IX.-Статистическая-физика-часть-2 (1109682), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Скорость точек нити дастся формулой (4), в которой под Л надо в данном случае понимать длину волны колебаний (Л 1/1с) 4г н 1 Ь ъ' = — = — гыг = — 1п — —. Ж 2 аййе Вектор бннормали Ь = [«п[, где 1 и п — единичные векторы касательной и главной нормали к кривой. Согласно известной формуле дифференциальной геометрии, И г/с11 = п/Ле, где 1 — длина, отсчитываемая вдоль кривой.
» При малых колебаниях нить слабо изогнута, так что можно положить 1 з и С = и, (единичный вектор вдоль оси х); тогда Таким образом, находим уравнение движения нити 1г 1 -1ыг = — — [п,г) 1п —. 2 а1 В раскрытом виде оно дает систему двух линейных однородных уравнений для л и у; приравняв нулю определитель этой системы, получим искомую связь между ы и к: на~ 1 ы= 1п —.
2 а1с 8 30. Неоднородный бозе-газ В 825 мы рассмотрели свойства почти идеального бозе-газа со слабым отталкиванием между частицами. Новые существенно квантовые особенности этой системы проявляются, однако, если газ пространственно неоднороден. В этом параграфе мы обобщим теорию на случай неоднородного газа. Рассмотрим слабо неидеальный газ при абсолютном нуле температур. В таком газе почти все его частипы находятся в конденсате. В терминах у1-операторов зто означает, что «надконденсатная» часть оператора (Ф') мала по сравнению с его 152 свкгхтккучесть Гл. и! средним значением, т. е. по сравнению с конденсатной волновой функцией Е.
Оператор 1Р'(Р, г) удовлетворяет «уравнению Шре- дингерак (7.8). С учетом лишь парных взаимодействий для бес- спиновых частиц оно имеет вид (индекс (1) у 51! ! опускаем) !5 — Ф(1, г) = ~ — — 2)1+ р+ б'(г) Ф(1, г)+ аС ' ~ 2 +/ Ф Р(1, г')Ф~)(г — г')Ф(С, г') Н~х' Ф(2! г). (30.1) 51 !5 ~:-(~, г)= ( — — ~ 75 — д+77Ю:"И, г)+~41:-И, г) 1~:"И, г) д1 1, 2т (30.2) Теперь, как и в 225, мы должны считать, что постоянная 17е, характеризующая взаимодействие между атомами, выражается через точную длину рассеяния формулой (6.2): По = а. л! т (30.3) Подчеркнем, что волновая функция конденсата Е(1, г) является, как было объяснено в 2 27, классической макроскопичсской величиной. В то же время уравнение (30.2), которому она удовлетворяет, содержит в явном виде постоянную Планка !!.
В стационарном состоянии функция Б не зависит от времени (напомним, что уравнение (30.1) уже отвечает гамильтониану Й' = Й вЂ” 1у' р.) Позтому такое состояние описывается В общем случае было бы, однако, неверно просто заменить 1Р (1, г) на Е(т, г) в (30.1). Дело в том, что такая замена не учитывает сильного взаимодействия между частицами, которое имеет место на расстояниях порядка радиуса действия парного межчастичного потенциала. Эту трудность можно обойти, если, как это было сделано в з 6 и 25, формально заменить истинный потенциал взаимодействия на потенциал с тем же значением длины рассеяния а, но допускающим применение теории возмущений.
В атом случае замена 1Р на Е в (30.1) допустима на всех расстояниях. Считая функцию Б(1, г') мало меняющейся на атомных расстояниях, мы можем вынести ее! заменив на Е(1, г), из-под знака интеграла, который сводится тогда к ) 5!~~~(г) !1~х = 5!е. Таким образом, искомое уравнение для Е(1, г) имеет вид 830 153 НВОДНОРОДНЫЙ ВОЗИ-ГАЭ уравнением '): — — сх — ?г+ с?(г) В(г) + (?0Д(г)(:"(г) = О. (30.4) — — ~~ — ~ — — +у-у =о.
1~/Ф1 ? 3 ьс,.?ьс ( зьг) с» (30.7) ) Уравнения (30.2) и (30.4) были получены Е. П. Гроссом (Е.Р. Стог«, 196Ц и Л. ??. Питаееским (196Ц в связи с обсуждаемой ниже проблемой вихревой нити в бозе-газе. Уравнение аналогичное (30.4) рассматривалось раисе В. Л. Гинзбургом и Л. П. Питаееским (1938) в теории сверхтекучести жидкого гелия вблизи Л-точки. Смысл коэффициентов в этих двух задачах существенно различен, однако формальное сходство уравнений позволяет использовать решение, полученное для вихревой нити в гелии, для бозе- газа. Это решение показано на рис. 4. Отметим, что в отсутствие внешнего поля из уравнения (30.4) следует, что химический потенциал однородного газа равен значению гг = п??0 (и плотность газа), соответствующему первому приближению (25.6) теории Боголюбова.
