IX.-Статистическая-физика-часть-2 (1109682), страница 34
Текст из файла (страница 34)
массу, отнесенную к единице площади. Для слоя гелия макроскопической толщины 1 эту величину можно записать как д, = р,.б, где р, — обычная объемная сверх- текучая плотность. Для тонких пленок эта связь отсутствует. Параметры таких пленок вообще не определяются объемными свойствами. Волновую функцию конденсата при Т = 0 запишем в виде г — ~Ф -" = тгиое где введена (при Т = О) поверхностная плотность конденсата ио.
При конечных температурах фазу Ф следует рассматривать как флуктуирующую величину, по флуктуациям которой должно производиться усреднение. Вероятность этих флуктуаций имеет вид Г ДХ1 пг = ехр~— (35*.1) Т причем свободная энергия Ьг' равна кинетической энергии жидкости (ср. (28.6)): ьтг = г1, /(~7Ф) г1Я. Волновую функцию конденсата при конечных температурах следовало бы определить как (В).
Эта величина, однако, в согласии со сказанным в начале параграфа, равна нулю. Для доказательства воспользуемся полученным в задаче к З 111 (см. уг) результатом, согласно которому для линейной однородной функции у переменных со средними значениями равными нулю, подчиняющихся гауссовой статистике, имеет место формула (ехр(у)) = ехр((у~)/2). (35".2) (В квантовом случае такое утверждение справедливо для операторов, подчиняющихся теореме Вика.
Это было использовано в Ъ"П1, з 127 при вычислении фактора Дебая Валлера.) Применив формулу (35~.2) к среднему от Е, получим (В) =,,/иоехр( — (ЬФ)/2) = хггиоехр( — гр(0) ), (35*.3) 184 свкгхткку !ксть Гл. п! так что р(т) = ГУЕ ЕХр[гр(т) — гр(0)). Согласно (35*.4) 2 1' 21~к сгг(т) — г!2(0) = Т, / — (е'"' — 1) (35*.5) Этот интеграл сходится на малых й. Расходимость же на больших й связана с нсприменимостью классической теории флуктуаЦИй ПРИ й > йюах Т(йи (и —. СКОРОСТЬ ЗВУКа), таК ЧтО ИытЕ- грал следует обрезать на этом значении й.
В результате главный вклад в интеграл вносит область значений й „>й>Цт, в которой с логарифмической точностью можно пренебречь экспоненциальным членом в скобке. После этого простое интегрирование дает гп2 1 гр(т) — гд(0) = — Т 1п 2яг1,62 гк,„ ) Следующие ниже вычисления аналогичны вычислениям корреляционной функции флуктуаций плотности двумерного кристала в У, 2 138. где гр(т) -. введенная в 828 корреляционная функция флуктуаций фазы.
(Несущественное среднее значение фазы положено равным нулю.) Выражение для г!2(т) в двумерном случае можно получить из трехмерной формулы (28.9) очевидными заменами. В результате: 2 1' 1 . 12! (35*.4) Этот интеграл расходится на малых й при любых т, так что правая часть (35".3) обращается в нуль.
Вычислим теперь матрицу плотности системы'). Она равна по определению: р([г1 — гэ[) = (:"*(гэ) Е(г1)) = гге(ехр[2(ЬФ(г1) — ЬФ(гэ)))) (разумеется, как и в (35*.3), нельзя разлагать экспоненту по флуктуациям фазы). Используя опять для усреднения формулу (35*.2), получаем р([г1 — гэ[) = ьо ехр[ — ((ЬФ(г1 — глФ(гэ)) )/2). Выражение в квадратных скобках, очевидно, равно: ((ЬФ(г1)!хФ(гэ) — (2хФ(г1)) ), 9 35* 185 СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ ДЕУМЕРНЫХ СИСТЕМ (35*.7) ') Излагаемые соображения были высказаны независимо В. Л.
Березинским (1970) и Косгоерлнцем и Таулессом. (1. М. Коагег)йй 11. ТБои1еав, 1972.) Окончательный вид матрицы плотности: Р(г) = "0 (35е.б) (гк ) о где показатель убывания равен 2 ц=т т 2ЕН,бз Разумеется, жидкость с убывающей по медленному степенному закону (35*.6) матрицей плотности качественно отличается от обычной жидкости, чья матрица плотности убывает экспоненциально. Центральным положением излагаемой теории является утверждение, что такая жидкость с медленно убывающими корреляциями является сверхтекучсй.
