IX.-Статистическая-физика-часть-2 (1109682), страница 31
Текст из файла (страница 31)
В терминах теории возмущений разность С(Р) — Сзе) (Р) выражается суммой бесконечного числа диаграмм -- цепочек вида состоящих из различных чисел кружков, соединенных всеми возможными способами стрелками прямого и обратного (по сравнению с двумя крайними) направлений. Аналогичным образом, точная функция Р (функция Р(0) = 0) изобразится суммой цепочек, в которых две крайние стрелки имеют противоположные направления: 168 свкгхткку гксть 3РК(Р) (33.3) Р— Р Тогда сделанные утверждения запишутся в виде графических равенств, составленных из скелетных диаграмм: РРРРР— Р Р (33.7) — Р— Р Р ° -Ф.— — Р Р (ср. аналогичное уравнение (14.4)).
В аналитическом виде эти равенства дают ') С(Р) — [1+ ег!(Р)С(Р) + е2е(Р)Р(Р)]С( )(Р) (33.8) Р(Р) = С( )( — Р)(Еп( — Р)Р(Р) + Еог(Р)С(Р)). Решив эти уравнения относительно С и Р и подставив выражение (31.22) для С(е) ! получим искомые формулы 1 С(Р) = — ~п)+ и — )3+Вы( — Р)~, Р(Р) = — — Воз(Р), (33.9) Р~ 2т Р где .О (~'02(1 )1 — Е!!( — Р) — а) — 20+ и — )31 ')Е)г( — Р)+и) — 30+ Р— Р .
(33.10) 2т 2т Подчеркнем, что эти соотношения не зависят от внутренней структуры собственно-энергетических функций, а потому не свя- заны и с предположением о парности взаимодействий между ча- стицами, так что они верны для любой бозе-жидкости. ') Аналогичную систему уравнений можно было бы написать для С и г г, причем она отличалась бы от (33.8) лишь заменой 3'ез и Ете друг на друга. Поскольку Р = г т, то отсюда следует равенство (33.2). Если отсечь во всех этих цепочках крайнее звено (кружок вместе со стрелкой), как показано вертикальной штриховой линией, то совокупность оставшихся диаграмм с одинаковыми направлениями крайних стрелок снова будет совпадать с точной функций С, а совокупность диаграмм с противоположными направлениями крайних стрелок с точной функцией Р.
Введем графическое обозначение этих функций жирными одно- и двусторонними стрелками Р 1 33 169 ссвстееннс-энеггети $еские Фенкции Энергия элементарных возбуждений в жидкости в зависимости от импульса р определяется полюсами функций С и Р гю отношению к переменной ь2. При малых р зти возбуждения являются фононами и их энергия стремится к нулю вместе с р.
Поэтому функция (33.10) должна обращаться в нуль при р = О, ш = О. Отсюда находим равенство [Е, (О) — д]' = Е3,(0). Как уравнение по отношению к д, оно имеет два корня, из кото- рых должен быть выбран (33.11) д = Еы(0) — Еоз(0). Действительно, в длинноволновом пределе ф-оператор дается выражением (27.2) и его нвдконденсатная часть Ф' = Ф вЂ”,,/пв в— — 2 22нооФ, так что Ф Р = — Ф' и затем Р— — С; последнее равенство выполняется именно при выборе (33.11), когда числители в (33.9) (в пределе Р— 2 0) отличаются только знаком. Равенство (33.11) и есть то второе соотношение (см.
конец 332), которое вместе с соотношением (31.6) дает возможность выразить параметры 12 и 22д через плотность жидкости и. Дальнейшее разложение выражения (33.10) в ряд по ы и р определяет вид функции Грина в области малых значений их аргументов. При этом надо учесть, что скалярные функции Еы и Евз разлагаются по степеням р, а разложение четной по всем своим аргументам функции Ео2 содержит лишь четные степени также и переменной 22. Представив (33.10) в виде Р = ш+ — (Еы(Р) — Еы( — Р)] 2 - ~ — "-д+-(Е (Р)+Е (-Р)] +ЕЙ(-Р)], 12т 2 сразу заключаем, что первые неисчезающие члены разложения имеют вид 2.2 = сопв1(22~ — и~р~ + 20), где и - . постоянная, представляющая собой, очевидно, скорость звука в жидкости.
