IX.-Статистическая-физика-часть-2 (1109682), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Напомним, что зто свойство (как и такое же свойство операторов поля в квантовой злектродинамике) связано с несохранением числа «частиц» в фононном поле. 127 юоноиы в жидкости Напомним для дальнейших ссылок, что отличные от нуля матричные элементы этих операторов (п1, — 1~с~,(п~,) = (н~,~с~~ ~п~, — 1) = чгп~„(24.9) где ~к числа заполнения фононных состояний. В дальнейшем нам понадобится, однако, не шредингеровский оператор у(г), а гейзенберговский ~рн(1, г). Он получается из Дг) просто путем введения множителей ехр(~иЛ) с частотами ы=ий в каждый член суммы (1 г) = ~~, (А с еъ1ът — ии1) + А*~ 'е нксг — иий) и (ср. сказанное по этому поводу для ф-операторов в начале 2 9). Оператор же плотности р (1, г) должен быть связан с оператором ~р(1, г) соотношением (24.2) и поэтому дается такой же суммой с множителями гАьрей/и вместо Аь.
После этого множители Аь надо определить так, чтобы выполнилось правило коммутации (24.7). В результате получаются следующие окончательные выражения; , 172 ) Х ( Ви ( Цкг — им) + "Ч- — 1(иг — иы)) (24.10) I ~ ° ~ % 1 Роди 1 ~ ЧЯг — иы) и — 1(нг — иы1) 2Ъ'и Действительно, подставив эти выражения в левую часть правила (24.7), с учетом (24.8) получим требуемую б-функцию 1п ~~~ (с1 ск онс1 )е~Цг г ) $',/ (2к)з Легко убедиться также, что гамильтониан жидкости, получающийся подстановкой ч = 17у и р вместо и и р' в интеграл (24.3), имеет, как и следовало, вид Й = ~ ~ийк (с~1с~, + -); 2 его собственные значения равны 2 , 'ийй(па + 1/2) в соответствии с представлением о фононах с энергиями е = ийк.
Выражение (24.3) для энергии жидкости в звуковой волне представляет собой первые (после нулевого) члены разложения 128 свегхтекучесть точного выражения Е = /[ —" + ре(р)~ Н х (где е(р) .. внутренняя энергия единицы массы жидкости). Роль точного гамильтониана жидкости играет этот интеграл, в кото- Ром У и Р заменены опеРатоРами хР = ~У и Р = Ро + Р с У и Р из (24.10) Е=) (Рврр.(р!) и'* (24.11) (оператор кинетической энергии написан в симметризованном виде тррч/2, чтобы быть эрмитовым). При этом существенно, что именно р и р являются канонически сопряженными «обобщенными координатами и импульсами», через которые должен быть выражен гамильтониап.
Это видно из того, что правило коммутации (24.7), которому удовлетворяют операторы (24.10), является точным в его выводе малость колебаний нигде не использовалась. Члены более высоких (третьей и т. д.) степеней в разложении этого гамильтониана выражают собой ангармоничность звуковых колебаний, а в терминах фононной картины описывают взаимодействие фононов. Эти члены имеют матричные элементы для переходов с одновременным изменением нескольких чисел заполнения фононов и тем самым играют роль возмущения, вызывающего различные процессы рассеяния и распада фононов.
При этом матричные элементы самих операторов с!, и ссь имеют, разумеется, прежний вид (24.9), поскольку (как это всегда делается в теории возмущений) используется представление, в котором диагонален невозмущенный гамильтониан. Приведем здесь выражения членов третьего и четвертого порядков (24.12) (24.13) З 25. Вырожденный почти идеальный бозе-газ Основные свойства энергетического спектра бозевского типа ясно видны на модели слабо неидеального бозе-газа при близких к нулю температурах.
Эта модель будет рассмотрена в этом параграфе аналогично тому, как это было сделано в зб для 9 25 129 ВыРО|кденныЙ ИОчти идеАльный ВОзе-ГАЗ ферми-газа'). Все сказанное в 96 в связи с общей характеристикой моделей вырожденного почти идеального газа относится и к настоящему случаю. В частности, условие слабой неидеальности (газовый параметр а(Ж/$') | « 1; а длина рассеяния) может быть по-прежнему сформулировано в виде условия (6.1) малости импульсов частиц; ра/г«« 1').
Гамильтониан системы парно взаимодействующих базанов (которые мы будем предполагать бесспиновыми) имеет вид, отличающийся от (6.6) лишь отсутствием спиновых индексов: г Й = ~~| Р ар ар + — ~ (Р1Р2~5|~Р|Рг)а~, а~, ар,ар, (25.1) (суммирование по всем импульсам, фигурирующим в индексах). Операторы же уничтожения и рождения частиц удовлетворяют теперь правилам коммутации арар — ар ар — — 1.
