ) Для квазичастиц в бозе-жидкости п(е) — распределение (22.2). Обратим внимание на то, что условие сверхтекучести (е ( е/р) как раз совпадает с условием, обеспсчиваюпшм пшгожительность и конечность выражения п(е — рв) для всех энергий.
к другой. В данном же случае такие соображения непосредственно не применимы, так как газ квазичастиц движется нс в пустоте, а «сквозь жидкость». Тем не менее утверждение остается в силе, как это вытекает из следующих рассуждений. Пусть газ возбуждений движется относительно жидкости со скоростью зг. Рассмотрим систему координат, в которой газ как целое покоится, а жидкость соответственно движется со скоростью — зг (система К).Согласно формуле преобразования (23.1), энергия Е жидкости в системе К связана с энергией Ео в системе, в которой жидкость покоится (система Ка), соотношением 120 Гл.
ш свегхтекучесть мешает кввзичастицам сталкиваться со стенками трубки и обмениваться с ними импульсом. В результате газ возбуждений будет остановлен, как это произошло бы со всяким обычным газом, протекающим по капилляру, Таким образом, мы приходим к следующему основному результату. При отличных от нуля температурах часть массы жидкости будет вести себя как нормальная вязкая жидкость, «цепляющаяся» при движении о стенки сосуда; остальная же часть массы будет вести себя как не обладающая вязкостью сверхтекучвя жидкость. При этом весьма существенно, что между обеими этими движущимися «друг через друга» частями массы жидкости нет трения, т. е. не происходит передачи импульса от одной из них к другой. Действительно, само наличие такого взаимного движения одной части массы жидкости относительно другой мы получили при рассмотрении статистического равновесия в равномерно движущемся газе возбуждений.
Но если какое-либо относительное движение может иметь место в состоянии теплового равновесия, .то это значит, что оно не сопровождается трением. Подчеркнем, что рассмотрение жидкости как «смеси» нормальной и сверхтекучей ее «частей» является не более, чем способом выражения, удобным для описания явлений,происходящих в квантовой жидкости; оно отнюдь не означает возможности реального разделения жидкости на две части. Как и всякое описание квантовых явлений в классических терминах, оно не является вполне адекватным. В действительности надо говорить, что в квантовой бозе-жидкости могут существовать одновременно два движения, каждое из которых связано со своей эффективной массой (так что сумма этих масс равна полной истинной массе жидкости). Одно из этих движений «нормально», т.
е. обладает теми же свойствами, что и движение обычной вязкой жидкости; другое же .«сверхтекучее». Оба эти движения происходят без передачи импульса от одного к другому. Таким образом, в гидродинамическом смысле плотность бозе- жидкости может быть представлена в виде суммы р=р„+р, нормальной и сверхтекучей частей, каждая из которых связана со своей гидродинамической скоростью — — ч„и ч,. Важным свойством сверхтекучего движения является его потенциальностгк (23.5) го1ч« = О. Это свойство является макроскопическим выражением того факта, что элементарные возбу»цдения с болыпой длиной волны (т.
е, с малыми импульсами) являются звуковыми квантами фоно- нами. Поэтому макроскопическая гидродинамика сверхтекучего движения не должна допускать никаких других колебаний, 121 свьвхтнкучвсть кроме звуковых'), что и обеспечивается условием (23.5) (мы еще вернемся к его обоснованию в 3 26) '). При Т = 0 нормальная часть плотности р„= 0; жидкость может совершать только сверхтекучее движение. При отличных же от нуля температурах ра дается формулой (23.4): (23.6) Для вычисления фононного вклада в рв полагаем в (23.6) е = ир: 1 1 4п 4яреЗР Зи,/ др (2тл)з о и после интегрирования по частям находим е Оставшийся здесь интеграл не что иное, как энергия единицы объема фононного газа; взяв эту величину из (22.4), получим окончательно Для вычисления же ротонного вклада в р„замечаем, что поскольку ротоны можно описывать распределением Больцмана, то для них г)п/г1е = — п(Т, и из (23.6) имеем (Ра)р — — — )Р нс)т = — —.
Р Чр зту зт1 ' Положив, с достаточной точностью, р2 = рзе и взяв Яр из (22.9), получим Ро~р 2(гл ) Ре,— гг/т (23 3) ЗТЪ' 3(2я)з~зтпзбз При самых низких температурах фононный вклад в рп велик по сравнению с ротонным. Они сравниваются примерно при 0,6К, ') Подразумевается, что жидкость не ограничена. При наличии свободной поверхности возможны также поверхностные капиллярные волны (что приводит к определенной температурной зависимости поверхностного натяжения — см. задачу 1). е) Подробное изложение гидродинамикн сверхтекучей жидкости дается в т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