Заметив также, что в силу (33.11) числители в (33.9) при ш, р — + 0 отличаются только знаком, найдем, что СОПЕФ м2 Н2р2 + 26 Значение постоянной в числителе можно определить, вычислив по этой гриновской функции импульсное распределение частиц 170 свегхтекучесть Гл. гг! 21г (р) (при малых р) и сравнив его с известным уже нам распре- делением (27.7). Интеграл Л(р) = г 1пп / С(го, р)е ' (ср. (7.23)) вычисляется путем замыкания пути интегрирования бесконечно удаленной полуокружностью в верхней полуплоскости (ср.
замечание в конце з 7) и соответственно определяется вычетом в полюсе ьг= — ир+ гО. В результате получим ггг(р) = = сопв(гг2ир и сравнение с (27.7) дает сопе1 = поти2/и. Таким образом, окончательно находим следующее выражение функций Грина при малых го и р; м + р~/2гп + пг1а ' (огг Р) = ыг — ег(р) + го Г(ы, Р) = м' — е'(1 ) -Ь гО ' (33.14) пагпи (33.12) п(мг — игра + гО) Отметим, что зта функция совпадает (с точностью до нормировочного коэффициента) с функцией Грина фононного поля (см.
задачу в 331) вполне естественный результат, поскольку в области малых ю, р все злементарныо возбуждения в бозе- жидкости являются фононами. Наконец, проиллюстрируем полученные формулы в применении к рассмотренной в з 25 модели почти идеального бозе-газа с парным взаимодействием между частицами. В первом приближении теории возмущений 2'11 и Х02 ОпРеделяются первыми двумя диаграммами (33.4) и первой диаграммой (33.5).
Раскрыв их в аналогичном виде, получим г" 11 по[()0 + (7(Р))г г"02 нос' (Р) С той же точностью плотность конденсата по в этих формулах можно заменить полной плотностью газа п. Как было указано в ~ 25, в этой модели импульсы частиц газа можно считать малыми, соответственно чему фурье-компоненты гг'(р) можно заменить их значением (70 при р = О. Тогда Вп = 2п(7ог В02 = п(70. (33.13) Подстановка этих выражений в (33.11) дает гг = пБ0 в согласии с (25.6).
Подстановка же в (33.9)г (33.10) приводит к следующим формулам для функций Грина: 171 РАспАд кВАзичАстиц где 2 2 1/2 е(р) = — + "— ПУо Из вида знаменателей этих функций ясно, что е(р) . - энергия элементарных возбуждений -- в согласии с полученным ранее другим способом результатом (25.10), (25.11). 3 34. Распад квазичастиц Конечная продолжительность жизни (затухание) квазичастицы в квантовой жидкости может бьггь связана как с се столкновениями с другими квазичастнцами, так и с ее самопро извольным распадом на две (или более) новые квазичастицы. При температуре Т вЂ” ) О первый источник затухания исчезает (так как вероятность столкновений стремится к нулю вместе с плотностью числа квазичастиц), и тогда затухание возникает лишь от распада квазичастиц.
Рассмотрим распад квазичастицы (с импульсом р) на две. Если Ч вЂ” импульс одной из возникающих квазичастиц, то импульс другой есть р — с1, и закон сохранения энергии дает условие е(р) = е(я) + е(~Р— Ч~) (34.1) Может оказаться, что в некоторой области значений р это равенство не выполняется ни при каких Ч; тогда квазичастицы в этой области будут вообще не затухающими (если, конечно, невозможен также и распад на большее число квазичастиц). По мере изменения р затухание возникает при значении р = р, (порог распада), при котором впервые появляются корни уравнения (34.1). Отметим прежде всего, что в точке р = р, правая часть равенства (34.1), как функция от Ч, имеет экстремум.
