IX.-Статистическая-физика-часть-2 (1109682), страница 43
Текст из файла (страница 43)
с. положить в (44.7) Ф = О); граничное условие исчезновения нормальной составляющей тока (п1 = О) на поверхности шарика выполняется тогда автоматически. Магнитный момент вычисляется как интеграл М = — ~(г1 ) а'ч' 2с у по объему шарика и равен Лз М = — Уз, Зобе 0 45.
Уравнения Гинзбурга — Ландау Полная теория, описывающая поведение свсрхпроводника в магнитном поле, очень сложна. Ситуация, однако, существенно упрощается в области температур вблизи точки перехода. Здесь 233 УРАВНЕНИЯ ГННЗВУРГА — ЛАНДАУ оказывается возможным построить систему относительно простых уравнений, причем применимых не только в слабых, но и в сильных полях'). В общей теории Ландау фазовых переходов второго рода отличие «несиммстричной» фазы от «симметричной» описывается параметром порядка, обращающимся в точке перехода в нуль (см. у', 9 142).
Для сверхпроводящей фазы естественным таким параметром является конденсатная волновая функция Б. Во избежание излишних (с принципиальной точки зрения) усложнений будем считать симметрию металлического кристалла кубической; как было указано в 9 44, в этом случае сверхпроводящее состояние характеризуется скалярной величиной пг — плотностью сверхпроводящих электронов.
Более удобным выбором параметра порядка в этом случае является величина (обозначим ее через г)г), пропорциональная Е, но нормированная условием ~ф~ = п,,г2. Фаза величины гд совпадает с фазой функции Е: (45.1) 2 Плотность сверхпроводящего тока (44.2), выраженная через ф, записывается в виде Ь = — ~Ф~~'7ф = — — (Ф*~УФ вЂ” Ф'74*) (45 2) Отправным пунктом теории является выражение для свободной энергии сверхпроводника как функционала от функции гу(г) . В соответствии с общими положениями теории Ландау, оно получается разложением плотности свободной энергии по степеням малого (вблизи точки перехода) параметра порядка ф и его производных по координатам.
Сначала рассмотрим сверхпроводник в отсутствие магнитного поля. В соответствии со своим смыслом как величины,пропорциональной гриновской функции г'(Х, Х) = — г Е(Х), параметр порядка уг неоднозначен: поскольку функция г'(Х, Х) составлена из двух операторов Ф, то произвольное изменение фазы этих операторов, гР— + ге е'ог2, приводит к изменению фазы функции Г на сг. Физические величины не должны, конечно, зависеть от этого произвола, т.
е, должны быть инвариантны по отношению к преобразованию комплексного параметра порядка: г)г — » уге о. Этим требованием исключаются члены нечетных степеней по уг в разложении свободной энергии. ') Излагаемая ниже теория принадлежит В. Л. Гинзбургу и Л.Д. Ландау (Рзбо). Замечательно, что она была построена феноменологическим путем, еще до создания микроскопической теории сверхпроводимости. 234 Гл. ч СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ Конкретный вид этого разложения устанавливается на основе тех же соображений, что и в общей теории фазовых переходов второго рода (см.
ч', 2 146). Не повторяя этих рассуждений, напишем следующее разложение полной свободной энергии сверхпроводящего тела '): г=г ~1) ) ~чг~ ~1 и~ ~1 ~е~') 1ч. И11) Здесь Гв "-. свободная энергия в нормальном состоянии (т. е. при г)1 = 0); 5 зависящий лишь от плотности вещества (но не от температуры) положительный коэффициент; величина а зависит от температуры по закону а = (Т вЂ” Т,)гг, (45.4) обращаясь в нуль в точке перехода; коэффициент гг ) 0 в соответствии с тем, что сверхпроводящей фазе отвечает область Т ( Т,; коэффициент при ~1чг~~2 в (45.3) выбран так, чтобы для тока получалось выражение (45.2) (см.ниже) ').
Тот факт, что в (45.3) фигурируют лишь первые производные от г)1, связан с предположением о достаточной медленности изменения г)1 в пространстве. В однородном сверхпроводнике, в отсутствие внешнего поля, параметр ф не зависит от координат. Тогда выражение (45.3) сводится к Р = ~' + )У~Ф)'+ —,1Ф'. (45.5) Равновесное значение ~г)1~2 (при Т ( Т,) определяется условием минимальности этого выражения: ~ф~' = — -' = — (Т. — Т); (45.6) плотность сверхпроводящих электронов в зависимости от температуры обращается в точке перехода в нуль по линейному закону.
Подставив значение (45.6) обратно в (45.5), найдем разность свободных энергий сверхпроводящего и нормального состояний; Г, — Г„= — 1' — (Т, — Т)2. (45.7) 1 ) НапОмним лишь, что написанный вид градиентного члена сввзан с предпсложенной кубической симметрией кристалла. При более низкой симметрии он имел бы вид более общей квадратичной формы из производных д1)1/дх1. ) Этот выбор (в том числе отождествление т с истинной массой злектрона) не имеет, конечно, глубокого смысла и условен в той же мере, как и определение и, в (44.2).
