IX.-Статистическая-физика-часть-2 (1109682), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Соответственно этому, оператор Фо~(1, г) будем писать в виде 162 Гл. п! снвгхткку !есть (в подынтегральном выражении вводится множитель е и! с Л > О, после чего переходим к пределу Л -+ 0). Окончательно 1 — ! С(~)(ог, р) = ш — Р + )г+ гО~ . (31.22) 2т Что касается функции Е, то для идеального газа и'(О) (Х) = О, как зто очевидно из определения (31.13), в котором оба оператора уничтожают надконденсатные частицы. Поэтому и в импульсном представлении .г"(~)(аг, р) = О. (31.23) Этим равенством выражается тот факт, что надконденсатные частицы появляются (при Т = 0) только в результате взаимодействия. Задача Найти функцию Грина фононного ноля, определяемую как Р(Х1, Хг) ив е Р(Х1 — Хг) = — !(г р (Х!)р (Хг)), (1) где угловые скобки означают усреднение по основному состоянию поля; р— оператор плотности из (24.10), а хронологическое произведение раскрывается по правилу (31.2).
Решение. При подстановке (24.10) в определение (1) замечаем, что поскольку в основном состоянии все числа заполнения фононных состояний равны нулю, то отличны от нуля лишь средние значения (сьс~ь ) = 1. Перейдя затем от суммирования по и к интегрированию, получим з Р(й г) = ! — е (рй ц„,„о !(й ,/ 2ги (2к)в где знаки — и ~- в показателе относятся соответственно к ! > 0 и 1 < 0 (в интеграле для 1 < 0 произведено переобозначение переменной интегрирования й — г — к).
Подынтегральное выражение (без множителя е™) есть уже компонента фурье-разложения функции Р(й г) по координатам. Разлагая так же и по времени, получим гриновскую функцию в импульсном представлении Интегрирование осуществляется с помощью формулы (31.21); ьг 2и 1ог — их+10 !о+ив — 101 огг — иг1ог+10 3 32 1бз диАГРАммнАя техникА для Бозе-жидкости 3 32. Диаграммная техника для бозе-жидкости Дальнейшее построение диаграммной техники для вычисления функций Грина бозе-системы производится подобно тому, как это было сделано в 312, 13 для ферми-систем.
Как и там, сформулируем правила этой техники для систем с парным взаимодействием между частицами, описывающимся оператором гг(1) = — / Ф (1, Г1)Ф (1, Г2)У(Г1 — Г2)Ф(1, Г2)Ф(1, Г1) Й Х111 Х2. (32.1) СпЕцифика бОЗЕ-жидкОСтЕй С кОндснСатОм СОСтОит прЕзцдЕ всего в том, что все гейзенберговские ф-операторы должны быть представлены в виде Ф = Ф' + В, где Ф' .
его надконденсатная часть, а Е конденсатная волновая функция, представляющая собой (для неподвижной жидкости) просто вещественное число ,угйо'). После такой подстановки оператор (32.1) распадается на ряд членов, содержащих от четырех до нуля операторов Ф' (вместе с соответствующим дополнительным числом множителей,/по) . Все сказанное в 212 о переходе к представлению взаимодействия остается полностью в силе, а дальнейшее раскрытие получающихся выражений осуществляется с помощью теоремы Вика (с тем лишь отличием, что перестановка 111-операторов в усредняемом произведении не требует теперь изменения знака). Разнообразие членов, на которые распадается оператор (32.1), приводит, однако, к появлению новых элементов в фейнмановских диаграммах.
Опишем эти элементы сразу в окончательном, импульсном представлении. В каждой вершине диаграммы по-прежнему сходятся три линии: штриховая линия (которой сопоставляется множитель — гУ®) с 4-импульсом Я = (до, с1)) и две линии частиц одна входящая и одна выходящая.
Но при этом надо различать конденсатные и надконденсатные частицы. Сплошные линии будут отвечать теперь надконденсатным частицам, и такой линии (с 4-импульсом Р = (ш, р)) по-прежнему отвечает множитель гС(0)(Р). Линии же конденсатных частиц будем изображать волнистыми; этим линиям приписывается 4-импульс Р = О, и им 1 ) Подчеркнем, что поскольку зта величина возникает от разделения на части точного (гейзенберговского) 1г-оператора, то пе — точное значение плотности конденсата в жидкости (при Т = О).
свегхт'екучесть сопоставляется множитель,,/по о'). Таким образом, возникают вершины четырех видов: (32.2) б в г (вершины с одной или двумя волнистыми линиями называют неполными). В каждой вершине должен выполняться «закон сохранения 4-импульса»; поэтому в вершинах б и в 4-импульс штриховой линии совпадает с 4-импульсом сплошной линии, а в вершине г он равен нулю). Волнистые линии всегда являются внешними линиями диаграммы, т. е. присоединены к ней лишь одним из своих концов, второй жс конец остается свободным.
Каждая диаграмма, входящая в определение функции Грина С(Р), имеет две сплошные внешние линии с 4-импульсами Р (входящую и выходящую), а сверх того может иметь некоторое (четное) число волнистых внешних линий; полные числа входящих и выходящих внешних концов во всякой диаграмме одинаковы (чем выражается сохранение полного числа частиц в системе конденсатных вместе с надконденсатными). Как и для ферми-системы (и по той же причине см. ~13), допустимы только диаграммы, не распадающиеся на две (или более) не связанные друг с другом части.
В отличие от случая ферми-систем, меняется, однако, правило, определяющее общий знак, с которым диаграммы входят в гС: все диаграммы входят с одинаковыми знаками (т. е. устраняется указанное на с. 74 правило 3). Каждая из штриховых линий в диаграмме имеет на своих двух концах полную или неполную вершину.
