IX.-Статистическая-физика-часть-2 (1109682), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Переписав уравнение (39.15) в следующем виде =К 1 йз ~ ~~,~з 2 / е(2лй)з / е(,2хй)з замечаем, что интеграл в его левой части отличается от интеграла при Т = 0 лишь заменой зле на зл. Поэтому учитывая ВРРт Ьо (39.17), мы видим, что левая часть равна ВР~ 1п — '. В правой 2язаз лз части подставляем пр из (39.14) и переходим к интегрированию по др = Й)/ир; (40.1) где 1(и) = ч'хз + из(ехр ч'хз -~-из -~- 1) а (ввиду быстрой сходимости интеграла пределы интегрирования мОгут быть раСпрОСтранЕны дО шОО). В области низких температур (Т « зле) интеграл вычисляется просто '); 2 т доит (40.2) ) При больших и первый член разложения 1(и) по 1/и: з а40 овкгхтккучнй хкгми-глз.
ткгмодннлмичкокик свойотвл 211 В области же вблизи точки перехода Ь мало, и разложения интеграла 1(Ь|Т) дают ') Гала т 7С(З) Ь' 1п — = 1п — + — —. 11 711 аяа та' Отсюда, прежде всего, видно, что Ь обращается в пературе первые члены (40.3) нуль при тем- Т, = 71Ха/н = 0,57,Ь0, малой по сравнению с температурой вырождения зтого в первом порядке по Т, — Т получим (40.4) То (л.
После Ь = Т, 1 — — = 3,06Т, 1 — —. (40.6) ') Для разложения интеграла 1(и) при и — > 0 прибавляем и вычитаем из него интеграл Тогда 1 = 1г +1г, где „х 1 „ъ'х~+ иа по и: и )'4х 11 хл' — — — ~~-сй-) . 4 „/ х (х 2) а Подставляя сюда разложение 1!а — = 4х ~[я (2п+ 1) + х ) 2 а.=а (его вывод см. в примечании на с, 224) получим 21а = 4и и~ — з г 7ь(3) / [(2п+ 1)аяа + ха)а яа = — ~(2п+ 1) = и —.
Яяа =а „ =-а а В 1г первый член в подынтегральном выражении интегрируется элементарно, а второй интегрируем по частям и находим и 1 1 !пх 21г = — 1п — + — з пх. 2 2 / с!аз (х)2) а Стоящий здесь интеграл равен 2!п(я)27) (где !и 7 = С = 0,577 постоянная Эйлера), так что 21г = !п(я,1 уи). Интеграл 1а обращается в нуль при и = О. Первый член его разложения 212 Гл. ч СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ Нам осталось вычислить термодинамические величины газа. Рассмотрим сначала область низких температур. Для вычисления теплоемкости в этой области проще всего исходить из формулы бЕ = ~ ~е(бпрз + Би ) = 2 ~ збир и для изменения полной энергии при варьировании чисел заполнения квазичастиц.
Разделив на бТ и перейдя от суммирования к интегрированию, получим теплоемкостгп хе аз У дГ При Т (( Л функция распределения квазичастиц и = е е7~, а их энергия е = Ьо + г)з/2ЬО; простое интегрирование приводит к ез льтат: р у у р. ч знзРР'-го — асят (40.6) хздкзуз1г Таким образом, при Т вЂ” з 0 теплоемкость убывает по экспоненцивльному закону прямое следствие наличия щели в энергетическом спектре. Для дальнейших вычислений удобно исходить из термодинамического потенциала Й, поскольку все рассмотрение ведется нами при заданном химическом потенциале системы (а не числа частиц в ней) ').
Воспользуемся формулой (40.7) где Л какой-либо параметр, характеризующий систему (ср. Ъ', (11.4) (15.11)); в данном случае в качестве такого параметра выберем константу связи и, фигурирующую во втором члене гамильтониана (39.8). Среднее значение этого члена дается последним слагаемым в формуле (39.10), равном, согласно (39.12), — 11Ь~Я сс д. Поэтому имеем аа рл' дн При я -+ 0 энергетическая щель й стремится к нулю. Поэтому, интегрируя зто равенство по дд в пределах от 0 до д, найдем ) Не смешивать химический потенциал газа как такового с (равным нулю) химическим потенциалом газа квазичастиц! ез 40 сввгхтккячий овгми-газ. твгмодинамичвскив свойства 213 разность между термодинамическим потенциалом Й в сверхтекучем состоянии и значением, которое он имел бы в нормальном состоянии (гл = О) при той же температуре '): К й, — й„= — Ъ' ~ — й8. (40.8) 0 Согласно общей теореме о малых добавках (см.
