IX.-Статистическая-физика-часть-2 (1109682), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Как и в предыдущих параграфах этой главы, частицы жидкости предполагаются бесспиновыми. При определении гриновской функции бозе-жидкости следует выделить из гейзенберговских ф-операторов конденсатную часть, представив их в виде (26А). Функция Грина определяется по надконденсатной части операторов согласно С(Х1, Х2) = — г(Тге'(Х1)се ~(Хг)), (31.1) где снова скобки (...) означают усреднение по основному состоянию системы, а Т знак хронологического произведения. При этом, однако, в отличие от случая фермионов, перестановка ф-операторов для приведения их в нужное расположение не должна сопровождаться изменением знака произведения, так что (в отличие от (7.10)) С(Х, Х,) = (~ (~1)~ (Х')) '" ": (31.2) (в! (Х2)а! (Х1)), 11 ( 12. Такое же среднее значение, как (31.1), но с полными г)!-опера- торами вместо надкондснсатных дало бы — г(У!р(Х1)гр~(Х2)) = — гпе + С(Х1, Х2), (31.3) где по — плотность числа частиц в конденсате').
В однородной жидкости функция С зависит, конечно, только от разности Х = Х1 — Х2. Надконденсатная матрица плотности р' выражается через функцию Грина согласно 1!!Р (г1, г2) = гС(1П г1; 11+ О, г2) = гС(1 = — О, г) (31.4) ) В 8 31 — ЗЗ,ЗЗ используется система единиц, в которой й = 1. ) Применение математической техники гриновских функций к бозе- системам с конденсатом принадлежит С. Т.
Беляеву (1958). ) Как и для ферми-систем, мы будем рассматривать состояния бозесистсмы при заданном значении химического потенциала д (а не числа !!г). Соответственно роль гамильтониана системы играет разность Й! = Й вЂ” дй (7.1).При этом конденсатная часть И'-оператора от времени нс зависит. 831 157 ГРИНОБСКИЕ ОВНКЦИИ БОЗЕ-ЖИДКОСТИ обратим внимание на другой общий знак по сравнению с (7.18) ). частности, при г1 = г2 отсюда получается полная плотность числа надконденсатных частиц (31.5) — — пс = ТС(1 = — О, г = 0) тг (ср. (7.19)). Переход к импульсному представлению происходит по тем же формулам (7.21), (7.22).
Нормировка функции С(ы, р) выражается формулой ,1,1з — = по+ г 1(ш С(ы, р)е ' " (31.6) )г г-г-а у (2к)ч (ср. (7.24)). Для функции Грина бозе-системы в импульсном представлении можно получить разложение, подобное тому, которое было получено в 38 для ферми-систем. Полностью аналогичные вычисления приводят сначала к формуле Х~'(ы+ Ее(Х) — Е (%+1)+ и+10 Е 6(р+Р ) ы — Ес(Х) + Е (Х вЂ” 1) + р — 10 з где А = )(0(гр'(0)(т)(~, В = )(т)ф'(0)(0))~ (ф'(г) - шредингеровский надконденсатный оператор) '). Для приведения этого разложения к окончательному виду замечаем, что энергии возбуждения е (Х) в бозе-системе определяются как (всегда положительные) разности между энергиями возбужденных состояний системы и энергией ее основного состояния при неизменном числе частиц 7ч".
Учитывая, что Ес(М) + )з— = Ес()ч'+ 1), находим поэтому, что Е (И+1) — ЕЕ(У) )т Е„,(Ю+1) — ЕЕ(И+1) = Евг()у+1) > О, Е ()11 — 1) — Ее()1Г)+)т = Е (дг — 1) — Ее()1à — 1) = е (Х вЂ” 1) > О. Но добавление или удаление одной частицы меняет свойства системы лишь в членах относительного порядка 1/Х; для макроскопичсской системы зти члены пренебрежимо малы, так что ') Формула (31.7) отвечает формуле (8.7). Множитель 1/2 отсутствует теперь в связи с бесспиновостью частиц. Обратим внимание на другой знак перед вторым членом в (31.7) по сравнению с (8.7).
