IX.-Статистическая-физика-часть-2 (1109682), страница 25
Текст из файла (страница 25)
В однородной неподвижной жидкости Е не зависит также и от координат и (при надлежащем выборе фазы этой комплексной величины) равно просто (26.6) где по число конденсатных частиц в единице объема жидкости. действительно, Й+Й есть оператор плотности числа частиц в конденсате, а среднее значение этого оператора есть как рвз пд.
) Во избежание недоразумений напомним лишний раз, что зти равенства относятся лишь к переходам между «одинаковымиь состояниями. ) С атой точностью, в частности, следует считать совпадающими матричные элементы операторов Ф для переходов между различными состояниями, отличающимися на одинаковое (малое) число частиц в системе. 137 нолнОВАя Функция кондвнсАУА Существование конденсата приводит к качественному отличию в свойствах матрицы плотности частиц бозе-жидкости по сравнению с матрицей плотности в обычной жидкости. В произвольном состоянии однородной бозе-жидкости матрица плотности определяется выражением Мр(гм г2) = (т, Х~Ф ~(1, г2)Ф(1, г1)~т, Х), (26.7) причем эта функция зависит лишь от разности г = г1 — г2 (ср.(7.13)).
Подставив сюда ф-операторы в виде (26.4) и учитывая свойства (26.3) и (26.5), получим Л'Р(г~., г2) = по + МР (гм г2). (26.8) М(р) = Х/р(г)е '"'а х (26.9) (ср. (7.20)). Подставив сюда Р в виде (26.8), получим 7у (р) (2я)зпод(Р) + И~Р'(г)е " дзх. (26.10) Член с б-функцией соответствует конечной вероятности частице иметь строго равный нулю импульс.
Если в жидкости происходит сверхтекучее движение., или если она находится в неоднородных и нестационарных внешних условиях (существенно меняющихся, однако, лишь на расстояниях, больших по сравнению с межатомными), то бозеэйнштейновская конденсация по-прежнему имеет место, но уже нельзя утверждать, что она будет происходить в состояние с р = О. Величина В, по-прежнему определяемая согласно (26.3), будет теперь функцией координат и времени, имеющей смысл волновой функции частицы в конденсатном состоянии. Она нормирована условием Д~ = по и потому может быть представлена 2 в виде Е (1, г) = ~по(1, г)е' (26.11) «Надконденсатная» матрица плотности Р' стремится к нулю при ~г~ — г2~ — » оо; матрица же плотности р стремится при этом к конечному пределу по7М.
Этим выражается существование в сверхтекучей жидкости «дальнего порядка», отсутствующего в обычных жидкостях, где всегда Р -+ 0 при ~г1 — г2~ — » оо. Это есть то свойство симметрии, которое отличает свсрхтскучую фазу жидкости от несверхтекучей (В.Л. Гинзбург, Л.Д.
Ландау, 1950; О. Рептозе,1950). Фурье-компонента матрицы плотности определяет распределение частиц жидкости по импульсам согласно формуле 138 саегхтекучесть Благодаря тому, что в конденсатном состоянии находится макроскопически большое число частиц, волновая функция этого состояния становится классической макроскопической величиной'). Таким образом, в сверхтекучей жидкости появляется новая характеристика макроскопических состояний, в том числе термодинамически равновесных. Плотность потока! вычисленная по волновой функции (26.11), есть Зконд = — (=~=* — =*'У=) = — По'17Ф, 21и гн где т масса частицы жидкости.
По своему смыслу, зто есть плотность макроскопического потока конденсатных частиц, и ее можно пРеДставить в виДе ыеч„гДе У, —. макРоскопическвЯ скорость этого движения. Из сравнения обоих выражений находим, что жа = — 'У'Ф. (26.12) Поскольку это движение может иметь место в термодинамически равновесном состоянии (характеризуемом величиной Е), то оно бесдиссипативно, так что (26.12) определяет скорость сверх- текучего движения. Мы снова приходим, таким образом, к уже упомянутому в 323 свойству сверхтекучего движения " его потенциальности.
При этом потенциал скорости ~о оказывается совпадающим (с точностью до постоянного множителя) с фазой конденсатной волновой функции й !р = — Ф. гп (26.13) ') Аналогично тому, как становится классической величиной напрюкенность поля электромагнитных волн при больших числах заполнения фотонов в каждом состоянии (см. 1Л1, Э о).