Несмотря на то, что число конденсатных частиц равно нулю, свсрхтскучая плотность г1, отлична от нуля. (Это, конечно, предполагалось при выводе формул (35*.6), (35*.7), в которые гг, входит явно. Здесь существенно, что предположение о конечности д, не приводит к противоречию, в отличие от предположения об отличном от нуля числе частиц в конденсате.) В действительности разрушающие конденсат длинноволновые флуктуации фазы представляют собой почти однородное в пространстве ее изменение, нс влияющее на механические свойства жидкости. Это делается особенно ясным, если обратиться к такому фундаментальному проявлению сверхтекучести, как потенциальность течения, т. е, равенству нулю циркуляции скорости по замкнутому контуру. Такое равенство эквивалентно требованию однозначности фазы, которое не может быть нарушено длинноволновыми ее флуктуациями.
Оно наруп|ается, однако, самопроизвольным рождением внутри контура квантованных вихревых нитей. Такой процесс невозможен в трехмерном теле, поскольку вихревые нити имели бы в этом случае макроскопическую длину, а следовательно и энергию. В пленке же атомной толщины пронизывающие ее поперек вихревые нити имеют энергию атомного порядка и могут возбуждаться тепловым образом.
Такая «точечнаяг вихревая нить представляет собой своеобразное элементарное возбуждение двумерной системы. Она отличается, однако, от обычных возбуждений тем, что ее энергия логарифмически зависит от площади пленки. Это приводит к тому, что вихревые нити могут рождаться тепловым образом только при температурах выше определенной температуры перехода'). 186 сеегхтекучесть Гг!. 1П Заметим прежде всего, что рождение вихревой нити термодинамически выгодно, если оно уменыпает свободную энергию.
Изменение свободной энергии за счет рождения вихревой нити равно ЬЕ = ЬŠ— Т!.'УБ, где ЬЕ вклад нити в энергию, а ЬЯ в энтропию. Заменяя в формуле (29.8) Хр, на 11„имеем гг с Е гг т» а 2 т» огг где о = ЕВ2 — площадь пленки, оо = »га2. Энтропия ЬЯ определяется логарифмом объема фазового пространства, равным для нити, состояние которой определяется двумя ее координатами на плоскости, логарифму площади. Таким образом, г» ЬЕ = "— 11,— '1и — — Т1п —.
(35*.8) 2 т» оо ггг Знаменатель гт! под логарифмом в выражении для энтропии име ет размерность площади и по порядку величины равен оо. С логарифмической точностью можно положить о.! = 1го. Возникновение вихревой нити выгодно., если Ьг' < О, т. е. если т>Т.= 1,", (35*.9) (Х М. Кое!ег1!!е, Р. ТЬоп1еее, 1972.) Подчеркнем, что логарифм площади имеется и в выражении для энтропии возбуждений обычного типа, например, ротонов, или возбужденных атомов. Напротив, энергия «обычного» возбуждения не зависит от площади. Поэтому его рождение всегда термодинамически выгодно и некоторое количество таких возбуждений имеется при любых, сколь угодно низких, температурах. Число же вихревых нитей при Т < Т, строго равно нулю. Отметим также то важное обстоятельство, что поскольку существование макроскопического углового момента пленки термодинамически невыгодно, вихревые нити противоположных знаков циркуляции должны рождаться в равных количествах, так что средний момент равен нулю.
Это позволяет рассматривать рождение вихревых нитей как процесс диссопиации пар связанных вихрей. Поскольку, как уже было отмечено в 229, появление вихревых нитей означает нарушение сверхтекучести, при температурах выше Т, сверхтекучесть исчезает.
Т, есть температура фазового перехода в нормальное состояние. Этот переход., однако, отличен от фазовых переходов первого и второго рода и специфичен именно для двумерных систем. Сверхтекучая плотность 11, обращается в точке перехода в нуль скачком. Непосредственно ниже точки перехода эта плотность связана с температурой перехода Т, универсальным соотношением (35*.9). 8 35* 187 СВЕРХТЕКМЧЕСТЬ ДВММЕРНЫХ СИСТЕМ Согласно (35*.7) и (35*.9) показатель убывания матрицы плотности 21 равен в точке перехода 1/4, так что рЯ г (35» 10) Выше точки перехода эта функция ввиду равенства нулю «1, убывает экспоненциально.
Мы увидим ниже, что при приближении сверху к точке перехода плотность вихревых нитей стремится к нулю по экспоненциальному закону. Соответственно, экспоненциально мал и вклад вихрей в термодинамические функции, так что в точке перехода непрерывны все производные термодинамических функций. Своеобразная ситуация имеет место в пленках макроскопической толщины, для которых д, = р,1 . Вдали от Л-точки, где р, р, температура Т„если ее оценить согласно (35*.9), оказывается высокой. Двумерность системы здесь ни в чем не проявляется. По мере приближения к Л-точке, однако, р, уменьшается и в конце концов достигает значения р,(Т) = (2Тт /хг 6~) (2Тхт (зг1 гг ). При этой температуре пленка теряет сверхтекучесть по описанному в этом параграфе механизму. Таким образом, в толстой пленке переход с образованием вихрей происходит чуть ниже Л-точки, тем ближе к ней, чем толще пленка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