158 снегхтекучесть гх!. ш энергии возбуждения е(н(Х ж 1) следует считать совпадающими друг с другом и с е (Л). Таким образом, окончательно находим о( ! (! ! т ('~ ! (~ !' ! !! ! (~~!' !) (!!ц! ы — е +!о ы+ е — зо Тем же способом, как было получено (8.14), отсюда легко найти, что для бозе-систем мнимая часть функции Грина всегда отрицательна: 1п!С((л, р) < О.
(31.9) Асимптотический вид функции Грина при о! -+ Со остается тем же, что и в случае ферми-систем; С(ы, р) — 1 1((о( при ~о() -+ сс (31.10) (ср. (8.15)). При его выводе следует учесть правило коммутации Ф(1, г1)Ф+(с! гз) — Ф (1, гз)(р(1, г1) = д(г1 — гз), в котором стоит теперь коммутатор операторов !е и (е+ вместо антикоммутатора'). Далее, такие же рассуждения, что и в 38, приводят к основному результату о том, что полюсы функции Грина определяют спектр элементарных возбуждений С ~(е,Р)=0, (31.11) причем следует брать только положительные корни этого уравнения; в отличие от (8.1б), вычитать )т из е здесь не требуется. Вблизи своего полюса функция Грина имеет вид С(о!, р) - ~, Еь ) О, У...
< О; (31,12) (у ~ е(р) ) Тот факт,что в определении С выделена конденсатная часть ф-операторов, здесь несуществен: постоянному члену †(по в (31.3) в импульсном представлении отвечает 6-функция б(ы)д(р),не отражающаяся на (31.10). знак вычета в полюсе совпадает со знаком сп, как это следует из положительности коэффициентов А ! В в (31.8) (величина же вычета нс ограничена никакими условиями, подобными, например, условию (10.4) в случае ферми-систем).
Используя выражение (31.12), легко убедиться (подобно тому, как это было сделано в 3 8), что неравенство (31.9) автоматически обеспечивает положительность коэффициента затухания квазичастиц, т. е. нужный знак — 1ще ) О, когда значения е сдвигаются в комплексную область. 131 159 ГгииОБскин тинкции БОзе-жидкОсти Возможность перехода надконденсатных частиц в конденсат и обратно приводит к тому, что в математическом аппарате функций Грина для бозе-систем наряду с функцией (31.1) автоматически появляются (как мы увидим в 3 33) также и функции гГ(ХН Хг) = (1у' — 2~ТУ'(ХГ)Ф'(Х2) ~Х), гГ~(ХН Хг) = (М~ТФ ~(ХГ)Ф ~(ХЗ)~М вЂ” 2) = = (1у + 2~ТУ ж(ХГ)Ф +(Хг) ~М), (31.14) Г(Х) = Г(-Х).
(31.15) Отсюда следует, конечно, что и в импульсном представлении Г . четная функция своего аргумента Г(Р) = Г( — Р). (31.16) Далее, определенное соотношение между Г и Г~ возникает как результат следующего свойства гейзенберговского ф-оператора ) Независимость функции Р' от суммы времен Гг + гг связана с тем, что в определение гамильтониана Н = Н вЂ” ргч включен член — раг. Том самым из разности собственных значений энергии систем с различными числами частиц исключен член а нз матричных элементов оператора Ф', Фг соответственно исключен мно- житель ехр( — гр(ГГ + Гг)). где матричный элемент берется для переходов с изменением полного числа частиц в системе, а символ ~Х) означает основное состояние системы с 1эг частицами (последнее равенство в (31.14) справедливо с точностью до величин 1/М ср.