) Фактически плотность конденсата в жидком гелии составляет, повидимому, лишь малую долю от полной плотности жидкости. Во избежание недоразумений подчеркнем, однако, что, хотя скорость конденсата и совпадает со скоростью сверхтекучей компоненты жидкости (и хотя конденсат и сверхтекучая компонента одновременно появляются в Л-точке), плотность конденсата тпо и плотность сверхтекучей компоненты р, отнюдь не совпадают друг с другом. Не говоря уже о том, что отождествление этих двух величин никак не могло бы быть обосновано, его неправильность видна и из того, что при абсолютном нуле вся масса жидкости является сверхтекучей, между тем как отнюдь не все ее частицы находятся в конденсате').
~ 27 твмпвглтхгнля зАвисимость плотности кондвнслтл 139 3 27. Температурная зависимость плотности конденсата , ь2 Ф=~( ) (ь ' ~" ~.э ' ~") о7.1) Р 2рпр (невозмущенную плотность жидкости записываем в виде р = пт, где и плотность числа частиц, индекс 0 опускаем). Согласно сказанному выше, это означает, что оператор макроскопической величины Е, т. е. длинноволновая часть оператора 4, может быть представлена в виде Ф = .,(пв ехр(гФ), где по .-плотность частиц конденсата.
(27.2) Плотность числа частиц в конденсате максимальна при Т=О, а при повышении температуры она падает. Предельный закон температурной зависимости этой плотности при Т вЂ” 1 0 может быть найден путем рассмотрения флуктуаций макроскопической величины --. конденсатной волновой функции Е (Л.А. ГеггеУ, Х МепуЬагг1, Н. Ясйт1й, Г. Бсп1ааЫ, Р.
Бзер7а1изу, 1968). Напомним прежде всего, что Е есть классическая величина, которой в квантовомсханическом формализме отвечает оператор Ф. Поэтому для вычисления флуктуаций и1едовало бы, в принципе, пользоваться этим оператором. С другой стороны, вблизи абсолютного нуля основную роль в спектре флуктуаций макроскопической величины играют длинноволновые колебания. Эти колебания в жидкости представляют собой звуковые волны, описывающиеся макроскопическими уравнениями гидродинамики, и тем самым возникает возможность построить оператор, отвечающий величине Е, путем ее независимого квантования.
В данном случае для величины Е =,,7поехр(гФ) в длинноволновом пределе наиболее сильно флуктуирует фаза Ф, непосредственно связанная с потенциалом сверхтекучей скорости формулой (26.13). Напомним, что обе величины ~р и Ф неоднозначны к ним можно прибавить любую константу. Однозначная же величина /йо может выражаться поэтому лишь через производные от Ф, а потому компоненты Фурье се флуктуаций будут содержать лишние степени волнового вектора 1с, т.
с. будут малы при малых 1с. Связь фазы Ф с потенциалом у позволяет прямо связать ее с величинами, характеризующими распределение фононов в жидкости. Для этого рассматриваем ~о, а тем самым и Ф как вторично-квантовый оператор, выразив его, согласно (24.10), через операторы рождения и уничтожения фононов; свкгхткку !Всть Гл.
и! х! !( ) пати» ~ ( ( ! ) 1р(г1 га)16~( ! ) !р(г1 га)!!Ь~ 2~п +срс е р пати ~ ~1 ( + 11 1р(г! — га)7В р где пр — — (еп — 1] Переходя от суммирования к интегрированию, имеем 11! !( ) пати !' па+ 1/2 ьр(г! — гг) " р (27 б) и,/ р (2г!!) а Это выражение, разумеется, справедливо только для вклада от малых р (6/р велико по сравнению с межатомными расстояниями). Подынтегральное выражение в (27.5) прямо определяет распределение частиц по импульсам Ж(р) = "' '" (пр + — ) . (27.6) При Т = 0 эта формула дает 1„1( ) пати 2пр (27.7) Прежде всего воспользуемся этой формулой для вычисления распределения «надкондснсатных» частиц бозе-жидкости по импульсам (при малых значениях последних).
