IX.-Статистическая-физика-часть-2 (1109682), страница 26
Текст из файла (страница 26)
(28.1) Это выражение можно применить и к длинноволновым флуктуациям параметра порядка. Согласно гипотезе масштабной инвариантности, единственным параметром длины, определяющим флуктуационную картину в окрестности точки перехода, является корреляционный радиус флуктуаций г,. Им же определяется, следовательно, порядок величины расстояний, на которых флуктуационное изменение фазы Ф порядка единицы; поэтому среднее значение квадрата флуктуационной скорости меняется с температурой по закону п2 1х г, сс (ТЛ вЂ” Т) ", где и ..- критический индекс корреляционного радиуса.
С другой Более интересен, однако, вопрос о поведении сверхтекучей плотности р,. Для ее вычисления рассмотрим жидкость, в которой фаза Ф кондснсатной волновой функции медленно меняется в пространстве. Это значит, что в жидкости имеет место макроскопическое сверхтекучее движение со скоростью (26.12) и соответственно с кинетической энергией (на единицу объема (28.2) 2т1 ~ 28 повкдкник свкгхткккчкй плотности ввлизи л-точки 143 стороны, поскольку именно с длинноволновыми флуктуациями связана особенность термодинамических величин в точке перехода, естественно считать, что в окрестности этой точки флуктуационная кинетическая энергия (28.2) меняется с температурой по тому же закону, что и сингулярная часть термодинамического потенциала жидкости, т.
е. квк (Тх — Т)~ (где а критический индекс теплоемкости Ср). Таким образом, находим, что р пз сс р,(Тх — Т)~ сх (Тх — Т)~ откуда р, сс (Тл — Т) ~". Наконец, учтя соотношение Зм = 2 — а (28.3) (следующее из гипотезы масштабной инвариантности — см. Ъ', 3 149), получим окончательно р, ск (Тл — Т)~ (28.4) Этим устанавливается связь между температурными зависимостями р, и теплоемкости вблизи Л-точки (В. В. 3окерЬяоп, 1966). Заметим, что воспользовавшись соотношением: а+ 23+ и(2 — ~) = 2, (28.5) следующим из (148.13) и (148.17) (см.
Ъ'), индекс 2В, определяющий температурную зависимость пе, можно представить в виде 2В = (2 — а)(1 — ~)/3. Индексы а и ~ для жидкого гелия фактически очень малы; поэтому с хорошей точностью 2~3 (2 — а)/3 2/3, так что р8-пе-(~л — Т) /. Ввиду важности формулы (28.4) полезно привести другой, более формальный ее вывод. Для этого вычислим корреляционную функцию флуктуаций фазы Ф. Интересуясь только классическими флуктуациями, найдем, прежде всего, связанное с ними изменение свободной энергии. Поскольку малые добавки к энергии и к свободной энергии равны, это изменение можно прямо написать согласно (28.2): ЬГ = р,— /(~7Ф) НК (28.6) Следуя методу, который был применен в Ъ', 3 116 для вычисления корреляционной функции флуктуаций плотности, разложим ЬФ в ряд Фурье по координатам: ЬФ = ~~ Фне'Я", Ф к = (Фк)*.
(28.7) Гл. н! свкгхтккучвсть Подставим это выражение в (28.6). В результате интегрирования по Л' члены с 1с ф — 1с' выпадают, а в оставшихся интегрирование сводится к умножению на у'. Таким образом имеем Лр р В гт "с т2 ~Фи~2 Р.псг Согласно общей теории термодинамических флуктуаций зто означает,что (~Фь~~) = — —, (ФиФ1,) = О, 1с ~ — 1с'. (28.8) Теперь можно подставить (28.7) в выражение для корреляционной функции ср(~г! — гз~) = (ЬФ(гг)с."сФ(гз)) и усреднить с помощью (28.8). После простых вычислений находим с!ст Т 1 с!ст (28 0) Лг ~г ' хс / с,с (2,.)з' Ответ для интеграла можно написать, воспользовавшись тем, что 4х,ссй есть компонента Фурье кулоновского потенциала единичного заряда.
Окончательно: ср(т) = Т (28.10) Формула (28.10) применима (на достаточно больших расстояниях) при всех температурах ниже А-точки. Вблизи Т1 она применима на расстояниях т « т,. В этой области можно пренебречь относительно малыми флуктуациями модуля параметра порядка и считать, что флуктуации этого параметра равны ЬЕ = = 1,„/пеоЬсР. ТогДа коРРелЯЦионнаЯ фУнкЦиЯ фазы 1Р(т), Умноженная на по совпадает с корреляционной функцией параметра порядка р(т~ = (Ь Е*(г2Ь Е(г!)). (Отметим, учитывая смысл Е как волновой функции, что р есть не что иное, как матрица плотности жидкости.) На границе же области применимости, при т т, корреляционная функция параметра порядка должна по порядку величины совпадать с общим выражением (148.7) (см.