примечание на с. 136). Определенные таким образом функции Г и Г Г называют аномальными функциями Грина. Покажем, что в однородной и неподвижной жидкости функции Г и Г~ совпадают друг с другом. Как и функция С, функции Г и Гт для однородной жидкости зависят только от разности Х = Хà — Х2'). При этом, поскольку перестановка Хг и Хг меняет лишь порядок расположения операторов в произведении, который все равно устанавливается операцией хронологизации, то 18О сверхтекучесть гт!. н! неподвижной жидкости '): Ф'(1, г) = Ф(-1, -г). Полагая, скажем, (з ) 11, имеем (31.17) гГ~(Х1, Хз) = (й7+ 2~Ф ~ (Хз)Ф ~(Х1)~йг) = = (уф'(Х1)Фк'(Х,)~Л +2) = = (1У~Ф'( — Х1)Ф'( — Хз)~Л+ 2) = гГ( — Х1! — Хз), или Гт(Х) = Г( — х).
С учетом (31.15) отсюда следует искомое равенство Г'(Х) = Г(Х) (31.18) Выразив функцию Г(Х) через матричные элементы г)!-операторов, можно получить для Г(сс! р) разложение, аналогичное разложению (31.8), и тем самым выяснить вопрос о полюсах этой функции; мы не будем останавливаться здесь на этом. Укажем лишь, что полюсы функции Г(ы, р) совпадают с полюсами функции С(п1, р). В заключение этого параграфа вычислим функцию Грина идеального бозе-газа С(Е). Заметим прежде всего, что поскольку в основном состоянии такого газа все частицы находятся в конденсате, то надкондснсатный оператор уничтожения частиц ') В нем можно убедиться следующим образом.
Все отличные от нуля матРичные элементы опеРатоРов ар, арь могУт быть опРеделены как вещественныс величины (см. 1П, (64.7), (64.8)); в этом смысле операторы вещественны, т. е. ар = ар — — ар. Поэтому юредингеровский !)!-оператор У!(г) = Р ~ 2 аре'Р" р обладает свойством ~ч (г) = ф( — г). Отсюда, в свою очередь, следует равенство (31.17) для гсйзенберговского оператора !р(й г) = ехр(гЙ1)у!(г) ехр( — гЙ1), в чем легко убедиться, заметив, что для системы без спиновых взаимодействий гамильтониан Й веществен (так что Й+ = Й), а в силу изотропии системы Й( — г) = Й(г).
Подчеркнем, однако, что вещественность гамильтониана подразумевает отсутствие в жидкости макроскопического сверхтекучего движения. Для бозе системы с конденсатом гамильтониан зависит от макроскопического параметра — конденсатной волновой функции В, В движущейся жидкости этот параметр комплексен, а с ним комплексен (но, разумеется, эрмитов) и гамильтониан.
131 161 ГРИНОВСКИЕ ФРИКЦИИ БОЗЕ-ЖИДКОСТИ р',р, ~= ' Т'а, р ~ ~р.— — 'р,-рр)~ [рр.рр) р~о (отличающимся от (26.1) членом 1ф в показателях экспонент). При подстановке этого выражения в определение Ср~р, согласно (31.2), замечаем, что при усреднении (т. е. взятии диагонального матричного элемента) могут дать отличный от нуля результат лишь произведения арар и арар, но поскольку в основном состоянии газа числа заполнения всех состояний частиц с р ф 0 равны нулю, то (артар) = О, (арарф) = 1.
Перейдя затем обычным образом от суммирования по р к интегрированию, получим С (1,г)= Р> ( — Р1 р(-' — РРРрРР;р~ — р РРР, ~ (-) 0 при 1( О. (31.20) Отсюда для функции Грина в импульсном представлении имеем =-7- (--" "-) 2т о Интегрирование осуществляется с помощью формулы БРА 11 1 О+ РО о (31.21) О е.м.л ф ж л,п,п « р Ф' при воздействии на волновую функцию основного состояния обращает ее в нуль. Поэтому функция С~о~(1, г) отлична от нуля только при 1 = 11 — 1о > 0 (когда, согласно (31.2), первым действует оператор рождения Ф +). Хотя для идеального газа химический потенциал р = О,мы не будем полагать здесь этого, рассматривая д как не определенный заранее свободный параметр; это необходимо для дальнейшего применения функции Ср~р в диаграммной технике для произвольной жидкости, где р играет роль именно такого параметра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