Как и в 9 6, снова заменяем, в соответствии с предположением о малости импульсов, все матричные элементы в (25.1) их значением при нулевых импульсах; тогда 2т 1' 2И Исходным пунктом применения теории возмущений к этому гамнльтониану является следующее замечание. В основном состоянии идеального бозе-газа все частицы находятся в конденсате — состоянии нулевой энергии; числа заполнения Хр-о = = )уо = )у', гур — — О при р ф О (см. У, 9 62). В почти идеальном же газе в основном и в слабо возбужденных состояниях числа гур отличны от нуля,но очень малы по сравнению с макроскопически болыпим числом Фо.
Тот факт, что величина а~~~ао = гуо = Х весьма велика по сравнению с единицей, означает, что выражение аоао — ао ао = 1 ) Излагаемый ниже метод принадлежит Н. Н. Боголюбову (1947). Применение им этого метода к бозе-газу явилось первым примером последовательного микроскопического вывода энергетического спектра «квантовых жидкостейм В течение длительного времени эти результаты имели главным Образом теоретическое значение. В 1995 г., однако, конденсация Бозе-Эйнштейна была получена несколькими группами экспериментаторов в поляризованных парах щелочных металлов, удерживаемых в «магнитных ловушках».
Эти объекты описываются рассматриваемой теорией. г) Мы увидим ниже, что в вырожденном бозе-газе основная масса частиц (вне «конденсата») обладает импульсами р л~/аЖЧ~, для которых указанное неравенство действительно справедливо. 5 Е.М.Л ф Ч,Л.П.П «с В 130 СВЕРХТЕКУ !ЕСТЪ Гл. и! мало по сравнению с самими ао, йо, и потому можно рассматривать последние как обычные (равныс т/Ло) числа, пренебрегая их некоммутативностью. Применение теории возмущений означает теперь формально разложение четверной суммы в (25.2) по степеням малых величин ар, й~~ (р ф 0). Нулевой член разложения равен й~ой~ойойо = ао (25.3) Члены первого порядка отсутствуют (ввиду невозможности соблюдения в них закона сохранения импульса).
Члены второго порядка ао ~~! (ара р + й+й+ + 4й~~йр). (25.4) р~о Ограничиваясь точностью до величин второго порядка, можно заменить в (25.4) ао — — 11'о на полное число частиц 1"у'. В члене 2 жс (25.3) следует учесть более точное соотношение ао + ~ ~йр~йр — — 1"У'. р~о В результате сумма членов (25.3), (25.4) становится равной гУ' +!У'~ (ара р+й~ъй+ +2а!ар), р~о и после подстановки в (25.2) получаем следующее выражение для гамильтониана: Л1г г Н= — 5!о+" р й+йр+ — 11о ~ (йрй р+й~~й~р+2й~~йр).
2Р 2т Р 2Р р рло (25.5) Первый член этого выражения определяет, в первом приближении, энергию Ео основного состояния газа, а его производная по 111 соответственно химический потенциал р при Т = 0; ЛГ' Ео = — 5!о, 2$' (25.6) Остальные же члены в (25.5) определяют поправку к Ео и спектр слабо возбужденных состояний газа. Входящий в (25.5) интеграл Уо должен еще быть выражен через реальную физическую величину — длину рассеяния а.
В членах второго порядка это может быть сделано прямо по формуле (6.2): бо = 4хб~а!'т. В первом же члене нужна более Выгожденный пОчти идеАльный Бозе-ГАз точная формула (6.5), учитывающая второе борновское приближение в амплитуде рассеяния. При этом речь идет о столкновении двух частиц конденсата, соответственно чему в сумме в (6.5) надо положить р1 = р2 = О, р1 — — — р~2 = р, так что будет 4ей а( + 4кй а ~ ~1 ) т р~о р Подставив это в (25.5), получим для гамильтониана 2ей~а Х ( + 4ей~а ~~- 1 ) т Р 1' рз р~о т 2т р~о р Для определения уровней энергии надо принести гамильтониан к диагональному виду, что осуществляется надлежащим линейным преобразованием операторов ар, аР.
Введем новые операторы Ьр, Ь+, согласно определению, ар = ирьр + Н,Ь, аэ = ирЬ + ирЬ причем потребуем, чтобы они удовлетворяли таким же соотношениям коммутации ЬЬр — Ь Ь =О, ЬЬ',— Ь Ь =5 каким удовлетворяют операторы ар, а~т. Легко видеть, что для этого должны быть и2 — и2 = 1. Учтем это, написав линейное преобразование в виде (25. 8) Величину ор надо определить таким образом, чтобы в гамильтониане выпали недиагональные члены (ЬрЬ р, ЬрЬ р). Простое вычисление дает (25.9) где введены обозначения; (25.10) е(р)= ир + 4ей~аЖ (25.11) 132 СВКРХТККУЧКСТЬ Гл. и! При этом гамильтониан принимает вид Й = Ео+ ~~' е(р)Ь+Ьр, р~о (25.12) где Я = — ~- — 1 ~ )Р) — ~ — ~- †," ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