В одночастичной матрице плотности р(г!, г2) при больших расстояниях ]г! — г2] можно воспользоваться длинноволновым выражением 1)1-оператора (27.2): 2Ур(гм г2) = (Ф~(г2)Ф(г!)) — пе(е 'ф (")е'ф(")), (27.3) где среднее берется по состоянию жидкости при данной температуре. Ввиду малости флуктуаций следует разложить это выражение по степеням Ф, сохраняя лишь первые неисчезающие (квадратичные) члены. Учитывая, что Ф» = Ф, получим 11'р(г!, г2) = пе — пе(Ф (г)) + пе(Ф(г2)Ф(г1)). (27.4) Третий член стремится к нулю при ]г2 — г!] -» сс и дает искомую нвдконденсатную часть матрицы плотности (второй жс член в однородной жидкости вообще не зависит от г и дает поправку к плотности конденсата, которая будет вычислена ниже иным способом).
Используя (27.1), приводим надконденсатную часть к виду ~ 28 поввдвнив сввгхтвкхчвй плотности ввлизи мточки 141 (Х Саоотеб, Рб. Яоггетез, 1964), а при Т ~ О, ир << Т: Н( ) пети~ (27.8) (Р. С. НоЬепбету, Р. С. Мат1гп, 1965). Теперь можно определить температурную зависимость плотности конденсата. По определению, имеем пе(Т) = п — /Х(р) (27.9) Если прямо подставить в эту формулу (27.6), интеграл разойдется из-за нулевых колебаний.
Это обстоятельство связано с непримснимостью (27.6) при больших р и означает лишь невозможность вычислить таким способом значение конденсатной плотности при Т = О, которое надо считать здесь заданной величиной. Для определения же искомой температурной зависимости надо вычесть из ио(Т) ее значение при Т = О, после чего интеграл уже будет сходиться. В результате получим пе(2') — по(0) тои )т ппр галер пе(0) п,/ р (2яб)з — — (27.19) 2кзпибз,т' е — 1 12ттибз е При вычислении мы пренебрегли температурной зависимостью полной плотности жидкости; это пренебрежение законно, поскольку тепловое расширение жидкости (связанное с возбуждением фононов) пропорционально более высокой степени температуры — Т (см. Ъ', 2 67) ').
2 28. Поведение сверхтекучей плотности вблизи Л-точки Как уже упоминалось в 2 23, с повышением температуры доля сверхтекучей плотности р,/р бозе-жидкости убывает, обращаясь в нуль в точке фазового перехода второго рода — так называемой Л-точки жидкости. Температура Тл этой точки является функцией давления Р; уравнение Т = Тл(Р) определяет линию Л-точек на фазовой диаграмме в плоскости РТ. ') Полученные формулы, справедливые для любой бозе-жидкости, находятся, конечно, в согласии с полученными в З 25 формулами для слабо неидеального бозе-газа.
Прн сравнении надо учесгтч что для такого газа пе п., а условие малости р имеет внд р «тпи б(ап)гбе. 142 сеегхтекучесть В общей теории фазовых переходов второго рода изменение состояния тела описывается поведением параметра порядка, характеризующего его свойства симметрии. Для Л-перехода бозе- жидкости роль такого параметра играет волновая функция конденсата Б, описывающая, как было объяснено в з 26, «дальний порядок» в жидкости. Комплексность В означает, что параметр порядка имеет две компоненты, причем эффективный гамильтониан системы (см.
Ъ', З 147) зависит только от ~ Е ~2, т. е. инвариантсн относительно преобразования  — + ЕРУ Б с любым вещественным 1Е. Эмпирические данные о Л-переходе в жидком гелии свидетельствуют, по-видимому, о том, что для него отсутствует область применимости теории фазовых переходов Ландау: критерий (146.15) (см. ЛГ) нс выполняется нигде в окрестности Л-точки (т. е. нигде в области ~Т вЂ” Т1 ~ << Тх). Поэтому для описания свойств этого перехода надо пользоваться флуктуационной теорией фазовых переходов второго рода, дающей возможность связать друг с другом температурные зависимости различных величин. Температурная зависимость параметра порядка (а тем самым и плотности конденсата пе) при Т вЂ” ~ Тх дается критическим индексом р (см. Ъ', З 148): ) Е ! =,/пе сх (Тл — Т)~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
