IX.-Статистическая-физика-часть-2 (1109682), страница 24
Текст из файла (страница 24)
)2!.13) 2 2 1 2тп р' Р Вид гамильтониана (25.12) и бозевские соотношения коммутации для операторов Ьр, ЬрР позволяют сделать вывод, что Ь~~ и Ьр представляют собой операторы рождения и уничтожения квазичастиц с энергией е(р), подчиняющихся статистике Возе. Собственные значения диагонального оператора Ьр) Ьр представляют собой числа и квазичастиц с импульсом р, а формула (25.10) определяет зависимость их энергии от импульса (числа заполнения квазичастиц снова обозначены посредством пр, в отличие От ЧИСЕЛ ЗаПОЛНЕНИЯ 1))р ИСТИННЫХ ЧаСтИЦ ГаЗа). ТЕМ СаМЫМ ПОЛ- ностью определен энергетический спектр слабо возбужденных состояний рассматриваемого газа.
Величина же .Ео есть энергия основного состояния газа. Заменив суммирование по дискретным значениям р (в объеме $') интегрированием по Ъ')1зр/(2хй)з и произведя вычисления, получим следующее выражение; 2кй! Ка' ~1+ 128 (а 61~ (25.14) т$' ~ 15 ))) хр ~ (Т. Р. Бее, С. 11'. Уапу, 1957). Для химического потенциала газа (при Т = О) соответственно имеем дЕа 4Х!1~а!!' ~ 32 ))а 11'~ (25.15) дМ т'У' ~ 3 ')) Х'У' )' Эти формулы представляют собой два первых члена разложений по степеням (аз1у'/Ъ') !) ~. Но уже следующий член не мог бы быть вычислен изложенным способом. Он должен содержать объем как Г ', а величина этого порядка зависит уже не только от двойных, но и от тройных столкновений.
При болыпих значениях импульса (р » ти) энергия квази- частиц (25.10) стремится к р~/2т, т. е. к кинетической энергии отдельной частицы газа. При малых же импульсах (р «ти) имеем е — ир. Легко видеть, что коэффициент и совпадает со скоростью звука в газе, вырожденный пОчти идеАльный ЕОЗе-ГАз так что это выражение отвечает фононам в соответствии с общими утверждениями 9 22. При Т = О свободная энергия совпадает с энергией Яо, и взяв главный член в разложении последней, находим давление дК 2хй~аМ~ дР т'г'т Скорость же звука получается как и =,,~дР(др (где р = тХ/Ъ" плотность газа) и совпадает с (25.11). Отметим, что в рассматриваемой модели бозе-газа длина рассеяния а непременно должна быть положительной величиной (отталкивательное взаимодействие между частицами). Это видно формально уже из того, что в полученных формулах для энергии при а < О появились бы мнимые члены.
Термодинамический же смысл условия а ) О заключается в том, что оно необходимо для соблюдения в данной модели бозе-газа неравенства (ОР д'р')2 < О. татистическое распределение элементарных возбуждений (средние значения пр их чисел заполнения) при отличной от нуля температуре дается просто формулой распределения Бозе (22.2). Распределение же Хр истинных частиц газа по импульсам можно вычислить усреднением оператора а~~ар. Использовав (25.8) и учитывая, что произведения 5 рбр и бр~5 р не имеют диагональных матричных элементов, получим пр ~ 1р(пр + 1) (25.16) Р— Это выражение справедливо, разумеется, лишь при р ~ О. Число же частиц с нулевым импульсом Ло Х ~~, Лр Л 1 Мр г(йр (25 17) (2.5)з, р~с В частности, при абсолютном нуле все пр — — О, и с помощью (25.9) получим из (25.16) функцию распределения в виде') Мр— (25.18) 2е(р)(е(р) -ь ре(2тп + гане) (при Т = О средние значения Мр совпадают с точными значениями; ~) Отметим, что максимум числа частиц с заданной величиной импульса ( р Мр) лежит при р76 ргаЖ~Ъ', где происходит переход от одного предельного выражения е(р) к другому.
Это обстоятельство было уже упомянуто в примечании на с. 129. 134 сеегхтекучесть поэтому черту над буквой опускаем). Неидеальность бозе-газа приводит, естественно, к появлению частиц с отличным от нуля импульсом и при абсолютном нуле; интегрирование в (25.17) с Хр из (25.18) производится элементарно и дает (25.19) Наконец, сделаем еше следующее замечание по поводу полученного здесь спектра. При малых р производная п~е/др~ > О, т.
е. кривая е(р) загибается вверх от начальной касательной еР ир. В таком случае (см. ниже 334) возникает неустойчивость спектра, связанная с возможностью самопроизвольного распада квазичастиц (фононов). Соответствующая ширина уровней, однако, мала (пропорциональна р при малых р) и не затрагивает выражений, получающихся в рассмотренных приближениях. 3 26.