Это не могут, однако, быть две вершины типа (32.2г): не имея ни одного сплошного конца, такая фигура вообще не может быть присоединена к диаграмме функции Грина. Это не могут быть также вершины типов (32.2г) и (32.2в) (или (32.2г) и (32.2б)): при наличии трех волнистых концов сохранение 4-импульса в вершинах привело бы в такой фигуре к обращению в нуль также и 4-иешульса четвертого конца, т. е. мы пришли бы к фигуре со всеми четырьмя конденсатными (волнистыми) концами. ) Точнее, входящей в вершину волнистой линии должен сопоставляться множитель Б, а выходящей — множитель Б*; ввиду вещественности Б ати множители фактически одинаковы.
2 32 диАГРАммнАя твхникА для вове-жидкости 165 Значительное число диаграмм в каждом порядке теории возмущений, ггостроенных по описанным правилам, однако, тождественно обращается в нуль. Причиной этого исчезновения является отсутствие надконденсатных частиц в основном состоянии идеального бозе-газа. Это в особенности ясно видно, если проследить за происхождением диаграмм в координатном Р представлении: равны нулю все свертки вида (гр ~гр'), в которых оператор уничтожения надконденсатных частиц стоит справа и действует на основное состояние первым; остаются только свертки вида (Ф'Ф +) '). Так обращаются в нуль диаграммы с «замкнутой на себя» сплошной линией: такая линия возникает от свертки (Ф (1, г)Ф (1, г)), представляющей плотность надконденсатных частиц.
Далее, равны нулю диаграммы, содержащие сплошную линию, замкнутую гптриховой линией: Такая линия возникает от свертки (чг ~'(г, г2)Ф'(г, г1)) двух ф-операторов внутри одного и того же оператора взаимодействия Ъ'(г), в котором гр + стоят слева от гр'. Наконец, равны нулю все диаграммы, в которых можно провести замкнутый контур по некоторой последовательности сплошных и штриховых линий так, что направления сплошных линий вдоль всего контура одинаковы.
Изобразим контур такого рода, указав у точек на концах линий временные аргументы „l Аргументы на концах каждой штриховой линии одинаковы'). Аргументы же функций С16), отвечающих сплошным линиям, равньг разностям г2 — 11, гз — г2, 14 — гз, 11 — г4; длЯ любОГО замкнутого контура их сумма будет равна нулю, так что хотя бы один из них отрицателен и соответствующая функция С1О) обратится в нуль. ') По аналогичной причине обрвщвлись в нуль некоторые диаграммы для рассеяния двух частиц в вакууме — см. З 16. ) Напомним, что в пространственно-временном представлении диаграмм штриховой линии межлу точками 1 и 2 сопоставляется множитель гУ1Хг — Хз), содержащий б-функцию б(й — 1г). снегхтекучесть гх!. 1н Описанные правила относятся и к диаграммам, определяющим аномальную функцию Грина, с той лишь разницей, что обе сплошные внешние линии должны быть выходящими (для функции Р) или обе входящими (для функции Р").
Соответственно становятся неодинаковыми в этих диаграммах числа входящих и выходящих волнистых линий — так, чтобы общее число всех выходящих линий осталось равным общему числу входящих. Одной из внешних сплошных линий приписывается 4-импульс Р, а другой 4-импульс — Р (где Р аргумент искомой функции Р(Р) или Р+(Р)) '); сумма 4-импульсов обеих этих линий должна быть равна нулю в силу «закона сохранения 4-импульса», примененного к диаграмме в целом.
Вычисленные по диаграммной технике функции Грина содержат два параметра химический потенциал д и плотность конденсата по; эти параметры надо еще связать с плотностью жидкости п = 1зг/Ъ'. Одно соотнопгение между этими тремя величинами дает формула (31.6), с11едующая непосредственно из определения функции Грина. В качестве второго соотношения можно пользоваться полученным ниже уравнением (33.11), явно выражающим д в терминах понятий диаграммной техники.
3 33. Собственно-энергетические функции Изучим более подробно структуру диаграмм для функций Грина, введя в рассмотрение понятие о собственно-энергетической функции подобно тому, как это бьшо сделано в з 14 для ерми-систем: путем рассмотрения совокупности всех диаграмм с двумя внешними сплошными линиями), которые не могут быть рассечены на две части пересечением лишь одной сплошной линии. В отличие от 3 14, однако, теперь возникают различные возможности в смысле направления внепгних линий диаграмм: наряду с диаграммами с одной входящей и одной выходящей линией существуют диаграммы с двумя выходящими или двумя входящими линиями. Соответственно этому, возникают собственно-энергетические части трех родов: — !Х11 РР— !л го — Р Р (в этих обозначениях первый индекс у Е указывает число входящих, а второй .
число выходящих внешних сплошных ') Поскольку Р— четная функция своего аргумента, то выбор общего знака Р здесь несуществен. 1 33 167 совстееннО-энеггетические Фенкции линий). Наряду со сплопшыми внешними линиями собственно энергетические диаграммы имеют, вообще говоря, также и волнистые (конденсатные) свободные концы. Эти концы включаются в определение собственно-энергетической функции, изображенной здесь кружком. Мы увидим ниже, что функции Е02(Р) и В20(Р) фактически совпадают В02(Р) = В20(Р). (33.2) Сразу же отметим также, что поскольку Р и — Р входят в определение этих функций симметричным образом, они четны по своему аргументу: (33.3) В02(~ ) = ~'02( Р) ° Приведем для иллюстрации все отличные от нуля диаграммы функций Еы и Е02 в двух первых порядках теории возмущений (33.5) Составим теперь уравнения, выражающие точные функции С и Р через собственно-энергетические функции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