Важным приложением полученных уравнений является задача о структуре вихревой нити в почти идеальном бозе-газе. Как уже говорилось, толщина самой вихревой нити в жидкости измеряется атомными расстояниями. В почти идеальном бозе-газе ситуация, однако, другая. Здесь «ссрдцевина» вихревой нити, в которой свойства среды существенно изменены, имеет (как мы увидим ниже) микроскопическую толщину, и ее структура может быть описана полученными выше уравнениями. Пусть внешнее поле отсутствует и и есть невозмущснная плотность газа на бесконечности.
Полагая ?г = пб?0 в (30.3), получаем уравнение йг — — ЬВ(г)+(?О) Д(г)!~ — пэ?В(г) = О. (30.5) 2т Прямолинейной вихревой нити соответствует решение вида (30.6) ~,ге/ ьг2шроп где г и у расстояние до оси вихря и |юлярный угол вокруг нее. Фаза этой функции отвечает значению циркуляции (29.7).
Квадрат Д~~ есть плотность числа частиц в конденсатс; в рассматриваемом приближении она совпадает с полной плотностью газа. При г — э оо последняя должна стромиться к заданному значению п, а функция ?' — соответственно к 1. Введя безразмерную переменную С=г?го, получим для функции ~(() уравнение 154 Гл. и! свк»хткку !Всть На рис. 4 показано решение, полученное из (30.7) численным интегрированием. При с — + 0 оно обращается в нуль пропорционально С, а при С вЂ” + со стремится к 1 по закону 1 = 1 — 1/2~2. ЯО 1 0,5 0 1 2 3 4 5 Рис.
4. Параметр го определяет порядок величины радиуса «сердцевины» вихря. Введя вместо 1!0 длину рассеяния, согласно 170 = 4хй2а/т (30.3), найдем, что -17з -172 » -17з где й = ап1!з -- газовый параметр. Этот радиус, таким образом, действительно велик по сравнению с межатомными расстояниями, если газовый параметр достаточно мал. Другой задачей, в которой неоднородность газа играет существенную роль, является задача о газе во внешнем поле. Пусть газ находится в поле притяжения с потенциальной энергией 1! (г) ( О.
(Такая постановка соответствует реальной экспериментальной ситуации, когда атомы удерживаются «магнитной ловушкой»). Волновая функция основного состояния может быть выбрана вещественной и удовлетворяет уравнению (30.4). На бесконечности функция должна стремиться к нулю, а химический потенциал 1» определяется из условия нормировки: (30.8) Б(г) 11 т = 1у', где Х "- полное число частиц в газе.
В общем случае уравнение (30.4) можно решить только численно. Существуют, однако, два предельных случая, где задачу можно сильно упростить. Дело в том, что относительная роль различных членов в уравнении (30.4) зависит от соотношения между величиной го, определенной согласно (30.6), и характерным размером газового «облака» В. Простая оценка показывает, что отношение члена, содержащего взаимодействие 110, к члену с лапласианом имеет порядок (Я(го) 2. б 30 155 неодногодный вовк-ГАЗ Таким образом, при условии гг «ге взаимодействие вообще несущественно. Уравнение (30.4) в этом случае сводится к уравнению Шредингера для частицы в потенциале У(г).
Это означает, что газ можно считать идеальным и все атомы конденсируются в состоянии, соответствующем основному состоянию индивидуального атома в поле (1(г). В обратном предельном случае в уравнении можно пренебречь лапласианом. Плотность газа дается тогда простой формулой: Б(г) = п(г) = — ()г — г1(г)), (30.9) которая выражает классическое условие постоянства химического потенциала во внешнем поле.
Отметим, что в этом приближении газ имеет резкую границу, определяемую уравнением (з — 5Г(г) = О. Химический потенциал находится интегрированием выражения (30.9) по области с1(г) ( )з. Задача Найти спектр элементарных возбуждений в почти идеальном бозе-газе, рассматривая его как закон дисперсии малых колебаний кондснсатной волновой функции. Р е ш е н и е. Рассматриваем малые колебания Б вокруг постоянного среднего значения тгш — чг~ + Аеи""- 0 + В*с †"- 0 где А, В" — малые комплексные амплитуды. Подставив это выражение в уравнение (30.2), в котором внешний потенциал П положен равным нулю, линеаризовав его и отделив члены с различными экспоненциальными множителями, получим систему двух уравнений йыА = — А+ пПе(А+ В), 2т — йгсВ = — В -~- п11о (А -~- В) 2т (р = йк).
Отсюда, приравняв нулю определитель системы, найдем г эээ г (Г )э= ( — .~- — пцо, (,2т ш что совпадает с (25АО), 156 гг!. и! снегхтекучесть 3 31. Гриновские функции бозе-жидкости ') Математический аппарат функций Грина бозе-жидкости строится во многом подобно аналогичному аппарату для ферми- систем.Не повторяя заново всех рассуждений, мы приведем здесь сначала основные определения и формулы, подчеркнув при этом отличия, связанные как с другой статистикой частиц, так и с наличием конденсата').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