Волновая функция конденсата Как уже упоминалось в 323, появление или исчезновение сверхтекучести в жидком гелии происходит путем фазового перехода второго рода. Такой переход всегда связан с каким-либо качественным изменением свойств тела. В случае Л-точки жидкого гелия это изменение может быть описано макроскопическим образом, как появление или исчезновение сверхтекучей компоненты жидкости. С более глубокой, микроскопической точки зрения речь идет об определенных свойствах распределения частиц (истинных!) жидкости по импульсам.
Именно в сверхтекучсй жидкости, в отличие от несверхтекучей, конечная доля частиц (т. с. макроскопически больпюе их число) имеет строго равный нулю импульс; эти частицы образуют бозе-эйнштвейновский еонденсаш (или просто конденсат) в импульсном пространстве. Напомним, что в идеальном бозе-газе при Т = О все его частицы переходят в конденсат (см. Ъ', 362), а в почти идеальном газе -- почти все частицы. В общем же случае бозе-жидкости с сильным взаимодействием между частицами доля чис11а частиц., находящихся при Т = О в конденсате1 отнюдь не близка к единице.
Покажем, каким образом свойство бозе-эйнштейновской конденсации формулируется в терминах ф-операторов. Для идеального бозе-газа системы невзаимодействующих бозонов -- гейзенберговский ф-оператор записывается в явном 135 нолноВАя Функция кондвнсатА виде как ) ( з Ф(г. г) = — ~~ 'ар ехр ~ -'рг — — ' — "ь~, (26.1) уг)Г Р б а 2пг и (26.3) ') Ср. (9.3). Мы предполагаем частицы газа бесспиновыми, поэтому спиновый индекс отсутствует.
В (26.1) учтено также, что для идеального бозе-газа при Т = О химический потенциал и = О, и поэтому член — р«/б в показателях опущен. ) Добавление или удаление частицы надо представлять себе как соверп~аемое бесконечно медленно. Этим исключается возбуждение системы переменным полем. Как было объяснено в 2 25, можно пренебречь некоммутативно- стью операторов ав и ас«, т.
е. рассматривать их как классиче- ские величины. Другими словами, обычным числом оказывается часть ф-оператора (26.1), которую обозначим через Е: (26.2) ГР Для формулировки этого свойства ф-операторов в общем слу- чае произвольной бозе-жидкости заметим, что поскольку в кон- денсате все равно находится макроскопически большое число частиц, то изменение этого числа на 1 по существу не меняет состояния системы; можно сказать, что в результате добавления (или отнятия) одной частицы в конденсат из некоторого состо- ЯНИЯ СИСТЕМЫ )Уг ЧаСтИЦ ПОЛУЧаЕтСЯ «тО жЕ СаМОЕ» СОСТОЯНИЕ системы М х 1 частиц'). В частности, основное состояние оста- ется основным.
Обозначив через Й, Й+ ту часть ф-операторов, которая меняет на 1 число частиц в конденсате, имеем, таким образом, по определению, Й ~т, Х+ 1) = В~)гп, Х), Й )т, Х) = Б*~т, Л+ 1), где символы ~ги, Л) и ~т, Л+ 1) обозначают два «одинаковых» состояния, отличающихся только числом частиц в системе, а Б некоторое комплексное число. Эти утверждения справед- ливы строго в пределе М вЂ” > оо. Поэтому определение величины Е следует записать в виде 1пп (т, Х~ Й ~т, Л + 1) = Б, У вЂ” >со 1пп (т, М+ 1) Й~(т, дг) = Е; о' — г ос переход к пределу совершается при заданном конечном значении плотности жидкости Л/Ъ'.
Если представить «О-операторы в виде $ ) $! $-~- -~- + $'-~- (26.4) Г1!. П! свегхтекучесть то остальная («надконденсатнаяз) их часть переводит состояние ~т, !"1!) в ортогональные ему состояния, т. е. матричные элементы ') 1пп (т, М~ Ф'~т, )у'+ 1) = О, 1пп (т, Х+ 1) Ь '~т, Х) = О. !У вЂ” ! со !У вЂ” ! оо (26.5) В пределе 111 — ! со разница между состояниями ~т! Х) и ~т, Х + 1) исчезает вовсе, и в этом смысле величина Б становится средним значением оператора Ф по этому состоянию.
Подчеркнем, что характерным для системы с конденсатом является именно конечность этого предела. Равенствами (26.3) исчерпываются «операторные» свойства ! Б, Б+, и их можно считать коммутативными с Ф', Ф +. В частности, операторы Й, Й~ будут заме!Ряться па В, В' (т. с, вести себя как классические величины) при любых усреднениях по основному состоянию. Подчеркнем снова, что такое приближение связано (ввиду макроскопичности числа частиц в конденсате) с пренебрежением лишь величинами относительного порядка малости 1!!Х'). Если временная зависимость волновых функций определяется по гамильтониану Й' = Й вЂ” )«1у', то величина В не зависит от времени. Действительно, матричный элемент (т, ЛДт, И+ 1) пропорционален ехр ( — — (Е(11!'+ 1) — Е(М) — (Х + 1))«+ 1!1)1~) . Но показатель этой экспоненты обращается в нуль, поскольку (с точностью до величины 1/Л) .Е(Л+ 1) — Я(Х) = )т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
