IX.-Статистическая-физика-часть-2 (1109682), страница 33
Текст из файла (страница 33)
178 гл. и! снегхтекучесть возникает множитель, выражающийся интегралом П(Р) = — ', / (2к)4 у (!7е — е(!7) + 40Ць4 — де — е(~р — Ч~) + !0) где Р = (а1, р). Интегрирование по 44!70 выполняется путем замыкания пути интегрирования бесконечно удаленной полуокружностью в одном из полуплоскостей комплексного 4)о и дает П(Р) = ' 1 "' . (353) (2х) / ы — е(4) — е(~р — Ч!) -~ 40 К исследованию этого интеграла мы вернемся ниже, а теперь надо выразить через него искомую точную функцию С(Р), просуммировав для этого все диаграммы вида (35.1).
Для функции С(Р) можно написать диаграммное уравнение Дайсона (35.4) РРР— б~ Здесь жирные линии изображают точную функцию 4С, а светлые -- «неособуюв часть этой функции, определяемую совокупностью диаграмм, «неделимых по двум линиямв, Второй же член в правой части (35.4) изображает совокупность диаграмм вида (35.1). При этом светлый кружок представляет точную «трехконцевуюа вершинную функцию (обозначим се Г© Р— Я, Р)), а запгтрихованный - ее нсособую часть, из которой исключены диаграммы, могущие быть рассечены по двум сплошным линиям'). Как было объяснено выше, интегрирование по 414Я приводит к появлению множителя П(Р), причем остальные множители в диаграмме заменяются их значением при Я = Я,.
Таким образом, равенство (35.4) означает, что С(Р) = а(Р) + 5(Р)С(Р)Г,(Р)П(Р), (35.5) где Г,(Р) = Г߄Р— Яс, Р), а п(Р), 6(Р) - - некоторые регулярные (вблизи порога Р = Р,) функции. В (35.5) фигурируют две особые функции — С и Г„и для выражения их через П необходимо поэтому еще одно уравнение. Мы получим его, заметив, что точная вершинная функция Г ) Ситуация здесь аналогична уравнению Дайсона в квантовой электро- динамике (см.
141,1 107): как н там, вся требуемая совокупность диаграмм получается путем введения поправок лишь к одной из вершинных функций. 135 СВОЙСТВА С11ВКТРА ВБЛИЗИ ТОЧКИ ВГО ОКОНЧАНИЯ 179 представляется рядом «лестничногоВ вида аналогичным ряду (17.3) для четырехконцевой вершинной функции. Его суммирование приводит к уравнению Р Р + Р РО РО1 (ср. (17А)); в аналитическом виде, при Я ~„оно дает Г,(Р) = с(Р) + д(Р)П(Р)Г,(Р), где с(Р), а(Р) регулярные функции.
Исключив теперь ГВ из двух полученных уравнений, найдем искомое выражение функции Грина через П: С ~(Р) = ( ) ( ) +С(Р), (35. 6) 1 +В(Р)П(Р) где А, В, С - снова регулярные (вблизи Р = Р,) функции. Дальнейшие вычисления различны для разных типов распадов квазичастиц. а) Порог распада на два ротона В этом случае энергия с(д) распадных частиц вблизи порога дается формулой (2,6)1 и интеграл (35.3) принимает вид П(ы д) =~ (а — 2~ — — „~(д — ро) +Ф вЂ” С1~ — ро)'1) 2т" (з„)з ' (35.7) Для интегрирования вводим новые переменные д,', д, согласно определению, дз = (рез1НВ+ до) СОВ1р, дк — — (ров1НВ+ до) Б1п1р, д, = росоБВ+ д,', причем ось г направлена вдоль р, а угол В определен равенством 2ро сов В = р.
Вблизи порога д,', д' малы, и с нужной точностью имеем д -ро+д' зтВ+д,'совВ, (р — с1~ = ро+ д' Вш — д,'Б1пВ, с1 д ро Бш В дд' Йд, '4р. 180 свкгхткку !эсть гл. и! Выражение в фигурных скобках в (35.7) принимает вид (В! — 21т, — — (!7 В1п О+ ч, сов 0)~ и после повторной замены переменных !7' з1пд = у'т*р сову!, !7,'созй = 4т*р з1п4 нахОдим, интЕгрируя пО !11, П( ) —— 2Х сои а / — м ~-2Ь+ р! Расходимость этого интеграла при больших р связана лишь со сделанными пренебрежениями и несущественна; обрезание интеграла при некотором значении р» ~2Ь вЂ” ы~ даст вклад лишь в регулярную часть П. Интересующая же нас особая часть этой функции возникает от области вблизи нижнего предела интегрирования, и для нее находим П сх 1и (35.8) 2!'.! — Ы При малых значениях 21л — ы этот логарифм велик; подставив (35.8) в (35.6) и разложив по его обратным степеням, получим С (ы, р) =5+с!в 2Л вЂ” м' где а, 6, с .