11')! р(т) т (28.11) Приравнивая при т т, функции р(т) и песр(т)! получаем р, пот,4 (Тх — Т) Р С помощью (28.3) и (28.5) легко убедиться в том, что эта температурная зависимость совпадает с (28.4). 145 КВАНТОВАННЫЕ ВИХРЕВЫЕ НИТИ 9 29. Квантованные вихревые нити Обычная жидкость, заключенная в цилиндрическом сосуде, вращающемся вокруг своей оси, увлекается трением о стенки сосуда и в конце концов приводится во вращение как целое вместе с сосудом. В сверхтекучсй жидкости увлекается во вращение только ее нормальная компонента; сверхтекучая же компонента остается неподвижной -- в соответствии с тем, что эта компонента вообще не может вращаться как целое, так как при этом нарушалась бы потснциальность свсрхтскучего движения').
Однако при достаточно больпгих скоростях вращения такое состояние становится термодинамически невыгодным. Условие термодинамического равновесия состоит в минимальности величины Е„= Š— Мй,. (29.1) представляющей собой энергию по отношению к вращающейся системе координат; Е и М энергия и момент импульса системы относительно неподвижной системы координат (см. Ъ', 9 26). Член — Мй в этом выражении и приводит (при достаточно больших й) к термодинамической выгодности состояния с Мй > 0 по сравнению с состоянием с М = О.
Таким образом, при увеличении скорости вращения сосуда должно в конце концов возникнуть сверхтекучее движение. Кажущееся противоречие межлу этим утверждением и условием потенциальности сверхтекучего движения устраняется предположением, что потснциальность нарушается только на некоторых особых линиях в жидкости вихревых нитях'). Вокруг этих линий жидкость совершает движение, которое можно назвать потенциальным вращением, так что во всем объеме вне линий го1 и, = О.
Вихревые нити в жидкости имеют толщину, измеряемую атомными размерами, и с макроскопичсской точки зрения должны рассматриваться как бесконечно тонкие'). Их существование не противоречит выражению скорости в виде (26.12), так как это выражение предполагает достаточную медленность изменения ч, в пространстве, между тем как вблизи вихревой линии ч, меняется сколь угодно быстро (см. ниже формулу (29.3)).
Она ) При вращении жидкости как целого скорость ч = (йг), где й — угловая скорость, а радиус-вектор г отсчитывается от какой-либо точки на оси. При атом гос ч = 2й ~ О. ) Это предположение бьщо высказано Онсагером (Ь. Опзадег, 1949) и затем развито Фейнманом (й. Р. Реупгппп, 1955). з) Это утверждение не относится, однако, к близкой окрестности Л-точки; здесь толщина вихревой нити порядка величины корреляционного радиуса флуктуаций. сеегхтекучесть не противоречит также и изложенному в з 23 обоснованию потенциальности сверхтекучего движения свойствами энергетического спектра бозе-жидкости, так как с вихревой нитью связана определенная макроскопически болыпая энергия (см. ниже (29,8)), и состояние жидкости с нитью не может считаться слабо возбужденным.
Рассмотрим сначала вихревые нити с чисто кинематической точки зрения . как особые линии в распределении скорости при потенциальном движении жидкости. Каждая вихревая нить характеризуется определенным значением (обозначим его через 21РРР) циркуляции скорости по замкнутому контуру, охватывающему эту нить: у,1й = 2ЕРг. (29.2) Это значение не зависит от выбора контура интегрирования. Действительно, если С1 и Сз два контура, охватывающих вихревую нить, то разность циркуляций скорости вдоль них, согласно теореме Стокса, равна потоку вектора го$ у, через поверхность, натянутую между С~ и Сз; но поскольку эта поверхность нигде не пересекает вихревую нить, то во всех ее точках гос у, = О, так что интеграл обращается в нуль.
Отсюда же следует, что вихревая нить не может прерываться: она либо замкнута, либо оканчивается на границах жидкости (а в неограниченной жидкости уходит обоими своими концами на бесконечность). Действительно, наличие у вихревой нити свободного конца означало бы возможность натянуть на контур С поверхность, нигде не пересекающую нить, в результате чего интеграл в левой стороне (29.2) обратился бы в нуль. Условие (29.2) позволяет определить распределение скоростей в жидкости, движущейся вокруг вихревой нити. В простейшем случае прямолинейной нити в неограниченной жидкости линии тока являются окружностями, плоскости которых перпендикулярны нити, а центры лежат на ней. Циркуляция скорости вдоль такой линии равна 2хти„так что Е8 — — —, (29.3) где г - расстояние до нити.
Отметим, что при потенциальном вращении скорость падает с удалением от оси вращения (вихревой нити) в противоположность вращению как целого, где скорость возрастает пропорционально г. Для вихревой нити произвольной формы распределение скоростей дастся формулой Е /(1й Щ (29.4) 147 КВАНТОВАННЫЕ ВИХРЕВЫЕ НИТИ где интегрирование производится вдоль нити, а хь .
радиус- вектор, проведенный от Л к точке наблюдения скорости'). На расстояниях от нити, малых по сравнению с ее радиусом кривизны, формула (29.4) приближенно сводится, конечно, к (29.3). Как уже было отмечено, формулы (29.2)-(29.4) являются следствием одной лишь потенциальности движения жидкости.
Квантовая жс природа вихревых нитей в сверхтекучей жидкости проявляется в том, что постоянная зг может иметь лишь значения из определенного дискретного ряда. Действительно, воспользовавшись выражением (26.12) скорости зг, через фазу Ф волновой функции конденсата, находим для се циркуляции зг,й = — ЬФ, (29.5) где ЬФ изменение фазы при обходе контура.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