235 угавнвниг! Гинзнуггь — тгандлу Дифференцированием по температуре отсюда можно найти разность энтропий, а затем и скачок теплоемкости в точке перехо а': д ) С С Ъат (45.8) Ь Вблизи точки перехода разность (45.7) представляет собой малую добавку в свободной энергии. Согласно теореме о малых добавках (У, 8 15), эта жс величина (выраженная в функции температуры и давления вместо температуры и объема) дает разность тсрмодинамичсских потенциалов Ф, — Ф„. С другой стороны, согласно общей формуле термодинамики сверхпроводников (см.
Ъ'П1, (55.7)), эта разность совпадает с величиной — уН27'8п, где Н, -- критическое поле, разрушающес сверхпроводимость. Таким образом, находим для последнего следующий закон температурной зависимости вблизи точки перехода'): Н, = = (Т, — Т). (45.9) 11ри наличии магнитного поля выражение (45.3) для свободной энергии должно быть изменено в двух отношениях. Во-первых, к подынтегральному выражению надо добавить плотность энергии магнитного поля В2/8гг (где В = го1А --- магнитная индукция в теле). Во-вторых, надо изменить градиентный член таким образом, чтобы удовлетворить требованию калибровочной инвариантности. В предыдущем параграфе было показано, что ) Сравнив формулы (45.6) и (45.8) для ~гЬ(~ = рН2т и для скачка тепло- емкости с формулами (40.16) и (40.11) для тех же величин в модели БКШ, можно найти значения коэффициентов а и Ь в этой модели (Л.
Н. Горькое, 1959): а = Оп Т,77Ц(3)д = 7 04 Т (и, Ь = аТ,7п; использована связь плотности числа частиц и = рг!т и химического потенциала и (при Т = 0) с предельным импульсом как для идеального газа: и = рг)зп 5, и = рг)2т. з г з г ) В модели БКШ: Н, = 2,44(тря)5Б) ~ (Т, — Т) при Т вЂ” > Т,. Приведем также значение Н, в атой же модели при Т = 0: Н, = 0,99Т,(тря!5 ) 7~ (оно получается приравниванием — Ъ'Н~78п разности знсргии (40.9)). 236 СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ гл.
ч )1 —; —, ~~- — "'А)Ч' Ю' —',~б~') бч (45.10) (Г„е -- свободная энергия тела в нормальном состоянии в отсутствие магнитного поля). Подчеркнем, что коэффициент 2ге/6с в этом выражении имеет безусловный характер (в отличие от отмеченной выше условности выбора коэффициента 62)4ьч). Удвоение заряда электрона в нем есть следствие эффекта Купера 1Л. П. Горькое, 1959); этот коэффициент не мог бы быть, конечно, установлен чисто феноменологическим путем.
Дифференциальные уравнения, определяющие распределение волновой функции ф и магнитного поля в сверхпроводнике, находятся теперь минимизацией свободной энергии как функционала от трех независимых функций: ф, ф* и А. Комплексная величина ф есть совокупность двух вещественных величин; поэтому уб и уб* надо рассматривать при варьировании как независимые функции. Варьируя интеграл по уб* и преобразовав интеграл от члена (бб7уб — 2геА/6с) б7дб)б" интегрированием по частям, получим бл =~) — (ч — — "А) ббА ббб-б~Я А) ббсбчб- + — (~(17~ — — "Аб)б) дб)б*б44; (45.11) второй интеграл берется по поверхности тела.
Положив дГ = О, получим, в качестве условия равенства нулю объемного интегра- ла при произвольном буб*, следующее уравнение: — (-46Р— — "А) Ф+а~+5~У~'Ф=О 145.12) 1варьирование же интеграла по б)б приводит к комплексно-сопряженному уравнению, т. е. Ие дает ничего нового). Аналогичным образом, варьированис интеграла по А приводит к уравнению Максвелла го1В = — 3, 4л.
с (45.13) это условие приводит к необходимости замены градиента фазы конденсатной волновой функции б7Ф разностью 17Ф вЂ” 2еА76с. В данном случае это значит, что надо заменить: ч б)б = е'ф ч ~ф + гб)б ч7Ф вЂ” ~ б7уб — — Аб)б. ас Таким образом, мы приходим к следующему основному выражению: 237 УРАВНЕНИ5! ГИНЗВУРГА — ЛАНДАУ ') При граничном условии (45.15) само ф не обращается в нуль, как это, казалось бы, должно было быть для волновой функции на границе тела.
Это обстоятельство связано с тем, что в действительности 551 убывает до нуля лишь на расстояниях порядка атомных от поверхности; между тем такие расстояния в теории Гинзбурга -Ландау рассматриваются как пренебрежимо малые. (Подробнее см. в книге Де Жен П. Сверхпроводимость металлов и сплавов. Мс Мир, 1968, с. 230 †2.) Условие (45.15) выведено здесь по существу для границы свсрхпроводника с вакуумом. Оно остается в силе и дпя границы с диэлектриком, но для границы раздела между различными металлами (из которых один сверхпроводящ, а другой нормален) оно непригодно — в нем не учитывается эффект частичного проникновения сверхпроводящих электронов в нормальный металл. В этом случае (45.15) заменяется условием более общего вида, совместимого с требованием ц! = 6; 2е и ( — 55'У~ — — Аф) = —, с Л (45.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