- новые регулярные функции от ы и р. В пороговой точке (р = р,) энергия распадающейся квазичастицы равна 2Ь. Поскольку энергия квазичастиц определяется нулями функции С !, то зто значит, что С !(21л, р,) = О, а для этого должно быть и 6(2Ь, р,) = О. Но регулярная функция 6(ы! р) разлагается по целым степеням разностей р — р, и ш — 2Ь; заменив также регулярные функции а(!у, р) и с1ы, р) их значениями в пороге, получим в результате следующее выражение функции Грина в околопороговой области: С (В1, р) = 13 р — р, + о 1п гав (35.9) е = 2ь! — а ехр (— Р— Р! (35.10) где а, о, р' постоянные. Приравняв это выражение нулю, мы получим вид спектра е(р) вблизи порога. Если область невозможности распада лежит при р ( р„е ( 2!11, то постоянные !т и а должны быть положительными и уравнение С ~ = 0 имеет здесь незатухающее решение 2 35 СВОЙСТВА СПЕКТРА ВБЛИЗИ ТОЧКИ ЕГО ОКОНЧАНИЯ 181 Мы видим, что кривая спектра подходит к пороговой точке с горизонтальной касательной бесконечного порядка.
В области же р ) р, уравнение С = О не имеет ни вещественных, ни ком- -1 = плексных решений с е 2Ь при р р,. В зтом смысле кривая спектра вообще не продолжается за пороговую точку, оканчиваясь в ней'). б) Порог распада на две квазичастицы с параллельными импульсами Поскольку в пороговой точке, при р — р„выражение е(1)) + е(]р — с1]), как функция от Ч, должно иметь минимум, то вблизи порога оно имеет вид е(Д)+е(]Р— Ч]) = е +и (Р— Рс)+сг(Ч Чо) +ЯЧ вЂ” Чо Рс)2 (35 11) где сг, )3 — постоянные; гс есть скорость каждой из рождающихся в поРоговой точке Распвлных квазичастиЦ, а с)о — импУльс оД- ной из них.
Подставив (35.11) в (35.3) и введя новые переменные интегрирования согласно Р = Ч вЂ” ЧО: Ррс = Ррс сов гР1 получим Пгш ) 1 / Р'дрдсое1Р (2К)з,/ е — е, — е,(р — р,) — орз — Врзр~ созе р Этот интеграл имеет в пороговой точке корневую особенность; П сс ~п,(р — р,) — (е — е,)]112. (35.12) Подставив это выражение в (35.6), находим гриновскую функцию в околопороговой области С 1(ш, р) = А(ш, р) + В(ш, рио,(р — р,) — (ш — е,)] 1 Так как С 1(е„р,) = О, а А и В - регулярные функции, то, разлагая последние по степеням р — р, и ш — е„окончательно находим ') Как уже было указано в примечании на с.
173, в жидком гелии спектр заканчивается, по-видимому, именно в точке такого типа (кривая на рнс. 2 приближается к прямой е = 2Ь с горизонтальной касательной). С' 1 сс ~и,(р — р,) — (ш — е,)]~72 + ]а(р — р,) + 6(ш — е,)], (35.13) где а, 6 постоянные. 182 ГЛ. 1и сиегхтекучесть Вид спектра определяется уравнением С ~(е, р) = О.
Ищем его решение в виде е — ес = тс(р — р) + сонет(р — рс)з; для того чтобы оно существовало при р ( р„должно быть а+ бп, > О и тогда е = ее+ ис(р — р,) — (а+Ьис) (р — р,) . (35.14) При том же условии в области р > р, уравнение С ! = О не имеет решений с е — сс при р — р,. Таким образом, и в этом случае спектр обрывается в пороговой точке. 3 35в.
Сверхтекучесть двумерных систем Весьма своеобразными свойствами обладают двумерные бозе- системы — — тонкие пленки жидкого гелия. Отметим, прежде всего, что в двумерном случае конденсат существует лишь при Т=О. Плотность конденсата равна нулю при сколь угодно низкой, но конечной температуре'). Это следует из того, что если подставить )1!'(р) из (27.8) в интеграл )'М(р) Р, равный числу 31 (2хбз) нвдконденсатных частиц, то этот интеграл будет логарифмически расходиться в области малых р, где эта формула должна была бы быть справедлива. Это противоречие означает, что в двумерном случае неверно само лежащее в основе вывода формулы предположение о существовании конденсата при конечных температурах. Положение здесь аналогично ситуации в двумерных кристаллах (см.
Ъ', 3137). Подобное тому, как в последних флуктуации смещения атомов размывают решетку, так флуктуации фазы уничтожают конденсат. Формальное сходство между двумя системами состоит в том, что в обоих случаях они описываются величинами, которые могут входить в выражение для энергии лишь под знаком производных. В первом случае это векторы смещения атомов, которые не могут сами войти в энергию ввиду ее инвариантности по отношению к смещению системы как целого.
Во втором случае это фаза конденсатной волновой функции, которая не может сама войти в энергию ввиду своей неоднозначности. Тот факт, что энергия зависит лишь от градиентов этих величин и приводит в конечном счете к расходимости флуктуаций. Мы видели в 1!,31381 что логарифмическая расходимость флуктуаций приводит в двумерном кристалле к медленному 1 ) Эти утверждения относятся и к двумерному идеальному бозе-газу.
Нетрудно убедиться в том, что в двумерном случае химический потенциал такого газа обращается в нуль только при Т вЂ” ! О. 3 35* 183 СВЕРХТЕКУ 1ЕСТЬ ДВУМЕРНЫХ СИСТЕМ (степенному) убыванию корреляционной функции. Аналогично, в двумерной бозе-системе матрица плотности (26.7) не стремится при ~г1 — г2~ -+ ос к постоянному пределу как при наличии конденсата, а убывает, но лишь по степенному закону (Х И~. Капе, 7.Каг1апси, 1967.) Переходя к количественному исследованию вопроса, введем некоторые обозначения. Обозначим через д, двумерную сверх- текучую плотность, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