У(24.16)), поправка (40.8), будучи выражена в соответствующих переменных, одинакова для всех термодинамических потенциалов. При абсолютном нуле с) = Ье, и, согласно (39.18), имеем 8Ле 2я Ь Ье 88 тря 8' Переходя в (40.8) от интегрирования по дд к интегрированию по ЙЬ0, найдем следующее выражение для разности энергий основных уровней сверхтекучей и нормальной систем: (40.9) Отрицательный знак этой разности и означает упомянутую в начале параграфа неустойчивость «нормального» основного состояния в случае притяжения между частицами газа. Отнесенная к одной частице, разность (40.9) составляет величину 1л2/1г.
Перейдем к обратному случаю, Т вЂ” + Т,. Дифференцируя равенство (40.3) по 8, находим 7ч(3) й л дЬа 2я~й~ 88 4х~тч Ье тря 8 Подставим отсюда г(87'82 в формулу (40.8), понимая ее как разность свободных энергий: Ь 1г76(3), ~~ 3,7 8, 4йзУз / 0 ') Здесь необходимо сделать замечание, связанное со сделанными нами с самого начала пренебрежениями. При 8=0 в гамильтониане (39.8) вообще не остается взаимодействия метлу частицами, и можно было бы подумать, что мы приходим к идеальному ферми-газу, а не чнормальному> неидеальному газу. В действительности, однако, в гамильтониане (39.8) уже были сделаны пренебрежения, после которых не может идти речи о вычислении абсолютной величины энергии. Были опущены члены взаимодейсгвия (несущественные для нахождения формы спектра и разности Й, — й„), которые дают вклад в энергию, болыпой по сравнению с экспоненциально малой величиной (40.8) (это как раз тот вклад, пропорциональный Хк, который дается формулой (6.13)).
СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ ГЛ. Ч и окончательно, с учетом (40.5), получим г l Х 2 2тпрл2 1 'Х 7С(З) йз Т Отсюда разность энтропий: (40.10) Разность же теплоемкостей стремится при Т -+ Т, к конечному значению Зл ( 4 тгп рзл т т(п Рп =— — — — 4(з). З(2лтт)з г т(з Злгйзиг / т(е Полная же плотность газа связана с рр посредством г Ъ' З(2лтг) з Поэтому р у й (40.13) О Этот интеграл не требует особого вычисления, так как может быть сведен к известной уже функции тд(Т). Продифференцировав уравнение (40.1) по Т и сравнив получающийся при этом интеграл с (40.13), можно убедиться в том, что р гг (40.14) р„тЬ ' С, — Сп = Ъ' (40.11) 7Г(З)аз ' т.
е. в точке перехода испытывает скачок, причем С, ) С„. Теплоемкость нормального состояния дается (в первом приближении) формулой идеального газа (см. Ъ', (58.6)); выраженная через рр, она имеет вид Сп = Ъ'тпррТ73тзг. Поэтому отношение теплосмкостсй в точке перехода +1 = 2,43. (40.12) С„(Т,) 7Ч(З) В отношении своей сверхтекучести газ характеризуется разделением его плотности р на нормальную и сверхтекучую части. Согласно (23.6) нормальная часть плотности 9 41 ГРинсеские Функции сееРхтекучего ФеРми-ГАЗА 215 Подставив сюда предельные формулы (40.2), (40.5), получим р (9ЕЬе' и ~г зиад "1' (40.15) т ) Т вЂ” +Т,: — "' =2(1 — — ~.
(40.16) Наконец, необходимо сделать еще два замечания относительно области справедливости полученных формул по температуре. При приближении к точке перехода Т, становятся существенными процессы взаимодействия квазичастиц (не учитываемые в изложенной теории); именно эти процессы ответственны в данном случае за возникновение особенностей термодинамических величин, характерных для точки фазового перехода второго рода.
