IX.-Статистическая-физика-часть-2 (1109682), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Производя усреднение, найдем Еа = 4шсз 3 10тсз Критическое поле определяется (как и в тексте) условием Ев = ~ а ~, приводящим к результату Н~ "" = У20Н„б(Н. Допустимость использования теории возмущений подтверждается тем, ~шар) что найденное значение Ее (при б = Н, Р~) при условии Н << б действительно мало по сравнению со следующим собственным значением, которое соответствовало бы уже переменной в объеме шарика волновой функции и имело бы порядок величины 6~/тЛ~. 2 48. Структура смешанного состояния Будем снова (как и в предыдущем параграфе) рассматривать цилиндрический образец сверхпроводника второго рода, находящийся в продольном магнитном поле У1.
Выясним структуру смешанного состояния, в котором тело будет находиться в полях, лишь немногим превышающих нижнее критическое поле Нс1'). В этом случае в основную, сверхпроводящую фазу вкраплены зародыши нормальной фазы. Для достижения максимальной термодинамической выгодности они должны иметь (при отрицательном поверхностном натяжении!) по возможности большую поверхность. Естественна поэтому структура, в которой зародыши и-фазгц представляют собой нити, параллельные направлению поля. Вблизи этих нитей (их называют вш:рееыми) сосредоточены н проникшее в тело магнитное поле, и охватывающие нити кольцевые сверхпроводящие токи.
Чем ближе внешнее поле к Н,п тем мсныпе в теле таких нитей и тем больше расстояние между ними. Когда последнее достаточно велико, к отдельным вихревым нитям становятся ) Излагаемые в этом параграфе (и в задачах к нему) результаты принадлежат А. А. Абрикосову (1957). 252 СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ ГЛ. Ч Г=Г,+К,— ~ а =Г,+К,—" 1гВЛГ. У 4х 4ЕУ Член Т, есть свободная энергия нити (Ь длина нити, совпадающая с длиной цилиндра), а последний член отличает потенциал Г от свободной энергии Г.
Поскольку индукции В в теле сосредоточена лишь вблизи вихревой нити, то 1'ВЛГ = Тфо, где фо поток индукции через сечение нити. Таким образом, +Т тфоб 4х (48.1) Возникновение вихревых нитей становится термодинамически выгодным, когда добавка к Г, делается отрицательной. Приравняв применимыми изложенные в конце ~ 44 соображения, в силу которых полный сосредоточенный вблизи нити магнитный поток должен быть целым кратным от элементарного кванта потока фо = хйс/~е~; мы увидим ниже, что термодинамически выгодны нити с наименьшим возможным потоком одним фо. Именно конечность фо ставит предел дальнейшему дроблению зародышей нормальной фазы. Когда внешнее поле, увеличиваясь от малых значений, достигает значения Н,Ы в цилиндре появляется одна вихревая нить.
Напишем термодинамическое условие, определяющее этот момент, не вникая сначала в структуру самой нити, а учитывая лишь то обстоятельство, что с ней связана некоторая (положительная! ) энергия; эту энергию, отнесенную к единице длины нити, обозначим через е (в дальнейшем она будет вычислена). Очевидно, что в цилиндрическом теле в продольном внешнем поле индукция В тоже будет везде направлена вдоль оси цилиндра.
Это же относится и к макроскопической напряженности поля Н =  — 4ХМ, введенной в з 46. Из уравнения ГОФ Н = 0 следует тогда, что Н постоянно вдоль сечения (а потому и всего объема) цилиндра; в силу граничного условия непрерывности тангенциальной компоненты Н это постоянное значение совпадает с внешним полем: Н = Я. Таким образом, мы должны рассмотреть термодинамическое равновесие тела при заданных его объеме, температуре и напряженности поля Н.
Условие такого равновесия состоит в минимальности à — термодинамического потенциала по отношению к указанным переменным (см. Ъ'П1,з31). Пусть Г, — этот потенциал для сверхпроводящего цилиндра (поскольку в сверхпроводящей фазе В = О, то Г, совпадает со свободной энергией Г,).
Тогда потенциал Г для цилиндра с одной вихревой нитью будет 253 СТРУКТУРА СМВШАННОГО СОСТОЯНИЯ же ее нулю, мы найдем, следовательно, критическое значение внешнего поля Нс1 = 4зге/б)бо. (48.2) Рассмотрим теперь структуру одиночной вихревой нити. Мы ограничимся важным случаем, когда') зг» 1, (48.3) т. е. б» С. Длина С определяет порядок величины радиуса «сердцевины» нити, в которой ~ф~ меняется от нуля (отвечающего нормальному состоянию на оси нити) до конечного значения, отвечающего основной и-фазе; на болыпих расстояниях г от оси нити ~ф~~ остается уже постоянным').