Действительно, пусть экстремальное значение суммы е(д) + е(~р — Ч~) при заданном р есть Е(р) (для определенности будем считать, что это . минимум). Тогда в уравнении е(р) — Е(р) = е(д) + е(~р — Ч~) — Е(р) правая часть неотрицатсльна. Поэтому уравнение заведомо не имеет корней при значениях р, для которых е(р) — Е(р) ( О; корень появляется только в точке р = р„в которой е(р,) = Е(р,) .
172 ГЛ. 1П свегхтекучесть Представив уравнение (34.1) в симметричном виде е(Р) = е!,!71) + е1!72)! Ч1 + Ч2 Р! найдем, что условие экстремума его правой части можно записать как де/дЧ! = де/дЧ2 или 111 = И2 (34.2) т. е. в пороговой точке две распвдные квазичастицы имеют одинаковые скорости. Здесь можно различать несколько случаев (Л. П. Питаевский, 1959). а) Скорость квазичастицы в бозе-жидкости равна нулю при импульсе р = ре, отвечающем ротонному минимуму на кривой рис. 2. Поэтому если у1 = у2 = О, то это значит, что в точке порога квазичастица распадается на два ротона с импульсами ре и энергиями 2л. Соответственно энергия распадающейся квазичастицы е(р ) = 2Ь, а се импульс р, связан с ро условием Р, = Рщ + РЕ2, т.
е, 2РЕ сов 0 = Р„гДе 20 — Угол Разлета ДвУх ротонов. Отсюда следует, что во всяком случае должно быть р, ( 2ро. (34.3) б) Ес!1и скорости тгг = у2 ~ О, причем соответствующие им импульсы с11 и с12 конечны, то это значит, что распад в пороговой точке происходит на две квазичастицы с коллинеарными (параллельными или антипараллельными) импульсами'). в) Если же скорости у1 и тг2 отличны от нуля, но один из импульсов (скажем, Ч1) стремится к нулю вблизи пороговой точки, то соответствующая ему квазичастица является фононом и скорость о! = и. В этом случае мы имеем дело с порогом, за которым становится возможным рождение квазичастицей фонона.
В самой пороговой точке энергия фонона равна нулю, а скорость квазичастицы как раз достигает скорости звука (совпадая со скоростями е! = С2 = и), г) Наконец, еще один, особый случай представляет распад фонона на два фонона, причем порогом является сама начальная точка спектра р = О. Такой распад, однако, возможен лишь при определенном знаке кривизны начального (фононного) участка спектра: должно быть !12е(р)/!1р2 ) О, т. с.
кривая е(р) должна загибаться вверх от начальной касательной е = ир. В этом легко убедиться, представив этот участок спектра в виде е(р) — ир+ сер ! (34.4) 1 ) В силу изотропии жидкости направления квазичастицы р и ее скорости и = де!!др коллииоариы, ио могут быть направлены как в одинаковую, так и в противоположные стороны. 173 РАСПАД КВАЗИ ЧАСТИЦ учитывающем наряду с линейным также и следующий член разложения по степеням малого импульса '). Уравнение сохранения энергии (34.1) дает тогда п(Р— 7 — ~Р— с))) = — (Р' — Ч' — ~Р— с)~') Вблизи порога фонов испускается под малым углом й к направлению начального импульса квазичастицы р; в левой части уравнения имеем р д ~р с1~) ~~ (1 сов д), (34.5) Р— Я а в правой достаточно положить ~р — с)~ — р — д.
Тогда находим 1 — соз д = Зсг(р — с))~. (34.6) Отсюда видно, что должно быть сг ) О. Мы увидим ниже (з 35), что в случаях а) и б) функция е(р) вообще не может быть продолжена за пороговую точку, оказывающуюся, таким образом, точкой окончания спектра. В случаях же в) и г) распад квазичастицы с испусканием длинноволнового фонона приводит к появлению слабого затухания, которое может быть определено с помощью теории возмущений'). Вычислим затухание фонона, связанное с его распадом на два фонона (случай г)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