В достаточной близости к этой точке полученные выше формулы должны в конце концов стать неприменимыми. Но в силу наличия малого параметра (константы связи я) в рассмотрешюй модели это наступает лишь при чрезвычайно малых значениях Т, — Т; мы вернемся еще к более подробному обсуждению этого вопроса в 945. Как и в сверхтекучей бозе-жидкости, в рассматриваемом ферми-газе (в противоположность ферми-газу с отталкиванием .— ср. 94) может распространяться звук (со скоростью и рр/т, определяющейся обычным образом сжимаемостью среды).
Это значит, что наряду с рассмотренным здесь спектром возбуждений фермиевского типа в спектре такого газа существует также и фононная, бозевская, ветвь возбуждений. Обусловленная фононами теплоемкость пропорциональна Т с малым коэффициентом, но при Т вЂ” + 0 в конце концов она должна стать преобладающей над экспоненциально убывающей теплоемкостью (40.6) 9 41. Гриновские функции сверхтекучего ферми-газа Перейдем к построению математической техники гриновских функций в применении к сверхтекучим ферми-системам '). Мы видели в 9 26, что в терминах гр-операторов бозе-эйнштейновская конденсация в бозе-системе выражается существованием отличных от нуля предельных (когда число частиц х — э сс) значений матричных элементов, связывающих состояния, отличающиеся лишь изменением Л на единицу.
Физический смысл этого утверждения состоит в том, что удаление или прибавление одной частицы в конденсат не меняет состояния макроскопической системы. ) Излагаемая и этом параграфе техника принадлежит Л. П. Горькоеу (1958) . гл. ч СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ В случае сверхтекучей ферми-системы то же самое должно относиться к конденсату из куперовских пар: состояние системы не должно меняться при изменении на единицу числа пар в конденсате. Математически это выражается в наличии отличных от нуля предельных (д"ч' — + ОО) значений матричных элементов произведения Фд(Хз)Ф (Хд) -. оператора уничтожения двух частиц, и у эрмитово-сопряженного ему оператора рождения пары частиц ФО (Хд)Фд (Хз).
Эти матричные элементы связывают «одинаковые» состояния систем, отличающиеся лишь удалением или прибавлением одной пары частиц: 1пп (т, Лд~Фд(Хэ)Ф (Хд)~т, ддд+ 2) = 1пп (т, Л+ 2!Ф~(Хд)Ф~~(Хз)!т, Л)' ф О. (41.1) В дальнейшем мы будем опускать знак взятия предела; для краткости будем также опускать диагональный матричный индекс т, нумерующий «одинаковые» состояния систем с различными числами частиц. Как и в случае бозе-систем Я 31), в математическом аппарате гриновских функций для сверхтекучих ферми-систем фигурирует несколько различных функций. Наряду с обычной гриновской функцией гСОу(Хд, Хэ) = (М~ТФ (Хд)Ф~д(Хэ)~Х) (41.2) необходимо ввести также и «аномальные» функции, согласно определениям, гГ «(Хд, Хэ) = (1Дд~ТФ (Хд)Фд(Хз)~Х+ 2), гР~д(Хд, Хз) = (Л+ 2~ТФ~(Хд)Ф~~(Хз)~М).
Поскольку каждая из функций Г,„д и Г~д строится из двух оди- наковых операторов, то Г д(Хд, Хэ) = — Гд„(Хэ, Хд), Г д(Хд, Хэ) = — Г~,„(Хэ, Хд) (41.4) Напомним, что согласно основным принципам статистики результат статистического усреднения не зависит от того, производится ли оно по точной волновой функции стационарного состояния замкнутой системы или с помощью распределения Гиббса. Разница состоит лишь в том, что в первом случае результат усреднения будет выражен через энергию Е и число частиц дд', а во втором через Т и дд. Для следующих ниже в этом параграфе рассуждений более удобен первый способ. 3 41 ГРиновские Функции свеРхтекучего ФеРми-ГАЗА 217 В рассмотренной в 3 39 модели ферми-газа связанные пары находятся в синглетном состоянии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