Индукция же В(г) меняется значительно медленнее, затухая лишь на расстояниях г 6 » С. Другими словами, весь магнитный поток в основном проходит по области вне сердцевины нити, где ~б)б~2 = сопв1 (рис. 9). Последнее обстоятельство позволяет использовать для нахождения распределения поля уравнение Лондонов (применимость которого, напомним, не связана с близостью температуры к Т,). б Для придания ему нужного здесь вида прежде всего перепишем формулу В(г) (44.7), связывающую плотность сверхпроводящего тока с фазой волновой функции: А + о~го1В = — 'Убф, (48.4) 2г б введя в нее глубину проникновения 6 и выразив 1 через индукцию согласно 1 = сго1 Вб'4бг.
Лондоновскому приближению отвечает предположение б = сопв1. Проинтегрируем равенство (48.4) по замкнутому контуру С, охватывающему нить и проходящему на расстояниях г » ( от ее оси. Преобразовав интеграл от А по теореме Стокса в интеграл по поверхности, опирающейся на контур С, получим ВЖ+б ~ го1Вб11= фоб (48.5) ) Отметим, что такое условие хорошо выполняется в высокотемпературных сверхпроводниках. В этих анизотропных телах и зависит от направления и меняется, грубо говоря, в пределах от 50 до 500 ~) В этом параграфе буква г будет обозначать цилиндрическую координату — расстояние от оси. 254 СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ Гл. ч 1 [~В[ = [1 ~]В = (1 — единичный вектор касательной к окружности). Таким образом, приходим к уравнению 1го1В = — — = ив 2ХГР' (48.8) откуда о (48.9) Ввиду логарифмического характера этой зависимости верхний предел интегрирования (на котором должно быть В О) может а преобразовав таким же образом и второй интеграл, пишем (В+ б го1го1 В) Л = фо; (48.6) в правой части написано наименьшее возможное (отличное от нуля) значение, отвечающее приращению фазы всего на одно 2х.
Если контур С проходит на расстояниях г» б от нити, где поле и токи уже можно считать отсутствующими, второй интеграл в (48.5) может быть опущен, и мы видим, что фо совпадает с полным потоком индукции, сосредоточенным вокруг изолированной вихревой нити. Самая же ось нити представляет собой особую линию, обход вокруг которой меняет фазу волновой функции. Поскольку равенство (48.6) должно выполняться для любого контура С (удовлетворяющего указанным условиям), то из него следует, что должно быть В+б~го1го1В =  — б~ д В = фоб(г), (48.7) где г двумерный радиус-вектор в плоскости поперечного сечения вихревой нити. Запись правой части этого уравнения в виде О-функции означает, что расстояния 4 рассматриваются здесь как нулевые.
Во всем пространстве, за исключением линии г = О, (48.7) совпадает с уравнением Лондонов (44.11), но для описания вихревой нити требуется решение с особенностью при г = О. Распределение поля на расстояниях г от оси в области б» г» С может быть найдено прямо из (48.5). Выберем в качестве контура С окружность радиуса г в этой области. Поток индукции через этот контур (первый член в левой части (48.5)) составляет лишь малую долю всего магнитного потока (т(б)2; пренебрежем ею.
Во втором члене Л есть элемент длины окружности, а поскольку вектор В направлен вдоль оси В (цилиндрической системы координат с осью вдоль оси нити) и зависит лишь отг, то 255 СТРУКТУРА СМВШАННОГО СОСТОЯНИЯ быть положен совпадающим с верхней границей рассматриваемой области расстояний т. Для продолжения найденного распределения в область т > б воспользуемся уравнением (48.7), применимым при всех т» ~. Раскрыв оператор Лапласа в цилиндрических координатах (с учетом того, что В = В,(т)), перепишем уравнение (при т ~ О) в виде В" + -'В'+ б-'В = 0.
Т Решение этого уравнения, убывающее при т — + сс, есть В(т) = сопэ1 Ке(т~б), где Кс -- функция Макдональда (функция Ганкеля от мнимого аргумента). Постоянный коэффициент определяется путем «сшивки» с решением (48.9): используя известное предельное выражение Ке(Я) 1п(2/Я у) при г « 1 (7 = ес = 1,78). Таким образом, окончательно В()= «'«,К,(т), »~.
(48.10) С помощью известного асимптотического выражения Ко(я)— — («Г/2я)1Г~е ' при я — + Ос находим отсюда, в частности, закон затухания поля вдали от оси нити: (48.11) Обратим внимание на очевидную аналогию между свойствами вихревых нитей в сверхпроводниках и в жидком гелии (з 29). В обоих случаях речь идет об особых линиях, обход вокруг которых меняет фазу конденсатной волновой функции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
